专题04 整式的乘法（5大考点）（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学上学期

专题04 整式的乘法（5大考点） 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．A 2．【答案】32 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法逆用法则，根据同底数幂的乘法公式进行转化，再整体代入计算便可． 【详解】 解：，，， ， 故答案为：32． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．C 2．A 3．D 4．【答案】4 【分析】 把2m•4n转化成2m•22n的形式，根据同底数幂乘法法则可得2m•22n=2m+2n，把m+2n=2代入求值即可. 【详解】 由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2， ∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝22＝4． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键． 5．【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方运算的逆运算，通过寻找指数的最大公约数，将两个幂次转化为相同指数形式，从而比较底数大小． 【详解】 解： 和 的最大公约数为 ， ，， 由于 ，且指数相同， 因此 ， 即 ， 故答案为． 6．【答案】.5 【分析】 本题主要考查积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握积的乘方运算法则．根据积的乘方逆运算运算法则计算即可． 【详解】 解：原式 = ． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方运算法则：． 根据幂的乘方运算法则运算法则计算，注意符号，负数的偶次方是正数． 【详解】 ． 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式运算法则和混合运算顺序是解题的关键． （1）先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可求解； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘法，最后合并同类项即可求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式 ． 9．【答案】（1）x的值为1     （2）184      【分析】 本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， 即， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， 原式． 10．【答案】（1）2，-3     （2）① 0；②      【分析】 (1)根据规定即可求得； (2)根据证明的过程，通过变式即可分别求得． (1) 小问详解： 解： 故答案为：2，； (2) 小问详解： 解：① ②，，， ，，， ， ，从而, ， 即． 【点睛】 本题考查了幂的乘方运算的变式，理解题意，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和整式的减法运算，准确的计算是解决本题的关键， （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂相乘，再按照整式的减法运算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点03 整式的乘法 1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查幂的运算，包括幂的乘方和同底数幂的乘除法，掌握相关公式和法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法计算即可． （2）将看成整体，利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查单项式乘以单项式，积的乘方及合并同类项，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解； （2）根据积的乘方及合并同类项可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 8．【答案】（1）6     （2）2     （3）      【分析】 （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． (1) 小问详解： 解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； (2) 小问详解： ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； (3) 小问详解： ， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】 本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，即：， ∴， 则 ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查整式化简及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 10．【答案】12 【分析】 本题考查多项式乘法的运算，以及不含某项时系数为零的性质． 先展开多项式，根据不含和项的条件，令相应系数为零，解出和的值，再计算． 【详解】 解：： 由于展开式中不含和项，则 ， 解得， 因此， 故答案为： 12． 11．【答案】（1）     （2）平方米      【分析】 本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． (1) 小问详解： 解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； (2) 小问详解： 当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 12．【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，其运算顺序为先乘方，再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． 根据整式混合运算法则，先去掉括号，合并同类项，得化简后的代数式为，最后将值代入运算即可得到答案． 【详解】 解：原式， 当时， 原式． 答：化简后为，其值为． 13．【答案】（1）36；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了数字图形的规律题，准确计算是解题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据规律计算即可； （3）根据圆的面积公式和规律计算即可． 【详解】 解：（1）根据题意，得 ， 故答案为：36； （2）根据题意，得； （3）所有阴影部分的面积和为： ． 14．【答案】（1）0     （2）      【分析】 （1）先利用幂的乘方运算法则计算，再利用同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 【点睛】 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，多项式除以单项式，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点04 平方差公式 1．A 2．【答案】① 1    ②     ③ 【分析】 本题考查了零次幂、平方差公式以及添括号．根据零次幂、平方差公式以及添括号法则计算即可求解． 【详解】 解：； ； ． 故答案为：；；． 3．【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 首先根据多项式除以单项式法则、平方差公式进行运算，然后去括号，合并同类项即可完成化简，再代入求值即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 考点05 完全平方公式 1．D 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式把所给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【答案】，0 【分析】 本题主要考查了整式的乘法与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．先去括号，合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 ， 当，时， ． 4．【答案】（1）3     （2）     （3）9      【分析】 （1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 故答案为：3； (2) 小问详解： ， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： ， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．【答案】（1）43     （2）     （3）24      【分析】 （1）设，则，，再利用完全平方公式解答即可； （2）设，则，，再利用完全平方公式解答即可； （3）根据题意得：，则，设，则，可得，再由长方形的面积是35，可得，再利用完全平方公式可得，解答即可． (1) 小问详解： 解：设，则 ，， ∴； 故答案为：43 (2) 小问详解： 解：设，则 ，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：根据题意得：，则， 设，则， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 6．【答案】（1）；；；9； （2）32 【分析】 本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】 （1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 7．【答案】（1）；     （2） 证明：过O分别作于M点，作于N点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴；     （3）的值不发生改变，等于9      【分析】 （1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵C的坐标为， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算 的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）已知，，则的值为　　　　　　． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）下列各式运算正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为　　　　　． 5．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）比较大小：　　　　　　． 6．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算的结果等于　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）计算： （1） （2） 9．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）求值： （1）已知，求的值； （2）已知是正整数，且，求的值． 10．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： 设，则，即． 所以，即， 所以． 试解决下列问题： ①计算； ②若令，，，试探索与的大小关系． 11．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算： （1）． （2） 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）现在有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）公元1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：前面第一个数和第二个数都是1，从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为（     ） A. 1350 B. 674 C. 1348 D. 1013 5．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）对于以下整式：，，，，下列说法正确的有（     ） ①当时，若，则的值为1或3； ②如果为第1项，为第2项，为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项，…，依此类推，则第25项为； ⑧记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，…，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）计算． （1）； （2） 7．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）计算： （1）； （2）． 8．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）定义 ，如 ．已知 （为常数）， ． （1）若，求的值 （2）若的代数式中不含的一次项，求的值 （3）若的满足，且的值，求的值 9．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）若，，则的值为　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有、的式子表示绿化的面积； （2）若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 12．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）观察： ； ； … 探究： （1）_______（直接写答案）； （2）求的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 14．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）计算： （1）； （2）． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（　　） A. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C. （a+b）2＝a2+2ab+b2 D. a2+2ab+b2＝（a+b）2 2．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）计算：　　　　　　；　　　　　　；　　　　　　． 3．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）先化简，再求值：，其中，． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（       ）个． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，则b的值为　　　　　　． 3．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）先化简，再求值：，其中，． 4．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： （1）若，则代数式的值为________ （2）若，求代数式的值； （3）已知：，求代数式的值． 5．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）阅读以下材料： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若x满足，则______； （2）已知，求； （3）如图，已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积．（提示：） 6．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 7．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算 的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了同底数幂运算法则，解题的关键是能熟练运用该法则． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）已知，，则的值为　　　　　　． 【答案】32 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法逆用法则，根据同底数幂的乘法公式进行转化，再整体代入计算便可． 【详解】 解：，，， ， 故答案为：32． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方运算法则． 【详解】 解：A. ，选项运算错误； B. ，选项运算错误； C. ，选项运算正确； D. ，选项运算错误； 故选：C． 2．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查整式的运算，包括合并同类项和幂的乘方法则，根据相关法则逐项计算即可得出答案． 【详解】 解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故 D错误， 故选：A． 3．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）下列各式运算正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方等．根据运算法则逐一验证各选项． 【分析】 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为　　　　　． 【答案】4 【分析】 把2m•4n转化成2m•22n的形式，根据同底数幂乘法法则可得2m•22n=2m+2n，把m+2n=2代入求值即可. 【详解】 由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2， ∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝22＝4． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键． 5．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）比较大小：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方运算的逆运算，通过寻找指数的最大公约数，将两个幂次转化为相同指数形式，从而比较底数大小． 【详解】 解： 和 的最大公约数为 ， ，， 由于 ，且指数相同， 因此 ， 即 ， 故答案为． 6．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题主要考查积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握积的乘方运算法则．根据积的乘方逆运算运算法则计算即可． 【详解】 解：原式 = ． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算的结果等于　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方运算法则：． 根据幂的乘方运算法则运算法则计算，注意符号，负数的偶次方是正数． 【详解】 ． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式运算法则和混合运算顺序是解题的关键． （1）先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可求解； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘法，最后合并同类项即可求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式 ． 9．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）求值： （1）已知，求的值； （2）已知是正整数，且，求的值． 【答案】（1）x的值为1     （2）184      【分析】 本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， 即， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， 原式． 10．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： 设，则，即． 所以，即， 所以． 试解决下列问题： ①计算； ②若令，，，试探索与的大小关系． 【答案】（1）2，-3     （2）① 0；②      【分析】 (1)根据规定即可求得； (2)根据证明的过程，通过变式即可分别求得． (1) 小问详解： 解： 故答案为：2，； (2) 小问详解： 解：① ②，，， ，，， ， ，从而, ， 即． 【点睛】 本题考查了幂的乘方运算的变式，理解题意，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． 11．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）计算： （1）． （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和整式的减法运算，准确的计算是解决本题的关键， （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂相乘，再按照整式的减法运算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）现在有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 拼成的大长方形的面积是，即需要2个边长为的正方形，1个边长为的正方形和3个类卡片的面积是． 【详解】 解：． 则需要类卡片张数为3张． 故选C． 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键． 2．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则、合并同类项法则分别计算判断即可． 【详解】 解：A项：，故此选项不符合题意； B项：，故此选项不符合题意； C项：，故此选项不符合题意； D项：，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了整式的除法运算．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】 解：∵三角形的面积为，它的一边长为， ∴这个边上的高为： ， 故选：A． 4．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）公元1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：前面第一个数和第二个数都是1，从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为（     ） A. 1350 B. 674 C. 1348 D. 1013 【答案】A 【分析】 本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出数字的周期性规律． 斐波那契数列的奇偶性呈现周期性规律，每3个数为一组，每组模式为“奇、奇、偶”，即每组有2个奇数和1个偶数，前2025个数恰好被3整除，因此可直接计算组数和奇数个数． 【详解】 解：∵数列从第1项起，奇偶性以3为周期循环：奇、奇、偶， 前2025个数中，组数为组， 每组有2个奇数， ∴奇数总数为， 故选：A． 5．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）对于以下整式：，，，，下列说法正确的有（     ） ①当时，若，则的值为1或3； ②如果为第1项，为第2项，为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项，…，依此类推，则第25项为； ⑧记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，…，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题主要依托整数的加减运算考查规律问题，（1）有题意得，化简绝对值求解即可；（2）根据定义列出这列数，即可知从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，的系数互为相反数，且绝对值一次增加6，则第25项为；（3）结合已知定义列出前几项，总结出，，结合多项式的定义可得即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∵， ∴，解得或3，故（1）正确； （2）这列数为： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第五项：， 第六项：， 第七项：， 第八项：， 第九项： ⋯⋯ 从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，的系数互为相反数，且绝对值一次增加6， ∴第25项为，故（2）错误； （3）， ， ， ， ， ⋯⋯ 则，， ∵， ∴， ∴， 则，故（3）正确 故选：C． 6．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）计算． （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查幂的运算，包括幂的乘方和同底数幂的乘除法，掌握相关公式和法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法计算即可． （2）将看成整体，利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 7．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查单项式乘以单项式，积的乘方及合并同类项，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解； （2）根据积的乘方及合并同类项可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 8．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）定义 ，如 ．已知 （为常数）， ． （1）若，求的值 （2）若的代数式中不含的一次项，求的值 （3）若的满足，且的值，求的值 【答案】（1）6     （2）2     （3）      【分析】 （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． (1) 小问详解： 解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； (2) 小问详解： ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； (3) 小问详解： ， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】 本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 9．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）若，，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，即：， ∴， 则 ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查整式化简及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 10．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查多项式乘法的运算，以及不含某项时系数为零的性质． 先展开多项式，根据不含和项的条件，令相应系数为零，解出和的值，再计算． 【详解】 解：： 由于展开式中不含和项，则 ， 解得， 因此， 故答案为： 12． 11．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有、的式子表示绿化的面积； （2）若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】（1）     （2）平方米      【分析】 本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． (1) 小问详解： 解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； (2) 小问详解： 当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 12．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，其运算顺序为先乘方，再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． 根据整式混合运算法则，先去掉括号，合并同类项，得化简后的代数式为，最后将值代入运算即可得到答案． 【详解】 解：原式， 当时， 原式． 答：化简后为，其值为． 13．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）观察： ； ； … 探究： （1）_______（直接写答案）； （2）求的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】（1）36；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了数字图形的规律题，准确计算是解题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据规律计算即可； （3）根据圆的面积公式和规律计算即可． 【详解】 解：（1）根据题意，得 ， 故答案为：36； （2）根据题意，得； （3）所有阴影部分的面积和为： ． 14．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0     （2）      【分析】 （1）先利用幂的乘方运算法则计算，再利用同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 【点睛】 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，多项式除以单项式，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（　　） A. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C. （a+b）2＝a2+2ab+b2 D. a2+2ab+b2＝（a+b）2 【答案】A 【分析】 根据边长为的正方形剪掉边长为的正方形的面积和长方形的面积相等，进行判断即可． 【详解】 解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b）， 图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2-b2， 所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2． 故选：A． 【点睛】 本题考查了平方差公式的几何背景，根据剪拼前后图形的面积相等求解是解题的关键． 2．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）计算：　　　　　　；　　　　　　；　　　　　　． 【答案】① 1    ②     ③ 【分析】 本题考查了零次幂、平方差公式以及添括号．根据零次幂、平方差公式以及添括号法则计算即可求解． 【详解】 解：； ； ． 故答案为：；；． 3．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 首先根据多项式除以单项式法则、平方差公式进行运算，然后去括号，合并同类项即可完成化简，再代入求值即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（       ）个． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查整式的加减、完全平方公式与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合乘法公式计算逐个判断即可． 【详解】 解：由图形可得，，，故① 正确； ∴，故②正确； 由图形可得，，故③ 正确； ， ∴，即故④ 正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，则b的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式把所给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】 本题主要考查了整式的乘法与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．先去括号，合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 ， 当，时， ． 4．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： （1）若，则代数式的值为________ （2）若，求代数式的值； （3）已知：，求代数式的值． 【答案】（1）3     （2）     （3）9      【分析】 （1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 故答案为：3； (2) 小问详解： ， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： ， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）阅读以下材料： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若x满足，则______； （2）已知，求； （3）如图，已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积．（提示：） 【答案】（1）43     （2）     （3）24      【分析】 （1）设，则，，再利用完全平方公式解答即可； （2）设，则，，再利用完全平方公式解答即可； （3）根据题意得：，则，设，则，可得，再由长方形的面积是35，可得，再利用完全平方公式可得，解答即可． (1) 小问详解： 解：设，则 ，， ∴； 故答案为：43 (2) 小问详解： 解：设，则 ，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：根据题意得：，则， 设，则， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 6．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9； （2）32 【分析】 本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】 （1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 7．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）；     （2） 证明：过O分别作于M点，作于N点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴；     （3）的值不发生改变，等于9      【分析】 （1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵C的坐标为， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $