3.2.1 双曲线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 32100 东方明珠 巴西利亚大教堂 冷却塔 生活中的双曲线 情景导入 32100 1.通过实际绘制双曲线，认识双曲线的几何特征、理解双曲线的定义. 2.能通过建立适当的直角坐标系，推导出双曲线的标准方程． 3.能根据双曲线方程的定义，解决相关问题. 学习目标 32100 平面内与两定点的距离的和等于常数 2(2>||>0)的点的轨迹. 椭圆的定义： 问题1：猜想平面内与两定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么呢？ ||+||=2(2>||>0) 探究一 双曲线的绘制与双曲线的定义 活动1：完成以下问题，并类比椭圆的概念，归纳双曲线的概念. 问题导入 32100 [1]取一条拉链； [2]如图，把它固定在板上的两点； [3]拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？ 问题2：观看以下拉链实验视频，观察形成的轨迹有何特点？ （要求：请认真观察图中动画，对比椭圆定义的生成，思考点M在运动过程中哪些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？） 32100 ①如图(A)， ②如图(B)， 这两条曲线合起来叫做双曲线. 由①②可得： |||-|||=2 （差的绝对值） ||-||=|2|=2 拉链实验： ||-||=||=2 32100 几何画板绘制双曲线： 32100 ① 两个定点——双曲线的焦点; ② ||=2 ——焦距. 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于||)的点的轨迹叫做双曲线. 双曲线的定义： |||-|||=2 没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支. ③此常数记为2，则22. o F 2 F 1 M x y 归纳总结 32100 两条射线 3、若常数2=0,轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线 2、若常数22(||)轨迹是什么？ 轨迹不存在 1、若常数22(||)轨迹是什么？ 问题3：结合双曲线的定义，你能解答下列问题吗？ 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于||)的点的轨迹叫做双曲线. |||-|||=2 32100 练一练 1.已知平面内两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（　　） A．|PF1|﹣|PF2|＝±7 B．|PF1|﹣|PF2|＝±6 C．|PF1|﹣|PF2|＝±4 D．|PF1|2﹣|PF2|2＝±6 解：∵两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），∴|F1F2|＝6， 由双曲线定义得||PF1|﹣|PF2||∈（0，6）， ∴四个选项的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是C． 故选：C． C 32100 F 2 F 1 M x O y 活动2：类比椭圆的推导过程，设想求曲线方程的步骤、尝试推导双曲线的标准方程. 1.建系 以所在的直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系 2.设点 设（）,则(-,0),(,0) 3.列式 ||-||=2 4.化简 探究二 双曲线的标准方程的推导 32100 焦点在x轴上的双曲线的标准方程 32100 均满足= 焦点在x轴的双曲线方程： P 焦点在y轴的双曲线方程： P 双曲线的标准方程 椭圆要看分母，焦点跟着大的走 双曲线看正负，焦点跟着正的走 双曲线焦点的位置判断： 归纳总结 32100 练一练 2.哪些方程是双曲线的方程,如果是双曲线，请确定焦点位置，确定a、b、c的值。 (2) a=2 , =16 32100 探究三 求解双曲线的标准方程 活动3：小组合作，完成以下问题，说说你的求解思路. 问题1：设双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上点F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线标准方程. 因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 . 由2c=10，2a=6，得c=5，a=3， 因此，b2=52-32=16. 所以，双曲线得标准方程为 待定系数法 新知探究 32100 解：由双曲线的定义可知， 所以 所以 定义法 32100 探究四 根据双曲线方程的定义，解决相关问题. 问题1：如何将其抽象成数学情境问题？若设爆炸点为P，你能得到怎样的数量关系？如何建立平面直角坐标系求解呢？ |PA|-|PB|=2×340. 问题2：求解题干问题. 情景：已知A，B两地相距 800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 活动3：根据双曲线的定义，求解与双曲线有关的实际问题. 新知探究 32100 设双曲 解： 如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，设炮弹爆炸点P的坐标为（ x，y ），则 又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400. 因为|PA|-|PB| 所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x |PA|-|PB|=340， 即， 32100 问题3：有什么办法确定炮弹爆炸声的具体位置？ 再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得点P发出信号的时间差，从而确定点P所在的另一双曲线方程，联立两个方程组求解，即可确定P的准确位置. 32100 利用定义法求轨迹方程的一般步骤: 1.建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件. 2.依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状. 3.确定曲线方程中的参数并直接写出方程. 4.验证所求方程（检查是否有要去掉的点）. 归纳总结 32100 练一练 32100 回顾本节课所学知识，并完成下表： 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 课堂总结 32100 Lavf58.76.100 Lavf58.76.100 $