3.2.1双曲线及其标准方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 前情回顾 椭圆的标准方程： 焦点在轴上 焦点在轴上 椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹，即 标准方程 焦点坐标 轨迹 的关系 学 习 目 标 1 2 3 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 理解各参数的几何意义，能求双曲线的标准方程. 能用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 我们一起来探究“双曲线及其标准方程”吧！ 读教材 阅读课本P118-P121，5分钟后完成下列问题： 1.平面内满足什么条件的动点的轨迹是双曲线？ 2.双曲线的标准方程是什么？由方程怎么确定焦点？ 3.双曲线的参数？ 新课引入 双曲线是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中 具有广泛的应用.那么，双曲线到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征 建立双曲线的方程，从而为研究双曲线的几何性质奠定基础？ 生活中的双曲线 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 2 双曲线的标准方程 3 题型训练 新知探究1 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹是椭圆。 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 拉链头到两个定点的 距离的差等于常数. 为何视频中要把一半拉链 剪掉一小节？ 双曲线 新知探究1 探究1 如图，你能与之间的距离关系吗？ ①如图()， ②如图()， 这两条曲线合起来叫做双曲线. 由①②可得： |||－|||=2 （差的绝对值） ||－||=||=2 ||－||=||=2 概念 双曲线的定义 双曲线的定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差 的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注：1. 双曲线上任一点满足()； 2. 将常数记为，焦距记为，且. 2 概念辨析 思考1 去掉“绝对值”，动点的轨迹是什么？ ||||， ||||， ||－||=2 ||－||=2，右支 2 2 思考2 当“”，动点的轨迹是什么？ ①，此时动点的轨迹是以或2为端点的两条射线(包括端点). ②，此时动点轨迹不存在. ③=0，此时动点轨迹为线段2的垂直平分线. 2 练习巩固 解：由题意得：动点到点的距离之差的绝对值为 =2c=2，所以动点的轨迹是两条射线。 练习1 若动点到点，的距离之差的绝对值为， 则点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 练习巩固 练习2 已知点，，动点满足， 当和时，点的轨迹分别为（　 ） A. 一条射线、双曲线 B. 一条射线、双曲线一支 C. 线段的垂直平分线、双曲线 D. 线段的垂直平分线、双曲线一支 解：由题意得10， 时， ||=||，故点的轨迹为线段的垂直平分线； 时，26，故点的轨迹为双曲线的一支，左支. 故选D. D 练习巩固 练习3 平面内动点到两定点，的距离之差为， 若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（　 ） A. B. C. D. 解：由双曲线的定义可得， 且，解得∈. 故选D. D 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 2 双曲线的标准方程 3 题型训练 新知探究2 思考1：在椭圆的方程的学习中，我们都研究了哪些问题？ 思考2：类比椭圆的方程的研究过程，如何研究双曲线的方程呢？ 双曲线 平面直角坐标系 双曲线的方程 代数运算 利用双曲线的方程， 研究双曲线的性质 双曲线的方程是如何建立的呢？ 椭圆 平面直角坐标系 椭圆的方程 代数运算 利用椭圆的方程， 研究椭圆的性质 新知探究2 探究2 观察双曲线的形状，类比椭圆探究双曲线的标准方程？(焦点在轴) 解：(焦点在轴)设双曲线的焦距为，易得，， 设是双曲线上任意一点.则双曲线可看作点集： . ，所以 双曲线具有对称性，且直线是它的一条对称轴. 以两焦点所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系，如图. 问题1：如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？ 新知探究2 问题1：如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？ 则，得 整理，得 两边平方，得. 整理，得. 同除以，得. 令得 方程为. 双曲线的特征三角形 概念 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 我们把叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点分别是 ，的双曲线，这里. 焦点在轴上 焦点在轴上 谁的系数正，焦点就在哪一根的坐标轴上. 概念辨析 双曲线的两种标准方程： 焦点在轴上 焦点在轴上 双曲线的定义 平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹，即 ) 标准方程 焦点坐标 轨迹 的关系 ，之间大小关系不确定 练习巩固 练习1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 焦点在轴上，； ； 解：，焦点在轴上的双曲线方程为：； ：，则： 解得 双曲线方程为： 练习巩固 练习1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 焦点在轴上，； ； 解： ，所以经过，即 ，所以故 练习巩固 练习2 求证：双曲线与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同. 证明：双曲线可化为： －焦点在轴上， =15，=1，=16，c=4，焦点为 椭圆 ＋ ＝1焦点在轴上， =25，=9，=16，c=4，焦点为 双曲线与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同. 练习巩固 练习3 已知方程 =1表示双曲线，求的取值范围？ 解：若方程 =1表示双曲线，则有() 解得 练习巩固 练习4 =1(0)的两个焦点分别是，焦距为8， 是双曲线上的一点，且的值？ 解：由题意得=8，=12，=4， 由双曲线定义得，=4，， 所以，又 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 2 双曲线的标准方程 3 题型训练 求双曲线的标准方程 题型1 题型探究 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与 的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程？ 解：由于双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 由得又，因此 所以，双曲线的标准方程为. 求双曲线的标准方程 题型1 题型探究 例2 求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的 双曲线的标准方程？ 解：由题意知双曲线的两焦点，. 设双曲线的标准方程为，将点代入 双曲线方程得，又，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 求双曲线的标准方程 题型1 题型探究 例3 求已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程？ 解：设所求双曲线的方程为 将点代入上述方程，得解得 所以所求双曲线的标准方程为 若双曲线焦点位置不确定，可设为 椭圆方程的简单应用 题型2 题型探究 例4 若方程 解：∵方程表示双曲线， ∴解得或. 或 例5 若曲线 解：根据题意，若曲线表示双曲线， 则有，解得. 双曲线方程的简单应用 题型2 题型探究 例6 如图，点的坐标分别是，直线相交于点， 且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程？ 解：设则，. 由题意知，即 化简整理，得 因此，点的轨迹是焦点在轴上的双曲线(除两点外). 课堂小结 双曲线的两种标准方程： 焦点在轴上 焦点在轴上 双曲线的定义 平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹，即 ) 标准方程 焦点坐标 轨迹 的关系 ，之间大小关系不确定 感谢聆听! $