湖北武汉市第三寄宿中学2026-2027学年八年级数学上学期人教版期中模拟卷

2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （测试范围：八年级上册第十三章~第十五章） 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 2．下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 4．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（　　） A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF 5．已知：等腰三角形有两条边分别为2，4，则等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 6．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，则∠P的度数为（　　） A． B． C． D．180°﹣α 7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．180° B．240° C．300° D．360° 8．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D．若BD＝1，AB＝3，则BC的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 10．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别为边AB、AC上的动点，且满足AD＝CE，当CD+BE最小时，∠CDB的度数为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．90° 2、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，5）关于y轴对称点的坐标为 　 　 ． 12．八边形共有 　 　 条对角线． 13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB＝12，AD＝8，则AC的取值范围是 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD相交于点O，过点O作OM⊥BC于点M，则下列结论：①若∠A＝50°，则∠BOC＝115°；②；③若OM＝m，AB+BC+AC＝n，则S△ABCmn；④平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有3个．正确的有 　 　 ．（只填写序号） 16．如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x°，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是　 　 °．（用含x的式子表示） 3、 解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数． 18．（8分）如图，已知∠1＝∠2，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，求证：OC＝OB． 19．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E． （1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA． （1）求证：AD＝AB+CD； （2）若S△CDE＝3，S△ABE＝4，则四边形ABCD的面积为 　 　 （直接写出结果）． 21．（8分）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均在格点上，直线l与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图①中，作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'（点A，B，C分别对应A'，B'，C'），并作出△ACC'的高CH； （2）在图②中，P为AC上一点，在BC上作点Q，使得PQ∥AB； （3）在图③中，在线段AB上作点T，使得∠ATC＝∠ACB． 22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E． （1）如图1，求证：AD＝DE+BE； （2）如图2，点O为AB中点，连接OD，OE，求证：△ODE为等腰直角三角形． 23．（10分）△ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE． （1）如图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE； （2）如图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE； （3）如图3，当D在线段AC延长线上时，AF⊥BC交DB于F，CG⊥BD交BD于G，若∠BDE＝150°，BF，则△CGD的面积为　 　 ．（直接写结果） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足． （1）点A的坐标为　 　 ；点B的坐标为　 　 ； （2）如图1，E（5，0），连接BE，OD⊥BE于点D，交AB于点C，AG⊥OA交OD的延长线于点G，在x轴的负半轴上有一点F，连接CF，满足∠OEB＝∠OFC，求点F坐标； （3）如图2，N是射线OB上一点（N不与O、B、OB的中点重合），连接AN，过点O作OE⊥AN交AB于E，在AB的上方作∠BEK＝∠AEO，EK交y轴于点K，与直线AN交于点H，探究AH、OE、HE三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （测试范围：八年级上册第十三章~第十五章） 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误； B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误； C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误； D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 2．下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【分析】根据三角形内角和定理解决此题． 【解答】解：由题意得：x°+35°+115°＝180°． ∴x＝30． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键． 4．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（　　） A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF 【分析】求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； C．∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； D．BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 5．已知：等腰三角形有两条边分别为2，4，则等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 【分析】因为已知长度为2和4两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：当2为底时，其它两边都为4， 2、4、4可以构成三角形， 周长为10； 当2为腰时， 其它两边为2和4， ∵2+2＝4＝4，所以不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有10． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，则∠P的度数为（　　） A． B． C． D．180°﹣α 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠PBC+∠PCB的度数，再在△PBC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠P的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）＝90°α． 在△PBC中，∠PBC+∠PCB＝90°α， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°α）＝90°α． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．180° B．240° C．300° D．360° 【分析】根据三角形内角和定理以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可． 【解答】解：如图，∵∠CPQ是△PBE的外角，∠CQP是△AQD的外角， ∴∠CPQ＝∠B+∠E，∠CPQ＝∠A+∠D， 又∵∠CPQ+∠CQP+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是正确解答的关键． 8．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D．若BD＝1，AB＝3，则BC的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】在DC上截取DE＝BD＝1，连接AE，则AD是BE的垂直平分线，则AB＝AE＝3，再证明CE＝AE＝3，进而可得BC的长． 【解答】解：在DC上截取DE＝BD＝1，连接AE，如图所示： ∵AD⊥BC， ∴AD是BE的垂直平分线， ∴AB＝AE＝3， ∴∠1＝∠B， 又∵∠B＝2∠C，∠1＝∠C+∠2， ∴2∠C＝∠C+∠2， ∴∠2＝∠C， ∴CE＝AE＝3， ∴BC＝BD+DE+CE＝1+1+3＝5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键． 9．阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3． 【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意； B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意； C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意； D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM（SSS）． 10．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别为边AB、AC上的动点，且满足AD＝CE，当CD+BE最小时，∠CDB的度数为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．90° 【分析】过点A作AF⊥AB，且AF＝BC，连接DF，连接CF交AB于点D'，利用SAS证明△ADF≌△CEB，推出当CD+BE最小时，点D的位于D‘处，再求出∠CD'B的度数即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥AB，且AF＝BC，连接DF，连接CF交AB于点D'， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FAD＝∠BCE， 在△ADF和△CEB中， ， ∴△ADF≌△CEB（SAS）， ∴FD＝BE， ∴CD+BE＝CD+FD≥CF， ∴CD+BE最小时，点D位于点D'处， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴AC＝AF，∠CAF＝90°+45°＝135°， ∴∠ACD'＝∠AFD'（180°﹣135°）＝22.5°， ∴∠CD'B＝∠ACD'+∠CAD'＝22.5°+45°＝67.5°． 故选：B． 【点评】本题考查最短路线问题，解答中涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 2、 填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，5）关于y轴对称点的坐标为 　（3，5）　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点坐标为（3，5）， 故答案为：（3，5）． 【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12．八边形共有 　20　 条对角线． 【分析】八边形中从一个顶点发出的对角线有5条，因而对角线总的条数即可解得． 【解答】解：八边形的对角线有：8×（8﹣3）＝20条． 【点评】n边形的对角线有n（n﹣3）条． 13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ 　60°　 ． 【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， 由题意得， 解得：∠A＝60°，∠B＝30°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB＝12，AD＝8，则AC的取值范围是 　4＜AC＜28　 ． 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，再根据全等三角形对应边相等可得BE＝AC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答． 【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， 则AE＝2AD＝2×8＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC， 又∵AB＝12， ∴12+16＝28，16﹣12＝4， ∴4＜BE＜28， 即AC的取值范围是，4＜AC＜28． 故答案为：4＜AC＜28． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，“遇中线加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD相交于点O，过点O作OM⊥BC于点M，则下列结论：①若∠A＝50°，则∠BOC＝115°；②；③若OM＝m，AB+BC+AC＝n，则S△ABCmn；④平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有3个．正确的有 　①②③　 ．（只填写序号） 【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理可以判断①正确；根据三角形的面积即可判断②正确；过O点作OH⊥AB于H，OG⊥AC于G，根据角平分线的性质得OH＝OG＝OM＝m，再利用三角形的面积即可判断③正确；平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有4个，其中三角形内部1个，三角形外部有3个，进而可以判断④错误． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO＝∠OBC，∠OCB＝∠OCA， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴2∠OBC+2∠OCB＝180°﹣∠A， ∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A＝90°+25°＝115°，所以①正确； ∵B到AE、EC的距离相等， ∴， ∵BE、CD平分∠ABC和∠ACB， ∴E到AB、BC的距离相等， ∴， ∴，所以②正确； 过O点作OH⊥AB于H，OG⊥AC于G，如图， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OM⊥BC， ∴OG＝OH，OG＝OM， ∴OH＝OG＝OM＝m， 即点O到△ABC各边的距离相等， 连接OA，如图， S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△CAOOH•ABOM•BCOG•ACm（AB+BC+CA）mn，所以③正确； 平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有4个，分别是△ABC的内心和三个旁心，所以④错误． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． 16．如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x°，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是　（180）　 °．（用含x的式子表示） 【分析】延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO，由等腰三角形的性质可得∠E90°，由“SAS”可证△EAO≌△BAO，可得∠E＝∠ABO＝90°，由角平分线的性质和外角的性质可求解． 【解答】解：如图，延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO， ∵AB＝OC﹣AC， ∴AB+AC＝OC＝AE+AC， ∴EC＝OC， ∵AO平分∠NAC， ∴∠NAO＝∠OAC， ∵∠BAC＝∠EAN， ∴∠EAO＝∠BAO， 在△EAO和△BAO中， ， ∴△EAO≌△BAO（SAS）， ∴∠E＝∠ABO＝90°， ∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O， ∴OB平分∠ABC， ∴∠ABC＝180°﹣x°， ∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠NAC＝180°﹣x°+180°﹣2x°＝360°﹣3x°， ∴∠OAC＝180°， 故答案为：（180）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3、 解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数． 【分析】由高线可得∠ADC＝90°，由三角形的内角和可求得∠ABC＝50°，∠DAC＝18°，从而可求得∠BAD＝40°，再利用角平分线的定义可得∠ABF＝25°，再次利用三角形的内角和即可求∠AFB的度数． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝58°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°， ∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝18°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABF∠ABC＝25°， ∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAD＝115°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°． 18．（8分）如图，已知∠1＝∠2，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，求证：OC＝OB． 【分析】根据角平分线的性质得出OE＝OD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴OE＝OD， 在△OEC与△ODB中 ， ∴△OEC≌△ODB（ASA）， ∴OC＝OB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角的平分线的性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E． （1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出DE＝DF，再利用三角形面积公式即可求出． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD， ∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠DBC+∠DCB110°＝55°， ∴∠BDC＝180°﹣55°＝125°； （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝9， ∴S△BCDBC×DF9×4＝18． 【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理以及三角形面积，掌握这些知识点是解题的关键． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA． （1）求证：AD＝AB+CD； （2）若S△CDE＝3，S△ABE＝4，则四边形ABCD的面积为 　14　 （直接写出结果）． 【分析】（1）过点E作EF⊥AD于点F，根据角平分线的性质得出EC＝EF，利用HL证明Rt△DEC≌Rt△DEF，Rt△AEB≌Rt△AEF，根据全等三角形的性质得到CD＝FD，AF＝AB，根据线段的和差即可得解； （2）根据全等三角形的性质得出S△DEC＝S△DEF，S△AEB＝S△AEF，再根据四边形ABCD的面积＝S△DEC+S△DEF+S△AEB+S△AEF＝2S△DEC+22△AEB求解即可． 【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠C＝90°， ∴EC⊥CD， ∵DE平分∠CDA，EF⊥AD， ∴EC＝EF， 在Rt△DEC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△DEC≌Rt△DEF（HL）， ∴CD＝FD， ∵AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴EB＝EC＝EF， 在Rt△AEB和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL）， ∴AF＝AB， ∵AD＝AF+FD， ∴AD＝AB+CD； （2）解：∵△DEC≌△DEF，△AEB≌△AEF， ∴S△DEC＝S△DEF，S△AEB＝S△AEF， ∴四边形ABCD的面积＝S△DEC+S△DEF+S△AEB+S△AEF＝2S△DEC+2S△AEB， ∵S△CDE＝3，S△ABE＝4， ∴四边形ABCD的面积＝2×3+2×4＝14， 故答案为：14． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（8分）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均在格点上，直线l与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图①中，作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'（点A，B，C分别对应A'，B'，C'），并作出△ACC'的高CH； （2）在图②中，P为AC上一点，在BC上作点Q，使得PQ∥AB； （3）在图③中，在线段AB上作点T，使得∠ATC＝∠ACB． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可，再根据三角形高的定义作出线段CH； （2）取格点T，连接CT（CT是等腰三角形ACB的对称轴，利用轴对称的性质解决问题），AQ交于点O，连接BO，延长BO交AC于点P，连接PQ，线段PQ即为所求； （3）取格点J，连接AJ，CJ（构造等腰直角三角形），CJ交AB于点T，点T即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，△A'B'C'，线段CH即为所求； （2）如图②中，线段PQ即为所求； （3）如图③中，点T即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形． 22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E． （1）如图1，求证：AD＝DE+BE； （2）如图2，点O为AB中点，连接OD，OE，求证：△ODE为等腰直角三角形． 【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE＝DC，AD＝CE，可得结论； （2）连接CO，设AB与CE交于点F，由“SAS”可证△EBO≌△DCO，可得EO＝DO，∠BOE＝∠COD，由余角的性质可得∠DOE＝90°，可得结论． 【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA， 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD（AAS）； ∴BE＝DC，AD＝CE， ∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE； （2）如图2，连接CO，设AB与CE交于点F， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点， ∴AO＝BO＝CO，CO⊥AB， ∴∠BEF＝∠COF＝90°， 又∵∠BFE＝∠CFO， ∴∠EBO＝∠FCO， 在△EBO和△DCO中， ， ∴△EBO≌△DCO（SAS）， ∴EO＝DO，∠BOE＝∠COD， ∴∠DOE＝∠BOE+∠DOB＝∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°， ∴△EOD是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 23．（10分）△ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE． （1）如图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE； （2）如图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE； （3）如图3，当D在线段AC延长线上时，AF⊥BC交DB于F，CG⊥BD交BD于G，若∠BDE＝150°，BF，则△CGD的面积为　　 ．（直接写结果） 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD＝CD，∠CBD＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CED＝30°＝∠CBD，可证DB＝DE． （2）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB＝DE． （3）如图3中，连接CF．证明CF垂直平分线段BC，推出BF＝CF，再证明△CGD是等腰直角三角形，求出CG即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵点D为线段AC的中点， ∴BD平分∠CBA，AD＝CD， ∴∠CBD＝30°， 又∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∠CDE＝∠CED， 又∵∠CDE+∠CED＝∠BCD， ∴2∠CED＝60°， ∴∠CED＝30°＝∠CBD， ∴DB＝DE． （2）证明：如图2中，过点D作DF∥AB交BE于F， ∴∠CDF＝∠A，∠CFD＝∠ABC， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCA＝∠A＝60°，BC＝AC＝AB， ∴∠CDF＝∠CFD＝60°＝∠ACB＝∠DCF， ∴△CDF为等边三角形 ∴CD＝DF＝CF， 又AD＝CE， ∴AD﹣CD＝CE﹣CF， ∴BC＝AC＝EF， ∵∠BCD＝∠CFD+∠CDF＝120°， ∠DFE＝∠FCD+∠FDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DFE，且BC＝EF，CD＝DF， ∴△BCD≌△EFD（SAS） ∴DB＝DE． （3）解：如图3中，连接CF． ∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC， ∴AF平分线段BC， ∴AF垂直平分线段BC， ∴BF＝FC， ∴∠FCB＝∠FBC， 由（2）可知，DB＝DE， ∴∠E＝∠DBE， ∵∠BDE＝150°， ∴∠DBC＝∠E＝∠BCF＝15°， ∴∠CFG＝∠FBC+∠FCB＝15°+15°＝30°， ∵CG⊥BD， ∴∠CGF＝∠CGD＝90°， ∴CGCF， ∵∠ACB＝∠DBC+∠BDC＝60°， ∴∠CDG＝60°﹣15°＝45°， ∴∠GCD＝∠GDC＝45°， ∴CG＝GD， ∴S△CGD•CG•DG． 故答案为：． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足． （1）点A的坐标为　（3，0）　 ；点B的坐标为　（0，﹣3）　 ； （2）如图1，E（5，0），连接BE，OD⊥BE于点D，交AB于点C，AG⊥OA交OD的延长线于点G，在x轴的负半轴上有一点F，连接CF，满足∠OEB＝∠OFC，求点F坐标； （3）如图2，N是射线OB上一点（N不与O、B、OB的中点重合），连接AN，过点O作OE⊥AN交AB于E，在AB的上方作∠BEK＝∠AEO，EK交y轴于点K，与直线AN交于点H，探究AH、OE、HE三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 【分析】（1）根据非负性得出a＝3，b＝﹣3进而得出A，B的坐标即可； （2）根据互余证明∠G＝∠OEB＝∠OFC，根据等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝∠BAG＝45°，再证明△EOB≌△GAO（ASA），可得AG＝OE＝5，再证明△FAC≌△GAC（AAS），即可得解； （3）当N在线段OB上时，过点B作BM⊥OB，延长OE交BM于点M．先证明△AON≌△OBM（AAS），可得AN＝OM，再证明△BEK≌△BEM（AAS），可得ME＝KE，即可得解；当M在OB的延长线上时，同理证明即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴a﹣3＝0，b+3＝0， ∴a＝3，b＝﹣3， ∴A的坐标为（3，0），B的坐标为（0，﹣3）， 故答案为：（3，0）；（0，﹣3）； （2）∵OD⊥BE，AG⊥OA， ∴∠OAG＝∠ODB＝90°＝∠BOE， ∴∠OED+∠EOD＝90°，∠OGA+∠EOD＝90°， ∴∠G＝∠OEB＝∠OFC， 又∵在Rt△AOB中，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠BAG＝45°， 在△EOB和△GAO中， ， ∴△EOB≌△GAO（ASA）， ∴AG＝OE＝5， 在△FAC和△GAC中， ， ∴△FAC≌△GAC（AAS）， ∴AF＝AG＝5， ∴OF＝AF﹣OA＝2， ∴F（﹣2，0）； （3）AH＝OE+HE或AH＝OE﹣HE， 当N在线段OB上时，过点B作BM⊥OB，延长OE交BM于点M，设OE⊥AN于P．如图， ∵OE⊥AN，BM⊥OB， ∴∠AON＝∠APO＝∠OBM＝90°， ∴∠AOM＝∠OMB＝∠ANO，∠MBA＝∠OBA＝45°， 又∵∠AEO＝∠BEK， ∴∠BKE＝∠AOM＝∠OMB． ∴∠HNK＝∠HKN， ∴HK＝HN． 在△AON和△OBM中， ， ∴△AON≌△OBM（AAS）， ∴AN＝OM， 在△BEK和△BEM中， ， ∴△BEK≌△BEM（AAS）， ∴ME＝KE， ∴AH＝AN﹣HN＝OM﹣KH＝OM﹣（KE﹣HE）＝OM﹣KE+HE＝OM﹣EM+EH＝OE+HE， 当N在OB的延长线上时，如图， 同理可得，AH＝AN﹣HN＝OM﹣（KE+HE）＝OM﹣KE﹣HE＝OM﹣EM﹣EH＝OE﹣EH． 综上，AH＝OE+HE或AH＝OE﹣HE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，运用分类讨论思想． 学科网（北京）股份有限公司 $