高二数学上学期期中分层模拟·巩固培优（人教B版选择性必修第一册第一章：空间向量与立体几何+第二章：平面解析几何：坐标法、直线与圆、圆锥曲线的方程）

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体 中，，，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，，所以 ． 故选：C． 2．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为倾斜角为 ，所以斜率 由直线 得斜率 ，所以 ，即 ．故选：A． 3．已知 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ．所以 ．故选：B． 4．直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆心 到直线 的距离 所以 ．故选：B． 5．阿基米德（公元前287年－公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家.他利用“逼近法”得到椭圆的面积为圆周率π乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的长短半轴长分别为，由椭圆C的离心率为，得，则，由椭圆的面积为，得，则，因此，而椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为.故选：B 6．正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设正四面体的棱长是，，则，，由正四面体的性质，两两夹角是，则，于是，中，由余弦定理，，则，设直线与所成角为，则.故选：C 7．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【详解】将直线方程变形为l：，由,解得直线过定点，P在单位圆上运动, 圆,圆的半径故原点到直线l距离的最大值为， 则P点到直线l的距离的最大值为.故选:B． 8．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由题意画出轴截面如下图所示：  设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为，则点到圆心的距离的平方，对称轴为，若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则，所以，即清洁钢球的最大半径为.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线 ，，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 或 B．若 ，则 C．当 时， 与 平行 D．当 时， 与 重合 【答案】AB 【详解】对于 A，若 ，则 ，即 ，得 或 ；当 时，，，不重合；当 时，，，不重合，A 正确．对于 B，若 ，则 ，即 ，得 ，B 正确．对于 C，当 时，，，斜率分别为 与 ，两直线相交，C 错误．对于 D，当 时，，，显然不重合，D 错误．故选：AB． 10．如图，在正方体 中，则下列说法正确的是（ ） A． B． 与 共线 C． D．直线 与平面 所成角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，设棱长为 ，则 ，，，，，，．对于 A，，，数量积为 ，故 ，A 正确．对于 B，，，坐标不成比例，不共线，B 错误．对于 C，，，数量积为 ，C 正确．对于 D，平面 的一个法向量为 ，，所以 ，D 正确．故选：ACD． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为e，直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的周长为4a B．若，则的最小值为3c C．若AB的中点为M，则 D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】 对于A，因点是椭圆上的两点，则， 而的周长为，故A正确； 对于B，因，则，由消去， 整理得，因直线恒过点，则， 设，则有， 则， 设，则，且，于是， 因，易得，则有，故B错误； 对于C，同B项，设，则，则，即得， 又，两式相减，可得，整理得，故有，即C正确； 对于D，依题意，， 则，则（*）， 由可得，代入（*），可得，解得， 因，则，化简得， 因，则，即得，解得，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知 ，，且 ，则 【答案】 【详解】因为 ，且 ，所以 ，即 ，所以 所以 ，． 13．过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 【答案】3 【详解】抛物线的准线方程为.设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有，∵M到y轴距离为1，∴， 所以．故答案为：3 14．已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【详解】，因为四点共面，且为空间中任意一点，所以，解得.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，. (1)求的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 【详解】（1）由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. （2）由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 16．（15分）如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面PAC面ACB，且APAC，平面PAC面ACB ，平面PAC， 所以PA面ACB，又因为平面ACB， 所以PA，又因为AB是圆的直径，所以， 因为平面， 所以平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，则， 设平面PBC的法向量为，则， 而，设直线AC与面PBC所成角为， 则， 所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 【详解】（1）因为焦点到抛物线准线距离为2． 所以，因此抛物线的标准方程为； （2）当直线的斜率为零时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 设直线的方程为，将直线的方程和抛物线方程联立，得 ， 由题意可知， 设，于是有， 焦点的坐标为， 因为重心恰好是抛物线的焦点，所以有 ， 此时， 所以所在的直线方程为. 18．（17分）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． （3）由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，，可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 19．（17分）已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由焦点坐标可得， 由椭圆经过点，得， 又，联立可得：， 故椭圆方程为； （2）①证明：设l与x轴的交点为D，联立， 则，需满足， 设，则， 又，故； ②当，由，可得， 即，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 由可知，直线斜率不为， 所以直线交椭圆于在轴的两侧， 所以，则， 故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点； 此时， ， 令，由于l与轴不垂直，故，所以， 故， 设，时，， 即在上单调递增，即， 故，即的面积的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版选择性必修第一册第一章（空间向量与立体几何）、第二章（平面解析几何：坐标法、直线与圆、圆锥曲线的方程）． 5．难度系数：0.70． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体 中，，，，则 （ ） A． B． C． D． 2．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （ ） A． B． C． D． 4．直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A． B． C． D． 5．阿基米德（公元前287年－公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家.他利用“逼近法”得到椭圆的面积为圆周率π乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 6．正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（    ） A． B．6 C． D．5 8．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线 ，，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 或 B．若 ，则 C．当 时， 与 平行 D．当 时， 与 重合 10．如图，在正方体 中，则下列说法正确的是（ ） A． B． 与 共线 C． D．直线 与平面 所成角的余弦值为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为e，直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的周长为4a B．若，则的最小值为3c C．若AB的中点为M，则 D．若，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知 ，，且 ，则 13．过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 14．已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，. (1)求的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 16．（15分）如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 18．（17分）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版选择性必修第一册第一章（空间向量与立体几何）、第二章（平面解析几何：坐标法、直线与圆、圆锥曲线的方程）． 5．难度系数：0.70． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体 中，，，，则 （ ） A． B． C． D． 2．若直线 的倾斜角为 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 （ ） A． B． C． D． 4．直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A． B． C． D． 5．阿基米德（公元前287年－公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家.他利用“逼近法”得到椭圆的面积为圆周率π乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 6．正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（    ） A． B．6 C． D．5 8．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线 ，，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 或 B．若 ，则 C．当 时， 与 平行 D．当 时， 与 重合 10．如图，在正方体 中，则下列说法正确的是（ ） A． B． 与 共线 C． D．直线 与平面 所成角的余弦值为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为e，直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的周长为4a B．若，则的最小值为3c C．若AB的中点为M，则 D．若，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知 ，，且 ，则 13．过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 14．已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，. (1)求的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 16．（15分）如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 18．（17分）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学•参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B B C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，. (1)求的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 【详解】（1）由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得，……………………………（2分） 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为.………………………………（6分） （2）由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率，………………………………（9分） 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为.………………………………（13分） 16．（15分）如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面PAC面ACB，且APAC，平面PAC面ACB ，平面PAC， 所以PA面ACB，又因为平面ACB， 所以PA，又因为AB是圆的直径，所以，………………………………（3分） 因为平面， 所以平面；………………………………（6分） （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，则，………………………………（9分） 设平面PBC的法向量为，则，…………………（11分） 而，设直线AC与面PBC所成角为， 则，………………………………（13分） 所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为.………………………………（15分） 17．（15分）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 【详解】（1）因为焦点到抛物线准线距离为2． 所以，因此抛物线的标准方程为；………………………………（5分） （2）当直线的斜率为零时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 设直线的方程为，将直线的方程和抛物线方程联立，得 ， 由题意可知， 设，于是有，………………………………（8分） 焦点的坐标为， 因为重心恰好是抛物线的焦点，所以有………………………………（11分） ，………………………………（13分） 此时， 所以所在的直线方程为.………………………………（15分） 18．（17分）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．………………………………（5分） （2）由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，．………………………………（7分） 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故．………………………………（9分） 设点C到平面MBD的距离为h，则．………………………………（11分） （3）由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，，可得……………………（13分） 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为．………………………………（17分） 19．（17分）已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由焦点坐标可得， 由椭圆经过点，得， 又，联立可得：， 故椭圆方程为；………………………………（5分） （2）①证明：设l与x轴的交点为D，联立， 则，需满足， 设，则，………………………………（7分） 又，故；………………………………（10分） ②当，由，可得， 即，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或，………………………………（12分） 由可知，直线斜率不为， 所以直线交椭圆于在轴的两侧， 所以，则， 故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点；………………………（14分） 此时， ， 令，由于l与轴不垂直，故，所以， 故， 设，时，， 即在上单调递增，即， 故，即的面积的取值范围为.………………………………（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $