第10讲 分式方程（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版五四制七年级数学上册满分全攻略备考系列

第10讲 分式方程（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．分式方程的定义 2．分式方程的解 3．解分式方程 4．分式方程的增根 5．由实际问题抽象出分式方程 6．分式方程的应用 题型巩固 一、分式方程的定义 二、根据分式方程解的情况求值 三、分式方程无解问题 四、解分式方程（化为一元一次） 五、列分式方程 六、分式方程的行程问题 七、分式方程的工程问题 八、分式方程的经济问题 九、分式方程和差倍分问题 十、分式方程的其它实际问题 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（10） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点5．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点6．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型巩固 题型一、分式方程的定义 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 3．下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 题型二、根据分式方程解的情况求值 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．解题的关键是掌握关于增根问题解决的步骤：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值是． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入整式方程中，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 题型三、分式方程无解问题 7．若关于x的方程＝1无解，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】去分母，化分式方程为整式方程（m﹣1）x＝2，分m＝1和m≠1两种情形解答：m＝1时，整式方程无解；m≠1时，分式方程产生增根x＝2时，分式方程无解． 【详解】解：去分母，得： mx﹣4＝x﹣2， 移项，合并同类项，得： （m﹣1）x＝2． 当m＝1时，此整式方程无解； 当m≠1时， ∵x＝2是原方程的增根， ∴2（m﹣1）＝2， 解得：m＝2． 综上，m的值为：1或2． 故选D． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分类讨论是解题的关键． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【答案】a的值为-6，-1,4 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程；先按照解分式方程的过程求出x，再根据方程无解的情况即可求得a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：； 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，分式方程无解时，a的值为-6，-1,4． 题型四、解分式方程（化为一元一次） 10．（24-25七年级上·上海静安·期末） 是下列哪个分式方程的根？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的根和解法，掌握以上知识是解题的关键； 解分式方程步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意分式方程最后要写检验，分式方程分母不为，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可求解 【详解】解：A、，当时，分母为，错误； B、，是该分式方程的根，正确； C、，该分式方程根为，错误； D、，当时，分母为，错误； 故选：B 11．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法是解答本题的关键． （1）通过变形和通分求解，求解整式方程并检验； （2）因式分解分母后通分，求解整式方程并检验． 【详解】（1）解：， ， 解这个整式方程得：， 检验：当 时，分母，原方程无意义 ∴ 是增根，原方程无解 （2）解： ， ， 解得，， 检验：当时，，，原方程有意义 ∴是原方程的根 题型五、列分式方程 13．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设中客车的载客x人，则大客车的载客人，根据等量关系：大客车的数量中客车的数量，列出方程即可． 【详解】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 题型六、分式方程的行程问题 16．甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知A、B两地距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40分钟，设乙每小时走xkm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设乙每小时走xkm，则甲每小时走（x+3）km，根据“甲比乙先到40分钟”即可列出式子． 【详解】解：设乙每小时走xkm，则甲每小时走（x+3）km， 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 17．小丽和爸爸练习竞走，爸爸每分钟比小丽多走50米，爸爸走1800米所用的时间比小丽走1200米的时间相等，设小丽每分钟走x米，可列方程： 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设小丽每分钟走x米，则爸爸每分钟走（x+50）米，根据爸爸走1800米所用的时间与小丽走1200米的时间相等列出分式方程即可． 【详解】设小丽每分钟走x米，则爸爸每分钟走（x+50）米，由题意得 . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 18．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【答案】王老师步行速度为，骑自行车的速度为 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 王老师接小明上学后走的总路程为，平时步行去学校的路程为，根据时间路程速度，以及关键语“比平时步行上班多用了”可得出的等量关系是：接小明上学后走的路程骑车的速度平时上班的路程步行的速度，据此列方程求解即可． 【详解】解：设王老师步行速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，可得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 则， 答：王老师步行速度为，骑自行车的速度为． 题型七、分式方程的工程问题 19．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：D． 20．某工人加工了一批零件后改进操作方法，结果效率比原来提高了，因此再加工个零件所用的时间比原来加工个零件所用的时间仅多了小时，若设改进操作方法前该工人每小时加工个零件，根据题意，可列方程: ． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】根据等量关系“再加工个零件所用的时间比原来加工个零件所用的时间仅多了小时”，列出分式方程，即可． 【详解】设改进操作方法前该工人每小时加工个零件，则改进操作方法后，每小时加工(1+)x个， 根据题意得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 【答案】0.5万平方米 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 实际每天绿化的面积为， 答：实际每天绿化的面积为0.5万平方米． 题型八、分式方程的经济问题 22．受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设涨价前价格为元/千克，则，涨价后价格为元/千克，再根据涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同列出方程即可． 【详解】解：设涨价前价格为元/千克， 由题意得，， 故选：A． 23．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．则今年三月份甲种电脑每台售价为 元． 【答案】4000 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年三月份甲种电脑每台售价为元，根据卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元列出方程求解即可． 【详解】解；设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年三月份甲种电脑每台售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴今年三月份甲种电脑每台售价为4000元， 故答案为：4000． 24．（2024七年级上·上海·专题练习）元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多，每张贺卡的进价比第一批多元．那么购入的第一批贺卡的数量是多少张？ 【答案】购入的第一批贺卡的数量是2000张． 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购入的第一批贺卡的数量是张，则购入的第二批贺卡的数量是张，根据第二批购入贺卡每张贺卡的进价比第一批多元．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设购入的第一批贺卡的数量是张，则购入的第二批贺卡的数量是张， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：购入的第一批贺卡的数量是2000张． 题型九、分式方程和差倍分问题 25．2019年受各种因素的影响，猪肉市场不断上升。据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍，小英妈妈用20元钱在5月份购得猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，设今年1月份的猪肉每斤是x元，根据题意，下列方程中正确的是(       ) A． = - 0.4 B．= - 0.4 C． + 0.4 = D． = + 0.4 【答案】B 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：用20元钱在5月份购得猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，等量关系为：现在20元能买的数量=原来20元能买的斤数-0.4． 【详解】解：设今年1月份的猪肉每斤是x元， 根据题意得：= - 0.4 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意：总价=单价×数量． 26．（22-23七年级上·上海闵行·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 【答案】25 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设这包冲剂有x克，根据浓度是得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包冲剂有x克， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：这包冲剂有25克， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 27．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是元． 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元”建立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． 题型十、分式方程的其它实际问题 28．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题题考查了分式方程的实际应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系是解决问题的关键． 设该厂原来每天生产个零件，则采取了新技术后每天生产个零件，根据采取新技术前后共用天完成任务列出方程即可． 【详解】解：设该厂原来每天生产个零件， 依题意得：， 故选D． 29．一小包柠檬茶冲剂，用180克开水可冲泡成浓度为10%的饮料，这包柠檬茶冲剂有 克. 【答案】20 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】设这包柠檬茶冲剂有x克，根据百分比，可得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包柠檬茶冲剂有x克，根据题意，得 10%， 解得x=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 30．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可． 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元． 分层强化 一、单选题 1．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍， 可列出相应的方程：， 故选：A． 3．已知有增根，则（   ） A． B．0 C．或1 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，增根是分式方程变形后整式方程的根，但使原方程分母为零的根。首先将方程两边通分，转化为整式方程，再令解为增根，代入求a的值． 【详解】解：， 方程变形为：， 两边同乘（），得：， 整理得：， 解得：， 若方程有增根，则增根为， 将代入整式方程的解得：， 解得：， 故选：D． 4．某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件?设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设乙种款型的衬衫购进x件，则甲种款型的衬衫购进1．5x件，根据“甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元”列出方程即可． 【详解】解：设乙种款型的衬衫购进x件，则甲种款型的衬衫购进1．5x件，由题意得： 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到相等关系列方程． 5．为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵， 根据题意可得方程为， 整理为：， 故选：A． 6．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件．若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列分式方程，设该班组要完成的零件任务为x个，根据“计划时间实际时间”列出方程即可求解． 【详解】解：设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为． 故选：C． 7．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如 ，按照这个规定，方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，实数的大小比较，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况求解：当时和当时，分别得到分式方程，求解并检验即可得到答案． 【详解】解：当，即时， ， ， 去分母得：， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 综上所述，方程的解为． 故选：A． 二、填空题 8．有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是 ． 【答案】 【分析】由分子加1，分子则比分母少2可知，原来分子比分母少，如果设原来的分子是x，则分母是，又由分母加1，则分数值等于即可列出方程，由此解答即可． 【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是，由题意列出方程 所以， 所以， 解得：，经检验符合题意； 所以； 因此这个分数是； 故答案为： 【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，关键是找出等量关系，设出未知数，列方程解答比较简便． 9．若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的无解问题，解题关键是熟练掌握分式方程的无解问题的解法． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，将代入整式方程即可求解． 【详解】解：原方程去分母得， 分式方程无解， ， ， 将其代入得． 故答案为：． 10．若是分式方程的解，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查分式方程的解，关键理解分式方程的解的定义． 将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：将代入分式方程可得， ， 解得：， 故答案为：10． 11．请写出一个只含有未知数且根是的分式方程 ． 【答案】 【分析】根据分式方程的定义即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键． 12．某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用； 设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品，根据时间相同列方程即可． 【详解】解：设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品， 由题意得：， 故答案为：． 13．已知关于的方程 （1）若，则方程的解是 ． （2）若方程无解，则a的值是 ． 【答案】 1或2 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解的情况，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为，整理得，将代入解得x的值后进行检验即可； （2）由（1）所得结果可得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：（1）原方程去分母得：， 整理得， 若， 则， 解得：， 经检验，是该方程的解， 故答案为：； （2）由（1）得， 则， 当，即时， 无解， 那么原方程无解，符合题意， 当，即时， 若原方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，a的值为1或2， 故答案为：1或2． 14．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务，原来每天制作 件． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原来每天制作件，则该厂实际每天制作件，根据结果提前10天完成任务建立方程，解方程可得的值，再进行检验即可． 【详解】解：设原来每天制作件，则该厂实际每天制作件数为， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以原来每天制作16件， 故答案为：16． 15．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 　 　 　 单价（元/千克） 　 　 　 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克． 【答案】　 【分析】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，用总价除以总量就是什锦糖的单价，根据题意列方程求解即可． 【详解】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，根据题意得： ，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴需再加入丙种糖千克， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． 16．某项工程，乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍，若甲工程队先做20天，则乙队只需再单独做50天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成，其中，是正整数，则完成此工程共耗时 天． 【答案】79 【分析】设甲队单独完成任务的时间是天，则乙队单独完成任务的时间是天，根据“若甲工程队先做20天，则乙队只需再单独做50天就能恰好完成任务”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，结合“若甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成”，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，且，，可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（分式方程）是解题的关键． 【详解】解：设甲队单独完成任务的时间是天，则乙队单独完成任务的时间是天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成， ， ， 又，均为正整数，且，， ， （天， 完成此工程共耗时79天． 故答案为：79． 17．甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多行走1km，因此提前12min到达乙地．张叔叔原计划每小时行走多少千米？ 设张叔叔原计划每小时行走，可得方程 ． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，即可解答． 【详解】解：设张叔叔原计划每小时行走，则实际每小时行走， 原计划从甲地到乙地的时间：小时， 实际从甲地到乙地的时间：小时， 提前的时间：分钟小时， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握时间路程速度是解题的关键． 三、解答题 18．解方程： 【答案】原方程无解 【分析】本题考查的是解分式方程．熟练掌握分式方程特征，采用适当方法，是解此题的关键，先去分母转化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，，是增根， ∴原方程无解． 19．已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 20．关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【答案】(1)分式方程的解为 (2)n的值为或或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 21．我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 22．从甲地到乙地有两条公路：一条是全长的普通公路，另一条是全长的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为，那么x满足怎样的分式方程？ 【答案】． 【分析】根据高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半列方程即可； 【详解】设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为， 由题意可得：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 23．某水果店用2000元购进了一批樱桃，过了一段时间又用5000元购进了第二批樱桃，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克樱桃的进价比第一批的进价贵了10元． (1)该店第一批购进的樱桃有多少千克？ (2)若该店两次购进的樱桃按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于2000元，则每千克樱桃的售价至少是多少元？ 【答案】(1)该店第一批购进的樱桃有 (2)每千克樱桃的售价至少是60元 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键． （1）设该店第一批购进的樱桃有，则该店第二批购进的樱桃有，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）计算出第一批购进的单价和第二批购进的单价，设 每千克樱桃的售价是元，根据题意，列出一元一次不等式，求解即可； 【详解】（1）解：设该店第一批购进的樱桃有，则该店第二批购进的樱桃有，由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该店第一批购进的樱桃有． （2）设每千克樱桃的售价是元．由题意，得 ， 解得 ． 所以的最小值为60． 答：每千克樱桃的售价至少是60元． 24．关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 25．寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加100万元，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月，根据甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成建立方程求解即可； （2）设甲、乙两个工程队合作需要y个月，根据两人合作完成整个过程建立方程求出合作的时间，进而求出对应的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． （2）解：工程预算的施工费用不够用．理由如图： 设甲、乙两个工程队合作需要y个月， 由题意得，， 解得， ∴施工费用为（万元）， ， 工程预算的施工费用不够用， 需追加（万元）． 答：工程预算的施工费用不够用，需追加100万元． 26．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)，理由见详解；证明见详解 (3) 【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键． （1）根据“臻美数对”的定义即可求解； （2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解； （3）由（2）的结合分式的加减即可求解． 【详解】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：， ， 与是“臻美数对； （2），理由如下： 由题意得： ， 移项合并同类项可得： ， 左右两边同时除以9可得： ； 两“臻美数对”的和为： 两“臻美数对”的和是的倍数； （3）这两个数为“臻美数对”， 即 解得：， ，； ，， 这两个数分别为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 分式方程（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．分式方程的定义 2．分式方程的解 3．解分式方程 4．分式方程的增根 5．由实际问题抽象出分式方程 6．分式方程的应用 题型巩固 一、分式方程的定义 二、根据分式方程解的情况求值 三、分式方程无解问题 四、解分式方程（化为一元一次） 五、列分式方程 六、分式方程的行程问题 七、分式方程的工程问题 八、分式方程的经济问题 九、分式方程和差倍分问题 十、分式方程的其它实际问题 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（10） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点5．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点6．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型巩固 题型一、分式方程的定义 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 3．下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 题型二、根据分式方程解的情况求值 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若方程有增根，则的值为 ． 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 题型三、分式方程无解问题 7．若关于x的方程＝1无解，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 题型四、解分式方程（化为一元一次） 10．（24-25七年级上·上海静安·期末） 是下列哪个分式方程的根？（　　） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 12．（25-26七年级上·上海·期中）解分式方程： (1) (2) 题型五、列分式方程 13．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 题型六、分式方程的行程问题 16．甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知A、B两地距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40分钟，设乙每小时走xkm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．小丽和爸爸练习竞走，爸爸每分钟比小丽多走50米，爸爸走1800米所用的时间比小丽走1200米的时间相等，设小丽每分钟走x米，可列方程： 18．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 题型七、分式方程的工程问题 19．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 20．某工人加工了一批零件后改进操作方法，结果效率比原来提高了，因此再加工个零件所用的时间比原来加工个零件所用的时间仅多了小时，若设改进操作方法前该工人每小时加工个零件，根据题意，可列方程: ． 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 题型八、分式方程的经济问题 22．受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 23．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．则今年三月份甲种电脑每台售价为 元． 24．（2024七年级上·上海·专题练习）元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多，每张贺卡的进价比第一批多元．那么购入的第一批贺卡的数量是多少张？ 题型九、分式方程和差倍分问题 25．2019年受各种因素的影响，猪肉市场不断上升。据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍，小英妈妈用20元钱在5月份购得猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，设今年1月份的猪肉每斤是x元，根据题意，下列方程中正确的是(       ) A． = - 0.4 B．= - 0.4 C． + 0.4 = D． = + 0.4 26．（22-23七年级上·上海闵行·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 27．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 题型十、分式方程的其它实际问题 28．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（　　） A． B． C． D． 29．一小包柠檬茶冲剂，用180克开水可冲泡成浓度为10%的饮料，这包柠檬茶冲剂有 克. 30．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 分层强化 一、单选题 1．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知有增根，则（   ） A． B．0 C．或1 D．1 4．某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件?设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（    ） A． B． C． D． 5．为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 6．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件．若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如 ，按照这个规定，方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．2 二、填空题 8．有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是 ． 9．若分式方程无解，则的值为 ． 10．若是分式方程的解，则的值为 ． 11．请写出一个只含有未知数且根是的分式方程 ． 12．某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 13．已知关于的方程 （1）若，则方程的解是 ． （2）若方程无解，则a的值是 ． 14．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务，原来每天制作 件． 15．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 　 　 　 单价（元/千克） 　 　 　 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克． 16．某项工程，乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍，若甲工程队先做20天，则乙队只需再单独做50天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成，其中，是正整数，则完成此工程共耗时 天． 17．甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多行走1km，因此提前12min到达乙地．张叔叔原计划每小时行走多少千米？ 设张叔叔原计划每小时行走，可得方程 ． 三、解答题 18．解方程： 19．已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 20．关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 21．我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 22．从甲地到乙地有两条公路：一条是全长的普通公路，另一条是全长的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为，那么x满足怎样的分式方程？ 23．某水果店用2000元购进了一批樱桃，过了一段时间又用5000元购进了第二批樱桃，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克樱桃的进价比第一批的进价贵了10元． (1)该店第一批购进的樱桃有多少千克？ (2)若该店两次购进的樱桃按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于2000元，则每千克樱桃的售价至少是多少元？ 24．关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 25．寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 26．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 学科网（北京）股份有限公司 $