专题03 轴对称（5大考点）（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称（5大考点） 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．A 13．A 14．D 15．D 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，再由三角形周长计算公式求出和的值，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：由折叠的性质可得， ∵与的周长分别为，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 18．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，角平分线的性质定理，三角形的三边关系，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】或或 【分析】 本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】 解：① 如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ② 如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③ 如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．B 7．D 8．D 9．A 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，再由的周长，计算即可得解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】 解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 12．【答案】 【分析】 本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】 解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 13．【答案】如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 【分析】 把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题． 【详解】 解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”． 故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等； 【点睛】 要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 14．【答案】（1）3     （2） 解：垂直平分，证明如下： 是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， ， 垂直平分．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，，，由，代入计算即可； （2）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答． (1) 小问详解： 解：是的角平分线，分别是和的高， ，，， ， ， ． (2) 小问详解： 略 15．【答案】证明：在△AOB与△COD中， ∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB=OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE=DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 【分析】 先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质． 16．【答案】（1）     （2） 证明：∵平分，且， ∴， 由（1）可知，， ． ， ．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）由角平分线的性质得，根据含角直角三角形的性质得到，进而可得证． (1) 小问详解： 解：垂直平分， ， ． 又平分， ， ， 又， ； (2) 小问详解： 证明：略． 17．【答案】见解析 【分析】 本题考查作图−应用与设计、角平分线．线段的垂直平分线等知识，作，夹角的平分线，线段AB的垂直平分线即可，交点即为所求． 【详解】 解：点的位置如答图所示． 18．【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，在取点，使，连接，则可证明，进而证明，再由线段的和差关系可判断①；证明，得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，再由平角的定义和四边形内角和定理可判断②；根据全等三角形的性质可判断③；根据①所求可判断④；根据三角形中线的性质得到，再由图形面积之间的关系可判断⑤ ． 【详解】 解：在取点，使，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴ 又∵ ∴， ∴， 垂直平分， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故正确； 由知，，且，则，故④ 错误； ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴，故⑤ 错误． ∴正确的有① ② ③ ， 故答案为：① ② ③ ． 19．【答案】（1） 如图所示，点C即为所求；      （2） 如图所示，点E即为所求；      （3） 如图所示，点C即为所求；      （4） 如图所示，即为所求； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 考点03 画轴对称的图形 1．C 2．A 3．A 4．C 5．A 6．【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴对称， 的横坐标变为相反数，纵坐标不变， 关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．【答案】（1） 即为所作： ，，．     （2） ① 中线即为所作： ② 如图所示，点P即为所作．      【分析】 本题主要考查轴对称图形的性质，坐标与图形，网格特点，掌握轴对称图形的性质，写出坐标是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图，由平面直角坐标系与图形特点写坐标即可； （2）① 取中点E，连接即可；② 取点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于点P，连接，则，，此时的值最小，点P即为所求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② 略 8．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）解：由（1）所作图形可得： ，，．     （3）       【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据题意，先做出、、三点关于轴对称的、、，坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，然后首尾顺次连接得到． （2）由（1）中所做的图形，可以得到，，． （3）利用割补法，的面积，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知， 9．【答案】 【分析】 本题考查坐标与平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：点向左平移2个单位长度，横坐标减少2，纵坐标不变，得点， 由于点关于y轴对称，则横坐标取相反数，纵坐标不变，得点． 故答案为：． 10．【答案】6 【分析】 本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】 解：∵点在第一象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．【答案】解：如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形．根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】 略 12．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15．【答案】（1） 如图：      （2） 如图：      （3） 如图：      （4） 如图： 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，找到的中点，连接即可； （2）观察图形发现，根据等腰直角三角形的性质，过点作，连接交于点即可； （3）将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点即可； （4）作点关于线段的对角线，连接，线段于的交点为所求的点． (1) 小问详解： 解：观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，连接中点所在的由两个小正方形构成的的长方形的对角线，该对角线与的交点即为所求的点，连接； (2) 小问详解： 解：观察图形发现，过点作，连接交于点； (3) 小问详解： 解：将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点，即为的角平分线； (4) 小问详解： 解：作点关于线段的对角线，连接，线段与的交点为所求的点 16．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）点的坐标为，点的坐标为     （3）      【分析】 本题主要考查轴对称与坐标，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点关于轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）坐标系可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：． 17．【答案】（1）图见解析，的坐标为     （2）见解析     （3）21      【分析】 本题考查作轴对称图形，点的坐标，利用轴对称求最短路径问题，利用网格求图形平移扫过的面积． （1）利用轴对称的性质作图，再根据点的位置写出坐标即可； （2）作点B关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点，再连接交x轴于D，交y轴于E，由轴对称的性质得，，所以，根据两点之间，线段最短可知，此时，最小． （3）利用平移性质，作出图形，再利用网格计算面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求，的坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，点，点即为所求． (3) 小问详解： 解：如图，向右平移五个单位长度，得到， 则扫过的面积， 故答案为：21． 18．【答案】（1）     （2） 如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据割补法求解即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，，然后连接即可． （3）根据关于x轴对称的特点，求出a，b即可． (1) 小问详解： 解：的面积是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点与点C关于x轴对称，， ∴，， ∴． 19．【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】点P（-2，5）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-5）， 故答案为（-2，-5）． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键 20．【答案】（1） 如图所示，就是所求作的图形；      （2）     （3）4      【分析】 本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，等腰三角形定义，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的特征画图即可； （2）连结，交x轴于点P，由于点C关于x轴的对称点为点，所以的最小值为的长，然后求出直线的解析式，再求其与x轴的交点坐标即可； （3）分为等腰三角形的腰和底两种情况讨论，通过作图即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连结，交x轴于点P， 由于点C关于x轴的对称点为点，所以的最小值为的长； 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 令，则， 解得， 点P的坐标为． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：当为腰时，如图，，， 当为底时，如图， 因此，满足题意的点Q有4个． 故答案为：4． 21．【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】 解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 故答案为：． 考点04 等腰三角形 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 9．B 10．D 11．D 12．C 13．C 14．C 15．C 16．C 17．A 18．C 19．C 20．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，，可得证明即可求证． 【详解】 略 21．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】 解：∵为的中线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 22．【答案】�度 【分析】 本题考查了全等三角形的证明及性质，以及等腰三角形的性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而得到，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】 解：如图，可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 23．【答案】（1） 证明：在和中    ， ；     （2）      【分析】 （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ， ， ． 24．【答案】或度或度50°或80°度或度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．分两种情况讨论：若角为底角；若角为顶角，即可求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】 解：若角为底角，它的底角度数为； 若角为顶角，它的底角度数为； 故答案为：或． 25．【答案】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用知识是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质可求出，再由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得到，再等量代换即可得到结论． 【详解】 略 26．【答案】， 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理与外角的性质，等边对等角；根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求；根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】 解：在中，， ， 又， ， 在中，， ， 是的外角， ， ． 27．【答案】15 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，由题意可得，米，，由直角三角形的性质可得米，即可得解． 【详解】 解：由题意可得，，米，， ∴米， ∴松树断裂前的高为米， 故答案为：15． 28．【答案】（1） 证明：      （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得，推出，进而得，即可求解； （2）分别过、作于点，于点，证得，即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：分别过、作于点，于点， ， ，． 在和中 29．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可证，进而根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后根据（1）中进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 30．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 由可知为等腰三角形，且，结合，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 整理得， 解得． 故答案为：． 32．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴；     （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即.      【分析】 （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．【答案】4米 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出，最后根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直于点， ∴， ∴（米）． 34．【答案】（1）     （2） 证明：作交的延长线于点M， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， 设，，，则， ∵，即， 即， 整理得∶， ∵，则， 即，， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查等腰三角形，三角形全等的判定和性质； （1）作交于点F，证出，得到，即可求出结果； （2）作交的延长线于点M，证出为等腰直角三角形，设，，，则，得到，，证出，得到，即可证出结论． (1) 小问详解： 解：作交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 35．【答案】5 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 36．【答案】（1） 证明：∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为的中点     （2） 证明：由（）得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，      【分析】 （1）证明，得到，即可证明； （2）由（1）得，从而，，进而，由三线合一得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形的全等判定，等腰三角形的性质，垂线定义，中点定义，根据定理内容解题是重点． 37．【答案】（1）海岛B到灯塔C的距离为海里     （2）若这条船继续向正北航行（航速不变），当天时船与灯塔C的距离最短      【分析】 本题考查了三角形外角的定义及性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得（海里），，，由三角形外角的定义及性质可得，由等角对等边可得海里，即可得解； （2）作于，根据垂线段最短可得，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，再由直角三角形的性质求出的长即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意得：（海里），，， ∵， ∴， ∴海里， ∴海岛B到灯塔C的距离为海里； (2) 小问详解： 解：如图，作于， 根据垂线段最短可得，线段的长为小船与灯塔C的最短距离， ∵，，海里， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴若这条船继续向正北航行（航速不变），当天时船与灯塔C的距离最短． 38．【答案】（1）     （2） 证明：过作轴于，设，交于，如图： ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ；     （3） 证明：连接，设交于，如图： ，， ，， 由（2）知， ， ，， 是等腰直角三角形， 为中点， ，， ， 由（2）知，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）过作轴于，证明，可得，，即得； （2）过作轴于，设，交于，证明，可得，，由，，知，即得，故，有，从而，又，可证； （3）连接，设交于，证明，可得，即可知，而，故，． (1) 小问详解： 解：过作轴于，如图 ， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 39．【答案】（1）；（2）①，② 【分析】 （1）先证出，那么，根据全等三角形证出，求出，得出，从而证出； （2）证明，得出，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】 解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． 故答案为： （2），． 理由：∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 40．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，① 根据垂线的性质即可解答；② 如图1，延长至N，使，连接，证明和，即可解答；③ 过点C作于P，证明得出，根据可求出结论；④ 根据可得结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 如图，延长至N，使，连接，设交于点H， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ③ 如上图，过点C作于P，设与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴，即， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴，故③ 错误； ④ ∵，， ∴，故④ 正确； 所以本题结论正确的有：① ② ④ ； 故答案为：① ② ④ ． 41．【答案】2 【分析】 本题考查了作图，三角形的内角和定理的应用，直角三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．如图，过作于，证明，再证明，再结合勾股定理可得答案． 【详解】 解：如图，过作于， 由作图可得：， ， ， ， ， ， ∴到的距离为2； 故答案为：2． 42．【答案】（1）     （2）9      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，理解等腰三角形的性质和判定是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质先求出，根据角平分线的性质求出即可． （2）先根据三角形的内角和定理求出的度数，从而得到，根据等角对等边得到，再证，即可求解． 【详解】 解：（1）， ， 由作图可知：是的角平分线， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 43．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的定义，正确理解一次对称点和二次对称点的定义是解题的关键． （1）根据题意可知一次对称点是原来的点关于x轴对称的点，二次对称点是原来的点关于x轴对称的点关于直线对称的点，据此求解即可； （2）根据题意可求出，，则可证明，再由等腰直角三角形的定义可得，则可推出，据此可得答案； （3）根据题意可求出，，再分点在该直线上和点在该直线上，两种情况分别建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，直线l即为直线， ∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴点的一次对称点为，二次对称点为； (2) 小问详解： 解：∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴点在第三象限，点在第四象限， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：点，，且四边形是以为边的（，在线段的上方）的正方形， ∴轴， ∴， ， ∴正方形的一次对称图形，即正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的二次对称图形，即正方形的各顶点的坐标分别为，， 二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点， 若点在该直线上，则 解得， 若点在该直线上，则： 解得， 的取值范围是． 44．【答案】（1）     （2） 和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ， ， ∵， ∴， 在和中， ；     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先表示出，根据，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度． (1) 小问详解： 解：依题意，，则； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：点、的运动速度不相等， ， 又与全等，， ，， ∴点，点运动的时间为秒， 个单位长度秒， 当点的运动速度为4个单位长度秒时，能够使与全等． 45．【答案】（1） 是的角平分线，，， ， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分；     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，进而证明，进而证明，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含角的直角三角形的性质，即可求解的长度； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， ； ， ． 46．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】 解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：2． 47．【答案】（1） 证明：，，， ，， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ；     （2） ，理由如下： 过点作，交延长线于点，则， 同（1）得， ，， ， ， ， ， ， ， ．     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质和角的和差证明和，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明，，再根据全等三角形对应边相等得出，，即可求解； （3）先证明，得出，再根据，，得出，，根据，可得，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点作，垂足为，则， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 和等底等高， ， ． 48．【答案】（1）BP=7海里； （2）没有危险，过点P作PD垂直AC， 则∠PDB=90° ∴PD=PB=3.5＞3 ∴没有危险 【分析】 （1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解． （2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小． 【详解】 解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30° ∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°， ∴∠PAB=∠APB ∴BP=AB=7（海里） （2） 略 49．【答案】（1）；     （2）     （3） 或， 证明：当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图，    ，， ， ，， 又， ． ， ． 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当N在的延长线上时，如图，    同理可得，．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，运用分类讨论思想． （1）根据非负性求解即可； （2）根据互余证明，根据等腰三角形的性质可得，再证明，可得，再证明，即可得解； （3）当N在线段上时，过点作，延长交于点．先证明，可得，再证明，可得，即可得解；当N在的延长线上时，同理证明即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 50．【答案】（1）     （2） ① 证明：连接， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②     （3）是，定值为      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）① 连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； ② 过点作轴于点，由题意易得，则有，设，然后可得，进而问题可求解； （3）过点作交轴于点，由题意易证，则有，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证． (1) 小问详解： 解：∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； (2) 小问详解： ① 略 ② 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过点作交轴于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，，， 过点作交轴于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ；     （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 52．【答案】（1）     （2） 解：连接，过B作交延长线于H，则， ∵，点C的坐标是， ∴，轴，则，， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴．     （3）当D在x轴下方时，；当D在x轴上方时，      【分析】 （1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）连接，过B作交延长线于H，先根据坐标与图形性质得到，轴，，证明得到，，再证明得到，进而可得结论； （3）当D在x轴下方时，过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解；同理当D在x轴上方时，得到，可得解． (1) 小问详解： 解：如图（1），过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴，， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当D在x轴下方时，如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：； 当D在x轴上方时，如图，过点作轴于点， 同理可证明， ，， ， 即：， 综上，当D在x轴下方时，；当D在x轴上方时，． 【点睛】 本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 53．【答案】（1）证明：作于点E． ∵， ∴，      ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴，    ∴； （2）解：成立．理由如下： 延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴．        ∴． ∵平分， ∴．        在和中 ， ∴． ∴； （3）2 【分析】 本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴．        ∴． ∵． ∴． ∴．        同理． ∴．        由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 54．【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角等内容，解题的关键是掌握以上性质． ① 利用等腰三角形的三线合一求证即可； ② 连接，根据等腰三角形的性质以及角的和差进行求解即可； ③ 利用等边对等角以及角的和差进行求解即可； ④ 利用等边对等角以及角的和差进行求解即可． 【详解】 解：① ∵为等边三角形，且， ∴， 故① 正确，符合题意； ② 如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④，， ， ， ， ∴， ∴， 故④ 错误，不符合题意； 综上，正确选项为：① ② ③ ， 故答案为：① ② ③ ． 考点05 等边三角形 1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．C 8．【答案】（1）海岛到海岛的距离为40海里     （2）海岛派出的救援队先到达渔船处      【分析】 本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质（三线合一）求出的度数，再利用等边对等角求解即可． 【详解】 解：∵为等边三角形，且为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．【答案】度 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．【答案】（1）     （2） ，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；     （3）3， 如图3所示： 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 12．【答案】（1）①②B，C，D     （2），证明见解析     （3）      【分析】 本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）① 根据题意，进行猜测结果； ② 根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可； （2）延长到点，使，连接，则，根据三角形的三边关系得出，证明，得出对应边相等，然后等量代换即可； （3）在上截取，连接，根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出，证明，得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出，作于点于点，根据角平分线的性质定理得出，然后根据三角形面积和边的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：① 如果，则， 故答案为：； ② 可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性质来进行证明． 故答案为：B，C，D； (2) 小问详解： 解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，则， ∵平分， 在和中， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，在上截取，连接， ∵，的角平分线交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 作于点于点， 平分， ， ， ∴的值为． 13．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ∵，， ∴，     （2） 证明：∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴；     （3）6      【分析】 （1）利用“边角边”即可证明； （2）证明，即可求证； （3）延长至点H，使，连接，证明，可得，从而得到，再由为等边三角形，可得，由（2）得：，，，从而得到，再证明，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，延长至点H，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，找到图中的全等三角形． 14．【答案】4 【分析】 本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】 解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故答案为：4． 15．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 16．【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形；     （2） 解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴.      【分析】 （1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 17．【答案】证明：是等边三角形，是中线， ．（等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ． ． ． 【分析】 此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】 略 18．【答案】13 【分析】 根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BN=18，求得MG=10，于是得到结论． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠B=60°， 作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P， 则此时，MP+PN的值最小， ∵∠B=60°，∠BNG=90°， ∴∠G=30°， ∵BN=9， ∴BG=2BN=18， ∴MG=BG-BM=18-8=10， ∴CM=CG=5， ∴AC=BC=13， 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 19．【答案】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3） 【分析】 （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N，证得，进而得．在中、、，同理∶；进而得，在中，由，得，再根据等量代换即可解答． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20．【答案】（1）9     （2） 证明：与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． 设与交于点，交于点， 在和中， ， ， 且， ， ， 同理可得，． 过点分别作，， ， ，， ． ，， 平分． ， ， ， ， ， ， 点是的费马点；     （3）       【分析】 （1）延长交于点，先用证明，得到点是三边的垂直平分线的交点，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解这个等边三角形的高的长度； （2）由与均为等边三角形可以证明．设与交于点，交于点，证明，．过点分别作，，证明平分，最后再求出即可求解； （3）设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，，证明点是的费马点，即污水处理站的位置，且证明是的垂直平分线，即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：如图，延长交于点， 点是的费马点， ， ， ． 是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点是三边的垂直平分线的交点， ．， ， ， ， ． 故答案为：9； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 当四点共线时，为最小值， 此时， ，． ， ， ． ， 点是的费马点，即污水处理站的位置． 由题意得，， 是的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21．【答案】[定理] 平分； [运用]证明：过C点于E，作，交延长线于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． [拓展] 【分析】 本题考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质； [定理]直接证明，得到，即平分； [运用]过C点于E，作，交延长线于点H，证明，得到，根据角平分线判定定理可得平分； [拓展]过作于，过作于，于，先有等边三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性质可得，，此时同[运用]的模型一样，证明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可． 【详解】 [定理]解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； [运用]略 [拓展]解：过作于，过作于，于， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【答案】（1）①； ②由①得：， ∴， ∵， ∴； （2）如图2，把线段绕点A逆时针旋转60度，到．连接、， ∴，为正三角形， ∴，， 又∵， ∴，则C，P，Q在同一条直线上． ∵，， ∴为正三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，，即； （3）的最小值为 【分析】 （1）①利用等边三角形的性质以及角的和差关系证明，进而证明，由全等三角形的性质可得出，进一步求出． ②由全等三角形的性质得出，进一步证明． （2）把线段绕点A逆时针旋转60度，到．连接、，则得出为正三角形，进一步证明为正三角形，进一步得出，再证明，由全等三角形的性质得出，再根据三角形三边关系即可证得． （3）如图3，以为对称轴作等边，连接，并延长交x轴于点F．先证明，再得出点C在直线上运动，当时，最小，最后利用含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：（1）① ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 （2）略 （3）如图3，以为对称轴作等边，连接，并延长交x轴于点F． 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点C在直线上运动， 当时，最小， ∴， 则的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形综合问题，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角的性质，垂线段最短，三角形三边关系的应用，坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． 23．【答案】（1）60°     （2） 证明：在上取点，令，连接 ， 为等边三角形 ， 又为等边三角形 ， ． 在和中 .      【分析】 （1）设，交于点，得，，，证，即可求解； （2）在上取点，令，连接，得，，，则可证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：设，交于点． 、为等边三角形 ，， 在和中 ） ． 又 ． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质，等边三角形性质等知识点；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键． 24．【答案】或 【分析】 本题主要考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质．分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】 解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 25．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，过点B作，连接，则，根据等角对等边得出，可求出，则是等边三角形，得出，，然后导角可求出，根据等角对等边得出，最后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 过点B作，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）下列图标中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）2025年10月19日至10月24日，国际军体第54届海军五项世锦赛在武汉举行．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（          ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 9．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）欣赏下列图形，感受数学几何图形的对称美，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（       ） A. 中 B. 秋 C. 快 D. 乐 11．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 12．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（       ） A. D B. E C. F D. G 13．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（     ） A.  B.  C.  D. 被垂直平分 14．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图所示，是一张纸片，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，若与的周长分别为，，则的长是　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 18．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，中，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，　　　　　　　　度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，连接，则周长是（       ）． A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（     ）. A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 6．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，其中，的周长为，则的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（       ） A.  B. 平分 C. 线段垂直平分线段 D.  8．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）下列命题的逆命题中正确的是（     ） A. 直角都相等 B. 同旁内角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 9．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则　　　　　　． 13．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）若，，，求的长． （2）与有怎样的关系？证明你的结论． 15．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 16．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． （1）求的度数； （2）求证：． 17．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）两个城镇A，B与两条公路，的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到A，B两个城镇的距离必须相等，到，两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 18．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，平分，于E，，下列结论正确的是　　　　　　　　． ①；②；③；④；⑤ 19．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画线段的中点C； （2）在图2中，作，交于点E； （3）在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； （4）在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）在平面内有一点，若点关于轴对称，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）已知点P1（-4，3）和P2（-4，-3），则P1和P2（   ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 不存在对称关系 4．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（          ） A. 以的速度，做竖直向上运动 B. 以的速度，做竖直向下运动 C. 以的速度，做竖直向上运动 D. 以的速度，做竖直向下运动 6．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为：，，． （1）画出关于y轴对称的（点，，分别对应点A，B，C），并写出点，，的坐标； （2）仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作出的中线； ②在x轴上找出一点P，使得的值最小． 8．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）画出关于轴的对称图形； （2）直接写出、、的坐标； （3）求的面积． 9．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）将点向左平移2个单位长度得点，则点关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，已知：点在第一象限角平分线上，，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点，则的值为　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 12．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某时刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）点和点关于x轴对称，则的值为　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 15．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． （1）如图1，画的中线； （2）如图1，在上画一点，使得； （3）如图2，已知，画的角平分线； （4）如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 16．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点和的坐标； （3）求的面积． 17．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）操作发现： 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标为（____，____）； （2）在轴上找点，在轴上找点，使得最小，在直角坐标系中作出点（保留作图痕迹，不写做法）； （3）将向右平移五个单位长度，则扫过的面积是________（直接写出结果）． 18．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）的面积是______． （2）画出关于轴对称的图形； （3）若点与点关于轴对称，求的值． 19．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）在轴上找一点P，使得的值最小，此时点P的坐标为________； （3）已知点Q为y轴上一点，若为等腰三角形，则点Q有________个． 21．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2025次变换后点C的对应点的坐标为　　　　　　． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 2．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里 3．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（     ） A.  B. 2 C. 3 D.  4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在中，，，是高，若，则的长为（       ） A. 16 B. 14 C. 10 D. 12 5．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，点为的边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，最多能添加这样的钢管（       ）根． A. 7 B. 8 C. 9 D. 无数 7．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，，，，下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，，，若，则的度数是（  ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于D，E，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，，，，点A在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 13．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①保持不变；②长度有最小值；③在发生变化；④四边形的面积保持不变．其中正确的结论有（       ）个 A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）下列说法错误的是（       ） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等； B. 直角三角形的两个锐角互余； C. 对应角相等的两个三角形全等； D. 两角相等的三角形是等腰三角形； 15．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确的有（     ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）是锐角内部一点，且点到三条边的距离相等，过点作作边的平行线分别交，于点、，若的周长为，，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  18．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 20．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，，，求证：． 21．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，中，为的中线，，则　　　　　　　°． 22．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）在如图所示的正方形网格中，　　　　　　． 23．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：． 26．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，在中，，．求和的度数． 27．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为5米．则松树断裂前的高为　　　　　　　　　　　米． 28．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在四边形中，，于点． （1）求证：； （2）如果，求的面积． 29．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，中，点在边上．，，且．连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 30．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 31．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）在中，，则的度数为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 33．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 34．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）已知，在中，，，D为射线上一点，连接． （1）如图1，E为线段延长线上一点，过B作垂足为E，连接，求． （2）如图2，D在的延长线上，连接，过B作，连接，若．求证：． 35．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，中，为边上一点，，交的延长线于点，于，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求证：． 37．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，一条船上午9时从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北方向航行，上午11时到达海岛B处，从A、B处望灯塔C，测得C在A点北偏西处，测得C在B点北偏西处． （1）求海岛B到灯塔C的距离． （2）若这条船继续向正北航行（航速不变），问当天几时船与灯塔C的距离最短？ 38．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，． （1）如图1，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为            ； （2）如图2，，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，，，为线段的中点，连接，，求证：． 39．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）（1）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，则的度数为______． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②求线段之间的数量关系，并说明理由． 40．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，，点M是的中点，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　　　． 41．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，分别与，相交于点，．若，，则点到的距离为　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 43．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）附加题 在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形T关于轴的对称图形称为图形T的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形．例如，点的一次对称点为，二次对称点为，根据定义，回答下列问题： （1）点的一次对称点为___________，二次对称点为___________． （2）若点在第二象限，点分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，求，应满足的关系式； （3）已知点，．若以为边的正方形，在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 44．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，，为的中点．若点在线段上以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示的长度为：___________； （2）若两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等？请说明理由； （3）若两点的运动速度不相等，则当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 45．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，，，，求的长． 46．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为　　　　　　　． 47．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． （1）如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； （2）如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大10时，直接写出的面积． 48．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 49．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． （1）点的坐标为________；点的坐标为________； （2）如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； （3）如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 50．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图1，平面直角坐标系中、分别为轴正半轴、轴正半轴上的点，且、满足． （1）求的度数； （2）如图2，点为线段上一点，，与关于轴对称，直线交于点． ①连接，求证：； ②求的值； （3）如图3，点为轴负半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，连接交轴于点，请问：的值是否为定值？如果是定值，请求出其值；如果不是，请求出其取值范围． 51．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 52．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知：在平面直角坐标系中，已知． （1）如图（1），点B在y轴负半轴上，且，是以A为直角顶点，为腰的等腰直角三角形，直接写出点C的坐标为______； （2）如图（2），点B在x轴正半轴上，且，点C的坐标是，连接、，过点A作交于点D，求证：； （3）如图（3），P是y轴负半轴上一个动点，若以P为直角顶点，为腰作等腰，过点D作轴于点E，请直接写出与的数量关系． 53．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）综合与实践 【问题情境】如图1，，和的平分线交于点，过点作直线分别交，于，两点，若，求证：． 【深入探究】当与不垂直，其它条件不变时，如图2，还成立吗？请判断并说明理由． 【拓展应用】当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点作，交于，若，，求的长． 54．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中正确的序号是　　　　　　　　　　　． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）下列命题的逆命题成立的是（     ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 全等三角形的对应角相等 D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(       ) A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（     ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 4.3 5．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）已知，点P是等边所在平面内的一个点，满足、、均为等腰三角形，这样的点P有（     ）个 A. 12 B. 10 C. 9 D. 4 7．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． （1）求海岛到海岛的距离； （2）渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 9．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 12．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）综合实践： （1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形；       B．对称；       C．等腰三角形；       D．相等；       E．从特殊到一般． （2）如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； （3）如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 13．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作等边，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，若，求的长． 14．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图所示，在某草原上，有两条交叉且笔直的公路，，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路旁各有一户牧民在移动放牧，分别记为，．若存在，使得的周长最小，则周长的最小值是　　　　　　． 15．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 16．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 17．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 18．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为　　　　　． 19．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 20．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，，则”． 【材料2】定义：若为内一点，满足，则点叫做的费马点． （1）如图1，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为                 ； （2）如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点，连接，求证：点是的费马点； （3）应用探究：已知有三个村庄的位置如图3所示，其中村庄到两个村庄的距离相等，且满足，请在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时                 ． 21．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 22．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）（1）探究：如图1，在和都是等边三角形，点D在边上． ①求的度数； ②求证：； （2）应用：如图2，在四边形中，，，P是四边形内一点，且，求证：；我们把四边形数学模型称为“等补四边形”模型； （3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是y轴上一个动点，以为边在的下方作等边，求的最小值． 23．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，是等边三角形 （1）如图1，是内一点，连接，以为边，在右侧作等边，连接、，两线延长交于点，求的度数． （2）如图2，、分别是、上的点，连接，以为边，在右侧作等边，连接，求证：． 24．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）下列图标中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 2．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 5．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，解决本题的关键是根据轴对称图形的概念进行判断． 【详解】 解：A选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故A选项不符合题意； B选项：图标沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合， 这个图标不是轴对称图形， 故B选项符合题意； C选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故C选项不符合题意； D选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故D选项不符合题意． 7．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）2025年10月19日至10月24日，国际军体第54届海军五项世锦赛在武汉举行．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 8．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（          ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形”进行解答即可． 【详解】 解：“爱、我、华”这三个字都不能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它们都不是轴对称图形； “中”能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形；   故选：C ． 9．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）欣赏下列图形，感受数学几何图形的对称美，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】 解： 是轴对称图形，故A不符合题意； 是轴对称图形，故B不符合题意； 不是轴对称图形，故C符合题意； 是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（       ） A. 中 B. 秋 C. 快 D. 乐 【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义分析各选项汉字的结构，只有“中”字具有垂直对称轴． 【详解】 解： "中"字沿垂直中线对折后，左右部分能完全重合， "中"是轴对称图形， "秋"、"快"、"乐"字均无对称轴，对折后不能重合， 它们不是轴对称图形， 故选：A． 11．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义得， 是轴对称图形的有① “悬链线”、③ “三叶玫瑰线”和④ “笛卡尔心形线”， 故选：C． 12．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（       ） A. D B. E C. F D. G 【答案】A 【分析】 本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】 解：如图，将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球， 故选：A 13．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（     ） A.  B.  C.  D. 被垂直平分 【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】 解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 14．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义，逐项判定即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 15．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 16．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图所示，是一张纸片，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，若与的周长分别为，，则的长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，再由三角形周长计算公式求出和的值，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：由折叠的性质可得， ∵与的周长分别为，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 18．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，中，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，角平分线的性质定理，三角形的三边关系，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，　　　　　　　　度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【分析】 本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】 解：① 如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ② 如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③ 如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】 解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【分析】 本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】 解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 3．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，连接，则周长是（       ）． A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 利用线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴周长为， 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】 解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 5．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【分析】 根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】 解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 6．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，其中，的周长为，则的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂直平分线的意义、性质，得出，，再求出的周长． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于E，交于D， ∴，， ∵，的周长为， ∴的周长是 ()， 故选：B． 7．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（       ） A.  B. 平分 C. 线段垂直平分线段 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 8．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）下列命题的逆命题中正确的是（     ） A. 直角都相等 B. 同旁内角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】 本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对A进行判断；根据平行线的判定方法对B、D进行判断；根据全等三角形的性质对C进行判断；首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】 解：A、直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，错误，不符合题意； B、同旁内角相等的逆命题是：相等的角是同旁内角，错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； D、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确，符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据尺规作图可知，垂直平分线段，得到，继而得出，，然后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】 解：根据尺规作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的内角和定理得，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 10．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，再由的周长，计算即可得解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】 解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】 解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是　　　　　． 【答案】如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 【分析】 把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题． 【详解】 解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”． 故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等； 【点睛】 要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 14．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）若，，，求的长． （2）与有怎样的关系？证明你的结论． 【答案】（1）3     （2） 解：垂直平分，证明如下： 是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， ， 垂直平分．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，，，由，代入计算即可； （2）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答． (1) 小问详解： 解：是的角平分线，分别是和的高， ，，， ， ， ． (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 【答案】证明：在△AOB与△COD中， ∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB=OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE=DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 【分析】 先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质． 16．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵平分，且， ∴， 由（1）可知，， ． ， ．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）由角平分线的性质得，根据含角直角三角形的性质得到，进而可得证． (1) 小问详解： 解：垂直平分， ， ． 又平分， ， ， 又， ； (2) 小问详解： 证明：略． 17．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）两个城镇A，B与两条公路，的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到A，B两个城镇的距离必须相等，到，两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】 本题考查作图−应用与设计、角平分线．线段的垂直平分线等知识，作，夹角的平分线，线段AB的垂直平分线即可，交点即为所求． 【详解】 解：点的位置如答图所示． 18．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，平分，于E，，下列结论正确的是　　　　　　　　． ①；②；③；④；⑤ 【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，在取点，使，连接，则可证明，进而证明，再由线段的和差关系可判断①；证明，得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，再由平角的定义和四边形内角和定理可判断②；根据全等三角形的性质可判断③；根据①所求可判断④；根据三角形中线的性质得到，再由图形面积之间的关系可判断⑤ ． 【详解】 解：在取点，使，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴ 又∵ ∴， ∴， 垂直平分， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故正确； 由知，，且，则，故④ 错误； ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴，故⑤ 错误． ∴正确的有① ② ③ ， 故答案为：① ② ③ ． 19．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画线段的中点C； （2）在图2中，作，交于点E； （3）在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； （4）在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 【答案】（1） 如图所示，点C即为所求；      （2） 如图所示，点E即为所求；      （3） 如图所示，点C即为所求；      （4） 如图所示，即为所求； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）在平面内有一点，若点关于轴对称，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 故选：． 2．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标平面内的轴对称变换．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而求出即可． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A． 3．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）已知点P1（-4，3）和P2（-4，-3），则P1和P2（   ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 不存在对称关系 【答案】A 【分析】根据两点的坐标关系，结合对称点的坐标规律进行分析，比较两点横纵坐标的符号即可得出相关答案． 【详解】因为两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称. 故选:A. 【点睛】考查关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数. 4．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质可知，剪纸的对称轴为y轴，然后根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标取相反数，即可解答． 【详解】 解：根据题意得，剪纸的对称轴为y轴， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 故选：C． 5．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（          ） A. 以的速度，做竖直向上运动 B. 以的速度，做竖直向下运动 C. 以的速度，做竖直向上运动 D. 以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】 本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】 解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 6．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴对称， 的横坐标变为相反数，纵坐标不变， 关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为：，，． （1）画出关于y轴对称的（点，，分别对应点A，B，C），并写出点，，的坐标； （2）仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作出的中线； ②在x轴上找出一点P，使得的值最小． 【答案】（1） 即为所作： ，，．     （2） ① 中线即为所作： ② 如图所示，点P即为所作．      【分析】 本题主要考查轴对称图形的性质，坐标与图形，网格特点，掌握轴对称图形的性质，写出坐标是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图，由平面直角坐标系与图形特点写坐标即可； （2）① 取中点E，连接即可；② 取点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于点P，连接，则，，此时的值最小，点P即为所求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② 略 8．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）画出关于轴的对称图形； （2）直接写出、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）解：由（1）所作图形可得： ，，．     （3）       【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据题意，先做出、、三点关于轴对称的、、，坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，然后首尾顺次连接得到． （2）由（1）中所做的图形，可以得到，，． （3）利用割补法，的面积，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知， 9．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）将点向左平移2个单位长度得点，则点关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：点向左平移2个单位长度，横坐标减少2，纵坐标不变，得点， 由于点关于y轴对称，则横坐标取相反数，纵坐标不变，得点． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，已知：点在第一象限角平分线上，，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点，则的值为　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】 解：∵点在第一象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 【答案】解：如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形．根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】 略 12．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某时刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）点和点关于x轴对称，则的值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． （1）如图1，画的中线； （2）如图1，在上画一点，使得； （3）如图2，已知，画的角平分线； （4）如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 【答案】（1） 如图：      （2） 如图：      （3） 如图：      （4） 如图： 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，找到的中点，连接即可； （2）观察图形发现，根据等腰直角三角形的性质，过点作，连接交于点即可； （3）将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点即可； （4）作点关于线段的对角线，连接，线段于的交点为所求的点． (1) 小问详解： 解：观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，连接中点所在的由两个小正方形构成的的长方形的对角线，该对角线与的交点即为所求的点，连接； (2) 小问详解： 解：观察图形发现，过点作，连接交于点； (3) 小问详解： 解：将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点，即为的角平分线； (4) 小问详解： 解：作点关于线段的对角线，连接，线段与的交点为所求的点 16．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点和的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）点的坐标为，点的坐标为     （3）      【分析】 本题主要考查轴对称与坐标，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点关于轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）坐标系可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：． 17．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）操作发现： 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标为（____，____）； （2）在轴上找点，在轴上找点，使得最小，在直角坐标系中作出点（保留作图痕迹，不写做法）； （3）将向右平移五个单位长度，则扫过的面积是________（直接写出结果）． 【答案】（1）图见解析，的坐标为     （2）见解析     （3）21      【分析】 本题考查作轴对称图形，点的坐标，利用轴对称求最短路径问题，利用网格求图形平移扫过的面积． （1）利用轴对称的性质作图，再根据点的位置写出坐标即可； （2）作点B关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点，再连接交x轴于D，交y轴于E，由轴对称的性质得，，所以，根据两点之间，线段最短可知，此时，最小． （3）利用平移性质，作出图形，再利用网格计算面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求，的坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，点，点即为所求． (3) 小问详解： 解：如图，向右平移五个单位长度，得到， 则扫过的面积， 故答案为：21． 18．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）的面积是______． （2）画出关于轴对称的图形； （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据割补法求解即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，，然后连接即可． （3）根据关于x轴对称的特点，求出a，b即可． (1) 小问详解： 解：的面积是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点与点C关于x轴对称，， ∴，， ∴． 19．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】点P（-2，5）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-5）， 故答案为（-2，-5）． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键 20．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）在轴上找一点P，使得的值最小，此时点P的坐标为________； （3）已知点Q为y轴上一点，若为等腰三角形，则点Q有________个． 【答案】（1） 如图所示，就是所求作的图形；      （2）     （3）4      【分析】 本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，等腰三角形定义，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的特征画图即可； （2）连结，交x轴于点P，由于点C关于x轴的对称点为点，所以的最小值为的长，然后求出直线的解析式，再求其与x轴的交点坐标即可； （3）分为等腰三角形的腰和底两种情况讨论，通过作图即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连结，交x轴于点P， 由于点C关于x轴的对称点为点，所以的最小值为的长； 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 令，则， 解得， 点P的坐标为． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：当为腰时，如图，，， 当为底时，如图， 因此，满足题意的点Q有4个． 故答案为：4． 21．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2025次变换后点C的对应点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】 解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 故答案为：． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里 【答案】C 【分析】 由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】 解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故选：C． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等角对等边是解题的关键． 3．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（     ） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】 解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 4．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在中，，，是高，若，则的长为（       ） A. 16 B. 14 C. 10 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质求出、的长度，即可得出结果． 【详解】 解：，，， ∴，， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，点为的边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．根据折叠的性质及中点知，是等腰三角形，从而由三角形内角和定理即可求得结果的度数． 【详解】 解：根据折叠的性质得： ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴是等腰三角形，且 在中， 故选：． 6．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，最多能添加这样的钢管（       ）根． A. 7 B. 8 C. 9 D. 无数 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的内角和是的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解． 【详解】 解：添加的钢管长度都与相等，， ， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，四个是，五个是，六个是，七个是，八个是，九个是就不存在了． 所以一共有8个． 故选：B． 7．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，，，，下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】 解：∵在中，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴    故选：C. 8．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，，，若，则的度数是（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边对等角及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰． 【详解】 解：如图：分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个． 故共有3个点， 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 10．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】 解：∵在中，，为中点， ∴，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图设交于点， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 11．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于D，E，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 由垂直平分，垂直平分，可得，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得度数，继而求得答案． 【详解】 解：如图， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 12．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，，，，点A在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等，连接，设与交于点，过点作于，于，先证和全等得，，进而得，再证，根据三角形的面积公式可得出，由此可得，据此可求出的面积． 【详解】 解：连接，设与交于点，过点作于，于，如图：     ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 即为的平分线， ， ，， ， 又和等高， ， ， 和等高， ， ． 故选：C． 13．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①保持不变；②长度有最小值；③在发生变化；④四边形的面积保持不变．其中正确的结论有（       ）个 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．根据全等三角形的性质找出边之间的关系、面积之间的关系． 【详解】 解：如下图所示，连接， 是等腰直角三角形，， ， 是边上的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故正确； 当点是中点时， ， ， ， 垂线段最短， 的长度有最小值为， 故正确； 在运动过程中， ， ， 不发生变化， 故错误； ， ， ， 四边形的面积保持不变， 故正确． 综上所述，正确的结论有个． 故选：C． 14．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）下列说法错误的是（       ） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等； B. 直角三角形的两个锐角互余； C. 对应角相等的两个三角形全等； D. 两角相等的三角形是等腰三角形； 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定等知识．根据角平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定逐项判断即可． 【详解】 解：A． 角平分线上的点到角两边的距离相等，故原说法正确； B． 直角三角形的两个锐角互余，故原说法正确； C．对应角相等的两个三角形不全等，例如两个大小不同的等边三角形，对应角都相等但对应边不相等，因此不全等，故原说法错误； D． 两角相等的三角形是等腰三角形，故原说法正确， 故选：C． 15．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确的有（     ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质．由在中，，，证得，继而可得，再由，可得D为中点，由于无法得到，，的关系，故不能证得是等边三角形，由若，求得，则可证得，继而证得，在此条件下，利用即可证明，从而判断结果． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，； ∴，故① 正确； ∵， ∴，即D为中点，故② 正确； 但不能判定是等边三角形；故③ 错误； ∵若， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④ 正确． ∵若，是等边三角形， 在和中， ， ∴，故⑤ 正确； 综上，正确的有① ② ④ ⑤ ，共4个， 故选：C． 16．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）是锐角内部一点，且点到三条边的距离相等，过点作作边的平行线分别交，于点、，若的周长为，，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的判定定理，平行线的性质以及等腰三角形等角对等边，根据角平分线的判定定理、平行线的性质以及等腰三角形的等角对等边得出，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点的性质是解题的关键． 【详解】 解：如图： ∵点到三条边的距离相等， ∴点是的内角平分线的交点， ∴，， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为，， ∴， ∴的周长， 故选：． 17．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 18．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，根据题意可得，根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：如图，连接 ， 由作图可得， ∴为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，， ∴ ， 故选：C． 19．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的性质．先根据点，的坐标求出与轴的交点为线段的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点在轴上时，又有以下三种情况：① 以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，② 以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，③ 过点作交轴于，（2）当点在轴上时，又有以下两种情况：① 以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，② 以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，综上所述可得出答案． 【详解】 解：，， ，， 的中点坐标为， 与轴的交点即为的中点， 在坐标轴上取点，使为等腰三角形， 有以下两种情况： （1）当点在轴上时，又有以下三种情况： ① 以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图1所示： 此时，， 和均为等腰三角形，则点和点为所求的点； ② 以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，如图2所示： 此时， 为等腰三角形，则点为所求的点； ③ 过点作交轴于，连接，如图3所示： 点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 为等腰三角形，则点为所求的点． 综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个． （2）当点在轴上时，又有以下两种情况： ① 以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图4所示： 此时，， 和均为等腰三角形，则点和点为所求的点， ② 以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图5所示： 此时，， 和均为等腰三角形，则点和点为所求的点． 综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个． 在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是8个． 故选：C． 20．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，，可得证明即可求证． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，中，为的中线，，则　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】 解：∵为的中线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）在如图所示的正方形网格中，　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查了全等三角形的证明及性质，以及等腰三角形的性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而得到，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】 解：如图，可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中    ， ；     （2）      【分析】 （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ， ， ． 24．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为　　　　　　． 【答案】或度或度50°或80°度或度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．分两种情况讨论：若角为底角；若角为顶角，即可求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】 解：若角为底角，它的底角度数为； 若角为顶角，它的底角度数为； 故答案为：或． 25．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用知识是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质可求出，再由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得到，再等量代换即可得到结论． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，在中，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理与外角的性质，等边对等角；根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求；根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】 解：在中，， ， 又， ， 在中，， ， 是的外角， ， ． 27．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为5米．则松树断裂前的高为　　　　　　　　　　　米． 【答案】15 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，由题意可得，米，，由直角三角形的性质可得米，即可得解． 【详解】 解：由题意可得，，米，， ∴米， ∴松树断裂前的高为米， 故答案为：15． 28．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在四边形中，，于点． （1）求证：； （2）如果，求的面积． 【答案】（1） 证明：      （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得，推出，进而得，即可求解； （2）分别过、作于点，于点，证得，即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：分别过、作于点，于点， ， ，． 在和中 29．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，中，点在边上．，，且．连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可证，进而根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后根据（1）中进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 30．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 31．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）在中，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 由可知为等腰三角形，且，结合，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 整理得， 解得． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴；     （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即.      【分析】 （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 【答案】4米 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出，最后根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直于点， ∴， ∴（米）． 34．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）已知，在中，，，D为射线上一点，连接． （1）如图1，E为线段延长线上一点，过B作垂足为E，连接，求． （2）如图2，D在的延长线上，连接，过B作，连接，若．求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：作交的延长线于点M， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， 设，，，则， ∵，即， 即， 整理得∶， ∵，则， 即，， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查等腰三角形，三角形全等的判定和性质； （1）作交于点F，证出，得到，即可求出结果； （2）作交的延长线于点M，证出为等腰直角三角形，设，，，则，得到，，证出，得到，即可证出结论． (1) 小问详解： 解：作交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 36．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，中，为边上一点，，交的延长线于点，于，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为的中点     （2） 证明：由（）得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，      【分析】 （1）证明，得到，即可证明； （2）由（1）得，从而，，进而，由三线合一得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形的全等判定，等腰三角形的性质，垂线定义，中点定义，根据定理内容解题是重点． 37．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，一条船上午9时从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北方向航行，上午11时到达海岛B处，从A、B处望灯塔C，测得C在A点北偏西处，测得C在B点北偏西处． （1）求海岛B到灯塔C的距离． （2）若这条船继续向正北航行（航速不变），问当天几时船与灯塔C的距离最短？ 【答案】（1）海岛B到灯塔C的距离为海里     （2）若这条船继续向正北航行（航速不变），当天时船与灯塔C的距离最短      【分析】 本题考查了三角形外角的定义及性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得（海里），，，由三角形外角的定义及性质可得，由等角对等边可得海里，即可得解； （2）作于，根据垂线段最短可得，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，再由直角三角形的性质求出的长即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意得：（海里），，， ∵， ∴， ∴海里， ∴海岛B到灯塔C的距离为海里； (2) 小问详解： 解：如图，作于， 根据垂线段最短可得，线段的长为小船与灯塔C的最短距离， ∵，，海里， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴若这条船继续向正北航行（航速不变），当天时船与灯塔C的距离最短． 38．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，． （1）如图1，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为            ； （2）如图2，，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，，，为线段的中点，连接，，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：过作轴于，设，交于，如图： ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ；     （3） 证明：连接，设交于，如图： ，， ，， 由（2）知， ， ，， 是等腰直角三角形， 为中点， ，， ， 由（2）知，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）过作轴于，证明，可得，，即得； （2）过作轴于，设，交于，证明，可得，，由，，知，即得，故，有，从而，又，可证； （3）连接，设交于，证明，可得，即可知，而，故，． (1) 小问详解： 解：过作轴于，如图 ， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 39．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）（1）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，则的度数为______． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②求线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】 （1）先证出，那么，根据全等三角形证出，求出，得出，从而证出； （2）证明，得出，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】 解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． 故答案为： （2），． 理由：∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 40．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，，点M是的中点，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，① 根据垂线的性质即可解答；② 如图1，延长至N，使，连接，证明和，即可解答；③ 过点C作于P，证明得出，根据可求出结论；④ 根据可得结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 如图，延长至N，使，连接，设交于点H， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ③ 如上图，过点C作于P，设与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴，即， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴，故③ 错误； ④ ∵，， ∴，故④ 正确； 所以本题结论正确的有：① ② ④ ； 故答案为：① ② ④ ． 41．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，分别与，相交于点，．若，，则点到的距离为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了作图，三角形的内角和定理的应用，直角三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．如图，过作于，证明，再证明，再结合勾股定理可得答案． 【详解】 解：如图，过作于， 由作图可得：， ， ， ， ， ， ∴到的距离为2； 故答案为：2． 42．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1）     （2）9      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，理解等腰三角形的性质和判定是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质先求出，根据角平分线的性质求出即可． （2）先根据三角形的内角和定理求出的度数，从而得到，根据等角对等边得到，再证，即可求解． 【详解】 解：（1）， ， 由作图可知：是的角平分线， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 43．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）附加题 在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形T关于轴的对称图形称为图形T的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形．例如，点的一次对称点为，二次对称点为，根据定义，回答下列问题： （1）点的一次对称点为___________，二次对称点为___________． （2）若点在第二象限，点分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，求，应满足的关系式； （3）已知点，．若以为边的正方形，在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的定义，正确理解一次对称点和二次对称点的定义是解题的关键． （1）根据题意可知一次对称点是原来的点关于x轴对称的点，二次对称点是原来的点关于x轴对称的点关于直线对称的点，据此求解即可； （2）根据题意可求出，，则可证明，再由等腰直角三角形的定义可得，则可推出，据此可得答案； （3）根据题意可求出，，再分点在该直线上和点在该直线上，两种情况分别建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，直线l即为直线， ∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴点的一次对称点为，二次对称点为； (2) 小问详解： 解：∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴点在第三象限，点在第四象限， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：点，，且四边形是以为边的（，在线段的上方）的正方形， ∴轴， ∴， ， ∴正方形的一次对称图形，即正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的二次对称图形，即正方形的各顶点的坐标分别为，， 二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点， 若点在该直线上，则 解得， 若点在该直线上，则： 解得， 的取值范围是． 44．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，，为的中点．若点在线段上以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示的长度为：___________； （2）若两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等？请说明理由； （3）若两点的运动速度不相等，则当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1）     （2） 和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ， ， ∵， ∴， 在和中， ；     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先表示出，根据，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度． (1) 小问详解： 解：依题意，，则； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：点、的运动速度不相等， ， 又与全等，， ，， ∴点，点运动的时间为秒， 个单位长度秒， 当点的运动速度为4个单位长度秒时，能够使与全等． 45．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1） 是的角平分线，，， ， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分；     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，进而证明，进而证明，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含角的直角三角形的性质，即可求解的长度； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， ； ， ． 46．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】 解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：2． 47．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． （1）如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； （2）如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大10时，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：，，， ，， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ；     （2） ，理由如下： 过点作，交延长线于点，则， 同（1）得， ，， ， ， ， ， ， ， ．     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质和角的和差证明和，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明，，再根据全等三角形对应边相等得出，，即可求解； （3）先证明，得出，再根据，，得出，，根据，可得，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点作，垂足为，则， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 和等底等高， ， ． 48．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）BP=7海里； （2）没有危险，过点P作PD垂直AC， 则∠PDB=90° ∴PD=PB=3.5＞3 ∴没有危险 【分析】 （1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解． （2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小． 【详解】 解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30° ∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°， ∴∠PAB=∠APB ∴BP=AB=7（海里） （2） 略 49．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． （1）点的坐标为________；点的坐标为________； （2）如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； （3）如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 【答案】（1）；     （2）     （3） 或， 证明：当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图，    ，， ， ，， 又， ． ， ． 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当N在的延长线上时，如图，    同理可得，．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，运用分类讨论思想． （1）根据非负性求解即可； （2）根据互余证明，根据等腰三角形的性质可得，再证明，可得，再证明，即可得解； （3）当N在线段上时，过点作，延长交于点．先证明，可得，再证明，可得，即可得解；当N在的延长线上时，同理证明即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 50．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图1，平面直角坐标系中、分别为轴正半轴、轴正半轴上的点，且、满足． （1）求的度数； （2）如图2，点为线段上一点，，与关于轴对称，直线交于点． ①连接，求证：； ②求的值； （3）如图3，点为轴负半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，连接交轴于点，请问：的值是否为定值？如果是定值，请求出其值；如果不是，请求出其取值范围． 【答案】（1）     （2） ① 证明：连接， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②     （3）是，定值为      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）① 连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； ② 过点作轴于点，由题意易得，则有，设，然后可得，进而问题可求解； （3）过点作交轴于点，由题意易证，则有，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证． (1) 小问详解： 解：∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； (2) 小问详解： ① 略 ② 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过点作交轴于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，，， 过点作交轴于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ；     （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 52．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知：在平面直角坐标系中，已知． （1）如图（1），点B在y轴负半轴上，且，是以A为直角顶点，为腰的等腰直角三角形，直接写出点C的坐标为______； （2）如图（2），点B在x轴正半轴上，且，点C的坐标是，连接、，过点A作交于点D，求证：； （3）如图（3），P是y轴负半轴上一个动点，若以P为直角顶点，为腰作等腰，过点D作轴于点E，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）     （2） 解：连接，过B作交延长线于H，则， ∵，点C的坐标是， ∴，轴，则，， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴．     （3）当D在x轴下方时，；当D在x轴上方时，      【分析】 （1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）连接，过B作交延长线于H，先根据坐标与图形性质得到，轴，，证明得到，，再证明得到，进而可得结论； （3）当D在x轴下方时，过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解；同理当D在x轴上方时，得到，可得解． (1) 小问详解： 解：如图（1），过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴，， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当D在x轴下方时，如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：； 当D在x轴上方时，如图，过点作轴于点， 同理可证明， ，， ， 即：， 综上，当D在x轴下方时，；当D在x轴上方时，． 【点睛】 本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 53．（25-26学年八上·湖北荆州·期中）综合与实践 【问题情境】如图1，，和的平分线交于点，过点作直线分别交，于，两点，若，求证：． 【深入探究】当与不垂直，其它条件不变时，如图2，还成立吗？请判断并说明理由． 【拓展应用】当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点作，交于，若，，求的长． 【答案】（1）证明：作于点E． ∵， ∴，      ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴，    ∴； （2）解：成立．理由如下： 延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴．        ∴． ∵平分， ∴．        在和中 ， ∴． ∴； （3）2 【分析】 本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴．        ∴． ∵． ∴． ∴．        同理． ∴．        由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 54．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中正确的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角等内容，解题的关键是掌握以上性质． ① 利用等腰三角形的三线合一求证即可； ② 连接，根据等腰三角形的性质以及角的和差进行求解即可； ③ 利用等边对等角以及角的和差进行求解即可； ④ 利用等边对等角以及角的和差进行求解即可． 【详解】 解：① ∵为等边三角形，且， ∴， 故① 正确，符合题意； ② 如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④，， ， ， ， ∴， ∴， 故④ 错误，不符合题意； 综上，正确选项为：① ② ③ ， 故答案为：① ② ③ ． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）下列命题的逆命题成立的是（     ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 全等三角形的对应角相等 D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【分析】 本题考查判断逆命题的真假，先写出各命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】 解：A的逆命题：相等的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故逆命题不成立； B的逆命题：锐角三角形是等边三角形，但锐角三角形不一定等边（如三锐角不等），故逆命题不成立； C的逆命题：对应角相等的三角形全等，但对应角相等的三角形相似不一定全等，故逆命题不成立； D的逆命题：角的平分线上的点在角的内部，且到角的两边距离相等，这符合角平分线的性质，故逆命题成立； 故选D． 2．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称 - 最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用．作出点关于直线的对称点．连接，与直线交点即是所求饮马点． 【详解】 作出点关于直线的对称点（在图中可通过网格的对称性直观地确定) 的位置）．此时直线上的点到点，点距离都相等，将同侧折线段，转化为异侧折线段（折线中间点为动点），连接，可以发现与直线相交于点（通过观察网格中线段的位置关系得出）．此时最短路劲为（两点之间线段最短）． 所以，要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是点， 答案为：B． 3．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】 解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 4．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（     ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 4.3 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】 解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】 解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）已知，点P是等边所在平面内的一个点，满足、、均为等腰三角形，这样的点P有（     ）个 A. 12 B. 10 C. 9 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．①当点P在三角形的内部时，点P到的三个顶点的距离相等，此时点P就是三角形的外心．②当P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可． 【详解】 ①当点P在三角形的内部时，点P是边AB、BC、AC的垂直平分线的交点，是三角形的外心，如图点． ②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有9个，如图，点，共9个．    综上具有这样性质的点P共有10个． 故选：B． 7．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质（三线合一）、轴对称的性质、等边三角形的判定（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）、全等三角形的判定与性质、垂线段最短定理及三角形面积公式，解题的关键是通过轴对称转化折线为垂线段，利用全等和等边三角形性质求出等腰三角形的边长与高，进而计算面积． 由、为中点，得垂直平分，故；作关于的对称点，得、，且由、得，将转化为；根据垂线段最短，当、、、共线且垂直时和最小，由得；因、，故为等边三角形，得，即；由对称得且，最后用面积公式计算． 【详解】 解：连接，过点C作的对称点O，连接，过点F作 ⊥ 于点N，作 于点P， ∴， ∵，点D为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点，P共线时，取得最小值，如图： 记交于点Q， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵关于对称， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． （1）求海岛到海岛的距离； （2）渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛到海岛的距离为40海里     （2）海岛派出的救援队先到达渔船处      【分析】 本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 9．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质（三线合一）求出的度数，再利用等边对等角求解即可． 【详解】 解：∵为等边三角形，且为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】（1）     （2） ，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；     （3）3， 如图3所示： 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 12．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）综合实践： （1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形；       B．对称；       C．等腰三角形；       D．相等；       E．从特殊到一般． （2）如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； （3）如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 【答案】（1）①②B，C，D     （2），证明见解析     （3）      【分析】 本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）① 根据题意，进行猜测结果； ② 根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可； （2）延长到点，使，连接，则，根据三角形的三边关系得出，证明，得出对应边相等，然后等量代换即可； （3）在上截取，连接，根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出，证明，得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出，作于点于点，根据角平分线的性质定理得出，然后根据三角形面积和边的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：① 如果，则， 故答案为：； ② 可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性质来进行证明． 故答案为：B，C，D； (2) 小问详解： 解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，则， ∵平分， 在和中， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，在上截取，连接， ∵，的角平分线交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 作于点于点， 平分， ， ， ∴的值为． 13．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作等边，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ∵，， ∴，     （2） 证明：∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴；     （3）6      【分析】 （1）利用“边角边”即可证明； （2）证明，即可求证； （3）延长至点H，使，连接，证明，可得，从而得到，再由为等边三角形，可得，由（2）得：，，，从而得到，再证明，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，延长至点H，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，找到图中的全等三角形． 14．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图所示，在某草原上，有两条交叉且笔直的公路，，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路旁各有一户牧民在移动放牧，分别记为，．若存在，使得的周长最小，则周长的最小值是　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】 解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故答案为：4． 15．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形；     （2） 解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴.      【分析】 （1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 17．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 【答案】证明：是等边三角形，是中线， ．（等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ． ． ． 【分析】 此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】 略 18．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为　　　　　． 【答案】13 【分析】 根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BN=18，求得MG=10，于是得到结论． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠B=60°， 作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P， 则此时，MP+PN的值最小， ∵∠B=60°，∠BNG=90°， ∴∠G=30°， ∵BN=9， ∴BG=2BN=18， ∴MG=BG-BM=18-8=10， ∴CM=CG=5， ∴AC=BC=13， 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 19．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3） 【分析】 （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N，证得，进而得．在中、、，同理∶；进而得，在中，由，得，再根据等量代换即可解答． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，，则”． 【材料2】定义：若为内一点，满足，则点叫做的费马点． （1）如图1，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为                 ； （2）如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点，连接，求证：点是的费马点； （3）应用探究：已知有三个村庄的位置如图3所示，其中村庄到两个村庄的距离相等，且满足，请在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时                 ． 【答案】（1）9     （2） 证明：与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． 设与交于点，交于点， 在和中， ， ， 且， ， ， 同理可得，． 过点分别作，， ， ，， ． ，， 平分． ， ， ， ， ， ， 点是的费马点；     （3）       【分析】 （1）延长交于点，先用证明，得到点是三边的垂直平分线的交点，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解这个等边三角形的高的长度； （2）由与均为等边三角形可以证明．设与交于点，交于点，证明，．过点分别作，，证明平分，最后再求出即可求解； （3）设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，，证明点是的费马点，即污水处理站的位置，且证明是的垂直平分线，即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：如图，延长交于点， 点是的费马点， ， ， ． 是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点是三边的垂直平分线的交点， ．， ， ， ， ． 故答案为：9； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 当四点共线时，为最小值， 此时， ，． ， ， ． ， 点是的费马点，即污水处理站的位置． 由题意得，， 是的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 【答案】[定理] 平分； [运用]证明：过C点于E，作，交延长线于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． [拓展] 【分析】 本题考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质； [定理]直接证明，得到，即平分； [运用]过C点于E，作，交延长线于点H，证明，得到，根据角平分线判定定理可得平分； [拓展]过作于，过作于，于，先有等边三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性质可得，，此时同[运用]的模型一样，证明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可． 【详解】 [定理]解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； [运用]略 [拓展]解：过作于，过作于，于， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）（1）探究：如图1，在和都是等边三角形，点D在边上． ①求的度数； ②求证：； （2）应用：如图2，在四边形中，，，P是四边形内一点，且，求证：；我们把四边形数学模型称为“等补四边形”模型； （3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是y轴上一个动点，以为边在的下方作等边，求的最小值． 【答案】（1）①； ②由①得：， ∴， ∵， ∴； （2）如图2，把线段绕点A逆时针旋转60度，到．连接、， ∴，为正三角形， ∴，， 又∵， ∴，则C，P，Q在同一条直线上． ∵，， ∴为正三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，，即； （3）的最小值为 【分析】 （1）①利用等边三角形的性质以及角的和差关系证明，进而证明，由全等三角形的性质可得出，进一步求出． ②由全等三角形的性质得出，进一步证明． （2）把线段绕点A逆时针旋转60度，到．连接、，则得出为正三角形，进一步证明为正三角形，进一步得出，再证明，由全等三角形的性质得出，再根据三角形三边关系即可证得． （3）如图3，以为对称轴作等边，连接，并延长交x轴于点F．先证明，再得出点C在直线上运动，当时，最小，最后利用含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：（1）① ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 （2）略 （3）如图3，以为对称轴作等边，连接，并延长交x轴于点F． 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点C在直线上运动， 当时，最小， ∴， 则的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形综合问题，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角的性质，垂线段最短，三角形三边关系的应用，坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． 23．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，是等边三角形 （1）如图1，是内一点，连接，以为边，在右侧作等边，连接、，两线延长交于点，求的度数． （2）如图2，、分别是、上的点，连接，以为边，在右侧作等边，连接，求证：． 【答案】（1）60°     （2） 证明：在上取点，令，连接 ， 为等边三角形 ， 又为等边三角形 ， ． 在和中 .      【分析】 （1）设，交于点，得，，，证，即可求解； （2）在上取点，令，连接，得，，，则可证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：设，交于点． 、为等边三角形 ，， 在和中 ） ． 又 ． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质，等边三角形性质等知识点；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键． 24．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质．分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】 解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 25．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，过点B作，连接，则，根据等角对等边得出，可求出，则是等边三角形，得出，，然后导角可求出，根据等角对等边得出，最后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 过点B作，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $