3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率及等轴双曲线等核心知识，通过跨海大桥桥塔、彗星轨道等现实情境导入，结合椭圆性质复习进行类比，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过类比推理发展数学思维，如推导渐近线方程时结合矩形对角线探究，题型训练涵盖离心率、渐近线等高考重点并融入真题感知。学生能深化知识理解，教师可直接用于课堂提升教学效率。

·选择性必修第一册· 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 学习目标 掌握双曲线的简单几何性质． 理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 目录 CATALOG 01.双曲线的简单几何性质 03.应用新知 02.等轴双曲线 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 01 双曲线的简单几何性质 导入新知1：跨海大桥——双曲线形桥塔与钢索布局 某跨海大桥的桥塔设计为双曲线形，桥塔截面在平面直角坐标系中的标准方程为 x225−y236=1（单位：米）。工程师需要确定桥塔的轮廓范围、对称特征、顶点位置，以便规划钢索锚固点和施工模板尺寸。 问题1：桥塔的左右两侧最远延伸到哪里？顶部和底部是否有边界？双曲线在坐标平面上的取值范围是什么？与椭圆的有界性有何不同？ 问题2：桥塔的对称轴在哪里？如果已知塔身上某一点 P(13,12) 在双曲线上，能否立即写出其对称点的坐标？这对施工放线有什么帮助？ 追问：桥塔的渐近线反映了塔身向外的延伸趋势。工程师如何从方程中求出渐近线的斜率？渐近线对桥塔的整体形态描述有什么意义？ 导入新知2：文观测——彗星双曲线轨道与太阳系 天文学家发现一颗彗星沿双曲线轨道绕太阳运行，太阳位于双曲线的一个焦点上。已知该双曲线轨道的标准方程为 x2/16−y2/9=1（单位：亿千米）。 问题1：这颗彗星离太阳最近时距离是多少？双曲线的顶点到中心的距离 a 与轨道近日点有何关系？ 问题2：双曲线的渐近线反映了彗星远离太阳时的飞行方向。如果彗星沿渐近线方向逃逸，它最终会飞向哪里？渐近线的斜率如何从方程中求出？ 复习回顾，引入新知 为什么当a，b的值变化时，双曲线的开口大小，线段长度等都会发生变化？双曲线与绿色直线会相交吗？ 思 考 复习回顾，引入新知 双曲线的标准方程 复习回顾，引入新知 课前活动 范围，对称性、顶点、离心率等 探究新知 类比 探究新知 要求 请尝试着利用双曲线方程证明你的结论 证明 探究新知 类比 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 探究新知 类比 探究新知 两个重要概念 探究新知 探究 探究新知 思考： 发现 探究新知 渐近线的定义 探究新知 离心率 思考： 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度， 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． 探究新知 思考： 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？ 它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的顶点坐标 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据双曲线方程求a、b、c 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据双曲线方程求a、b、c 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知方程求双曲线的渐近线 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知方程求双曲线的渐近线、等轴双曲线 02 等轴双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 探究新知 等轴双曲线 探究新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的焦点坐标、求椭圆的焦点、焦距 03 应用新知 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 应用新知 例4 解 析 04 题型强化训练 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 重要题型专练 题型一 根据双曲线的方程求a,b,c值及相关量 重要题型专练 题型二 求双曲线的渐近线，及由渐近线求参数值 例题 解 析 重要题型专练 题型二 求双曲线的渐近线，及由渐近线求参数值 例题 解 析 重要题型专练 题型三 根据几何条件求双曲线的标准方程 例题 解 析 总结： 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得双曲线的标准方程. 重要题型专练 解 析 总结： 巧设等轴双曲线方程为：根据题意建立关于的方程组，解方程即可求得双曲线的方程，再将方程标准化处理. 题型三 根据几何条件求双曲线的标准方程 例题 重要题型专练 题型四 根据双曲线的有界性求范围或最值 例题 解 析 重要题型专练 题型四 根据双曲线的有界性求范围或最值 例题 解 析 重要题型专练 题型五 求双曲线的离心率或离心率的范围 例题 解 析 重要题型专练 题型五 求双曲线的离心率或离心率的范围 例题 解 析 重要题型专练 题型五 求双曲线的离心率或离心率的范围 例题 解 析 重要题型专练 题型五 求双曲线的离心率或离心率的范围 例题 解 析 重要题型专练 题型五 求双曲线的离心率或离心率的范围 总结 05 真题感知 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 课堂小结 双曲线的简单几何性质 5个几何性质 新的概念 ①范围 双曲线中心 ②对称性 ③顶点 ④渐近线 ⑤离心率 y=±(b/a)x e＞1 虚轴 实轴 等轴双曲线 虚轴长：2b 虚半轴长：2b 实轴长：2a 实半轴长：2a 作业 作业1：完成教材：第124页 练习1,2,3,4; 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第1课时》 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第1课时） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 课后作业答案 练习（第124页） 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ( ，0) (0，±c) a，b，c的关系 c2＝ 1.（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线 的顶点坐标是（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上， 且，∴则顶点坐标为，. 故选：D. 2.（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率为 ，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 【详解】由的离心率为，可得， 解得.故选：C. 3.（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）双曲线 的离心率为2，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由题干可得：，，又 ， 代入已知条件得 ，整理得，即， 结合的条件，解得.故选：A. 4.（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】由题可知该双曲线中，解得， 又双曲线的一条渐近线为，因此， 又，得，所以实轴长为.故选：B. 5.（26-27高三上·安徽·阶段检测）双曲线 的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得双曲线标准方程为，即得， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：A. 6.（25-26高二上·福建福州·期中）等轴双曲线经过点 ，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【详解】设等轴双曲线方程为，则， 双曲线，即的渐近线方程为，半焦距， 所以焦点到渐近线的距离.故选：C 类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝______，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：________，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝eq \f(c,a) e＝ 7.（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率为 ，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 【详解】由的离心率为， 可得，解得. 故选：C. 8.（25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，点 在 上，则 的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率．故选：D. 9.（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线斜率为2，且焦距为 ，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即.因为双曲线焦距为，所以. 又，所以，解得，.故双曲线方程为. 故选：A. 10.（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线 ，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线 有相同焦点的是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题设知，且双曲线的焦点坐标为， 对于A：由，得为双曲线，则不符合要求； 对于B：由得，，由，得为双曲线，则不符合要求； 对于C：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，符合要求； 对于D：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，不符合要求；故选：C. 标准方程 2a 2b 范围 顶点 焦点 离心率 渐进线 1.（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 双曲线，则右顶点为，由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即，则右顶点到其渐近线的距离为．故选：C. 2.（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 由双曲线，可得， 又渐近线方程为，所以， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为.故选：B. 3.（2026·陕西榆林·三模）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长.故选：D. 4.（2026·吉林·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 由题意得，则.故选：D. $