专题05 直线相关的最值与范围问题8大题型（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05直线相关的最值与范围问题 题型图谱导航总览 题型1求倾斜角或斜率的范围 基础固本强基 题型2直线与线段相交关系求斜率的范围（重点） 题型3点到直线距离最值 题型4定点到动直线的距离最值（重点） 提升·进阶突破 题型5两平行动直线距离最值（重点） 题型6直线与轴相交的最值（难点） 题型7将军饮马求距离最值（重点） 拔高·压轴破难 题型8代数模型求距离最值（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1求倾斜角或斜率的范围 【方法总结】倾斜角与斜率通过k=tnc(a≠90°)关联，利用正切函数的单调性和图像分析范围。 已知倾斜角范围求斜率：先看角是否跨过 ,若跨过则斜率分两段（正无穷到负无穷），否则直接用正切 单调性。 已知斜率范围求倾斜角：由k的范围反推角，若k的范围含O,则倾斜角分两段（从π与0处分两段） 1/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026高三·全国专题练习)直线xcos8+y-l=0(8ER)倾斜角的范围是() π3π A.[0,) B.44」 e[剧 [ 2.(2026高三全国专题练习)如果直线'经过4(2，)，B,m(m∈R)两点，那么直线'的倾斜角a的 取值范围是() A.0≤a≤元 B.0sas <u<π 4或2 C.0sas 4 D.子sa<威a<π <2或2 3.(25-26高二上·湖北孝感·期末)直线sinC-y+2=0的倾斜角0的取值范围是() 4[ 。[引 传 4.(25-26高二上四川广安期末)设直线I的斜率为k,且k≥1，则直线1的倾斜角α的取值范围是 () g原 。[ π3π 5。(25-26高二上天津滨海新区阶段检测)设直线1的倾斜角“气64， 则其斜率k的取值范围是 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若直线的斜率ke(l,v5),】 则直线！的倾斜角的取值范围是 题型2直线与线段相交关系求斜率的范围 【方法总结】 1、 先求出定点与线段两端点连线的斜率k1、k2: 2 若定点在线段所在直线的同侧，直线与线段相交的斜率范围是k1,k,(或k,k》： B、若定点在线段的延长线上或与线段端点重合，需结合图形判断斜率是否跨过无穷（即是否有斜率不存 在的临界位置)： 4、画图辅助判断旋转方向，确定斜率范围的“开闭”和是否分两段。 1.（2627商二上满北寒附阶段检测)已知三点422,80列1可 则过点A的直线与线段 BC有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范国分别是(） A.t-ul. B(w+o.[昏到 c匠 n(.}经 2.(2627高=上重庆九龙坡阶段检测)已知4-2），B(2,)若过PQ,-)的直线1与线段4B没有公 共点，则的倾斜角的取值范围是 3.(2627商=上河南阶段检测己知过点(Q-2)的直线1与以点4(3,1和B(-3,4)为端点的线段4B ” 3/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相交，则直线1的斜率k的取值范围是() A.（m,-25] B.[-25, c.（-0,-U[25,+∞ D.（-o,-23U[l,+o) 4.(2526高二上福建厦门阶段检测)若点P()在以4-3)，B-1,0,C(-2,0)为顶点的△ABC的 y-2 内部运动（包含边界），则x-1的取值范围是() c制 5.(2526商三全国三轮复习)已知点4,3).8(-2-.若直线：y=(-21与线段4B相交， 则k的取值范围是() A.k22 B.k≤-2 C.k22或k≤-2 D.-25k5 题型3点到直线距离最值 【方法总结】利用点到直线距离为垂线段最短来求。 1.(25-26高二上江苏镇江：阶段检测)若动点 A()B(x2,y2) 分别在直线 4:5x-12y+2=0 12:5x-12y+8=0 上移动，则1B的中点M 到原点的距离的最小值为() 5 A.3 B.2 C.2 1 D.3 2.(2025·吉林·模拟预测)平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线15x+20y+23=0的距离的最 小值为一 3.(2026北京顺义二模)已知直线过点01)，其顿斜角为0，设原点0到直线的距离为4.当 4/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0<ds 2时，0的取值范围是() e[p[居 4(2526高-下上海黄蒲期末)已知点P是直线3-4y+2=0上任意一点，则点P与点13-)之间 距离的最小值是 了（2526有1吉林长在你段拉测)在平佰直角坐标系0中，店代2-3列在第象限，则O 的取值范围是() 提升进阶突破 题型4定点到动直线的距离最值 【方法总结】将动直线转化为过定点的直线系，利用“定点到动直线的距离最大值不超过定点到直线系中 心（或另一定点）的距离”求解。 P(-1,2) 1:(1+2)x+(1+)y-1-32=0(2∈R) 1.(25-26高二上重庆期中)点 到直线 的距离的最大值 为() A V1o B V2 c.3 D V5 2。(25-26高二上湖南水州期中)已知定点M(,5)和直线40+m)x-y-2m+1=0(m∈R 和直线 ,则点M到直 线I的距离d的最大值为() A.25 B.23 C D V5 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高二上山东菏泽阶段检测)点A,)到直线xcos0+ysn0-2=0的距离的最大值是(） A.2 B.2-V2 C.2+V2 D.4 4.(2526高二上吉林长春阶段检测)已知点4L,2）,直线(+2r+1-2刘y+2+7=0(2eR)】 直线 1随着九取值变化而发生变化过程中，A到的距离的最大值为() A.3 B V10 c v2 D.5 5.(25-26高二上辽宁期中)已知直线：y=(x-2列+2，当k变化时，点P10到直线1的距离的取值 范围是 题型5两平行动直线距离最值 【方法总结】若两直线分别过两定点且保持平行，则距离最大值出现在两定点连线垂直于直线方向时 1,(26-27高三上甘肃天水阶段检测)已知平行直线1，？分别过点 时点42,5j和2 则这两条直线之 间的距离的最大值为() 43 B.4 c2 :(2+2)x-(2-1)y+42-7=0 2.(25-26高二上河北保定·期中)已知两条平行直线 42:(2+2)x-(21-0y-21-9=0,当，h之间的距离最大时，2=() c. D.3 :(2+2)x-(22-1)y+62-8=0 3.(25-26高二上：上海期中)己知两条平行直线 4:2+2x-21-y-4以-13=0，当，之间的距离最大时，1- ” 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1:(2+2)x-(22-1)y+62-8=0 4.(25-26高二上江苏南京·阶段检测)已知两条平行直线 4:0+2x-(22-少-41-13=0.当之间的距离最大时，2=(） ,当 A 2 B.-11 C.2 D. :mx+y+4=0,2:x+y-3=0,l3:x+y+1=0 5.(25-26高二上湖北省直辖县级单位期末)己知直线 且，凸与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为() A.(0,3u(3,4 B.(0,4 c.(0,s] D.(0,4u(4,5] 题型6直线与轴相交的最值 【方法总结】设直线截距式方程，写出与两坐标轴围成的三角形面积表达式，再用基本不等式或函数最值 方法求解。若直线过定点，则截距满足约束条件，代入面积表达式后利用基本不等式求最值： 1.(25-26高二上广东湛江期中)已知直线1过定 点M0,直线的方程是*+y-0 (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程. ②若直线与”'轴正半轴分别交于 两点，过B P,Q 2:x+y= 之分别作直线 垂线，垂足分别是RS 求四边形POSR面积的最小值 (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 2.(25-26高二上江苏南通阶段检测)己知直线的方程为： (1)求证：不论m为何值，直线总经过第一象限： (2)直线I交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高二下·上海期中)己知直线1过点M(2,),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B 两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线1的方程； (1)当△AOB的面积最小时： (2)当MAMB取得最小值时： (3)当两截距之和最小时： 4（26:27高二上宁受银川阶段检测)已知0为坐标原点，过点27) 的直线分别与，'轴的正半轴 交于M,N两点，则当△MON的面积取得最小值时，直线I的方程为() A少？ 7 2 B.y=2 x+14 7 C.y=-2-l4 Dy=14 5.（25-26高二上安微准南阶段检测)己知直线经过点P,) (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程； ②设0为坐标原点，若直线'与产辅正半辅交于点4、与轴正半销交于点B,求o+ 的最小值，并 求此时直线的方程： 拔高压轴破难 题型7将军饮马求距离最值 【方法总结】通过对称变换将折线“拉直”，把“折线距离”转化为“两点间线段”或“三角形两边 差”，从而求最值。 相加求最小值：若定点在动点所在直线的同侧，则根据对称把点分布在两侧，连接两点线段长即为最小值 相减求最大值：若两定点在直线同侧，直接连接两定点并延长交直线于动点，此时距离之差最大（等于两 定点间距离)；若两定点在直线异侧，先作一个定点关于直线的对称点，再连接对称点与另一定点并延长 交直线于动点。 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2627高二上江西宜春阶段检测)在平面直角坐标系0中，已知 点40，-2），点BL0,P为直线 x-y+3=0上一动点，则 PA+PB 的最小值是（) B.35 C.25 D V5 2.(2526商二上福建厦门阶段检测己知点0是坐标原点，点9是圆：-3+0+4=1上的对点， 点P是直线x+y+4=0 上的一个动点，则 PO+PO 的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 月22站奇上天年度检潮》点厂行线-2滋动，点5是时+少 上的动点， F6-2）.则PF-P 的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.(多选)(25-26高二上贵州阶段检测)己知4(6,9)，B(3,3),P是直线：x-y-2=0上的动点，则 () A.IPAI+IPBI V66 的最小值为 B.IPAl+IP '的最小值为V C.IPAI-IPB V5 的最大值为 D.1P1-PB的最大值为2而 ，《多这)(253G有=上河南留阳期胖)0为心标限点，P6),Q.M为产销L动点 N y=2x 为直线 上一动点，则() A,M+wO的最小值为10 B.INP-g 的最大值为2 c.5PM+20M的最小值为15 D.PM+PW的最小值为12 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8代数模型求距离最值 【方法总结】将代数式通过配方、变形，转化为两点间距离、点到直线距离或平行线间距离等几何意义， 再用几何方法求最值。 形如 x-aP+y-b的式子，可看作点x,y到定点(a,b的距离： 形如 x-a+y-b+x-cP+y-d的式子，可看作动点到两定点的距离之和，用对称或三角形不等 式求最值： ⊥Ax+By+C⊥ 形如 A2+B2 的式子，可看作点到直线的距离： 形如火Q 的式子，则转化为动点与定点的斜率。 x-b 1. （25-26高=下河南新乡~期中)已知关于实数xy的方程4x+2y-=2x+4y-1=1√2+户 有两组实 数解，则的取值范围为 a,b) 2.(25-26高二上·湖北襄阳阶段检测)若恰有三组不全为0的实数对 满足关系式 2a+b+3=5a-3b+3=t√a2+b2' 试写出满足条件的一个实数的值： ac-2_4 3。（25-26高三下江西赣州期中)已知实数a,6cd满足方d-3,则V(a-c'+(b-d的最小值为 1 8 > A.5 B.5 C.5 D.5 4.(25-26高二上湖北荆州期中)已知x,yeR,函数fc)=VW2x-2+(W2y-4+-y+3V的最 小值为() A B.2 C22 D.4 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高二上广西南宁·阶段检测)在平面直角坐标系中，已知动 P(a,b)到两直线：y=2r与 马：y=x+1的距离之和为、5，则2号的取值范围是《） b+1 a(m[g+ u〔m》g e ia 。〔 11/11专题05 直线相关的最值与范围问题 基础·固本强基 题型1 求倾斜角或斜率的范围 题型2 直线与线段相交关系求斜率的范围（重点） 题型3 点到直线距离最值 提升·进阶突破 题型4 定点到动直线的距离最值（重点） 题型5 两平行动直线距离最值（重点） 题型6 直线与轴相交的最值（难点） 拔高·压轴破难 题型7 将军饮马求距离最值（重点） 题型8 代数模型求距离最值（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求倾斜角或斜率的范围 【方法总结】倾斜角与斜率通过 （）关联，利用正切函数的单调性和图像分析范围。 已知倾斜角范围求斜率：先看角是否跨过，若跨过则斜率分两段（正无穷到负无穷），否则直接用正切单调性。 已知斜率范围求倾斜角：由 的范围反推角，若k的范围含0，则倾斜角分两段（从与0处分两段） 1．（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 2．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 3．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 题型2 直线与线段相交关系求斜率的范围 【方法总结】 1、先求出定点与线段两端点连线的斜率 、； 2、若定点在线段所在直线的同侧，直线与线段相交的斜率范围是 （或 ）； 3、若定点在线段的延长线上或与线段端点重合，需结合图形判断斜率是否跨过无穷（即是否有斜率不存在的临界位置）； 4、画图辅助判断旋转方向，确定斜率范围的“开闭”和是否分两段。 1．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】辅助图形找到满足条件的临界值即可求出答案. 【详解】如图所示： 设直线与直线的倾斜角分别为与，由题可知满足条件的直线在图中阴影部分区域，则直线的倾斜角的取值范围是 . ，，，. 直线的倾斜角的取值范围是. 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 5．（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 题型3 点到直线距离最值 【方法总结】利用点到直线距离为垂线段最短来求。 1．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 2．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为_____． 【答案】/0.08 【分析】设整点，由点到线的距离公式，得到是5的倍数，进而可求解. 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 3．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 4．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再根据两点间距离公式结合二次函数性质运算求解. 【详解】因为点在第一象限内， 则，解得， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 则函数在内的最小值为，且， 即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 提升·进阶突破 题型4 定点到动直线的距离最值 【方法总结】将动直线转化为过定点的直线系，利用“定点到动直线的距离最大值不超过定点到直线系中心（或另一定点）的距离”求解。 1．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 2．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求得直线所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算. 【详解】直线， 即， 由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 3．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）点到直线的距离的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线距离公式和辅助角公式得到，结合正弦函数有界性求出最大值. 【详解】点到直线的距离为 ， 由于， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：C 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 5．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知直线过定点，从而可求到直线l的距离的最大值，再由，即可得答案. 【详解】因为直线，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大， 此时， 又因为当直线过点时，，所以. 故答案为：. 题型5 两平行动直线距离最值 【方法总结】若两直线分别过两定点且保持平行，则距离最大值出现在两定点连线垂直于直线方向时. 1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 2．（25-26高二上·河北保定·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出两直线所过定点，再分析出，之间的距离最大时的垂直情况，最后利用直线垂直于斜率的关系即可得到答案. 【详解】整理得， 令，解得，则直线过定点， 整理得， 令，解得，则直线过定点， 则当直线与均垂直时，，之间的距离最大， 而直线的斜率, 则直线的斜率为1，显然，则，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 【答案】2 【分析】先分别对直线进行变形，求出每条直线恒过的定点，再利用两点间距离公式求出两定点间的距离，该距离即为两直线间的最大距离，最后利用两定点的连线与的垂直关系求出直线的斜率，进而求出． 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 5．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 题型6 直线与轴相交的最值 【方法总结】设直线截距式方程，写出与两坐标轴围成的三角形面积表达式，再用基本不等式或函数最值方法求解。若直线过定点，则截距满足约束条件，代入面积表达式后利用基本不等式求最值； 1．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)4 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【详解】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1) 直线的方程可以改写为， 令，所以直线过定点， 因为在第一象限，所以不论为何值，直线总经过第一象限； (2) 【分析】（1）求得直线恒过定点，即可得证； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，， 令，得；令，得， 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 3．（25-26高二下·上海·期中）已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先设直线方程，再根据基本不等式得面积的最小值，进而求得直线方程； （2）先设直线方程，根据基本不等式或用向量的方法求得线段的积的最小值，进而得直线方程； （3）设直线方程来截距式方程，再用基本不等式得截距之和最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点， 所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为， 由题意可得，，且解得. 于是 当且仅当，即时，的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为，即. 方法二：设直线l的方程为，则. 又因为，即，得，当且仅当，即，时等号成立， 于是的面积有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是，即； （2）方法一：由（1）方法一知，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为. 方法二：由（1）方法二知，，，，， 所以， 即 当且仅当时取等号，此时直线l的方程为. （3）设直线l的方程为，则， 所以，即， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为. 4．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有： 将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 5．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或 (2)最小值为16， 【分析】（1）分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，即可求得结果； （2）设，其中，求得坐标后，利用基本不等式即可求得的最小值及直线方程. 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意； 当不过坐标原点时，可设其方程为：， ， ， ∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，， 令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立， 直线的方程为：，即， ∴的最小值为，此时直线方程为：. 拔高·压轴破难 题型7 将军饮马求距离最值 【方法总结】通过对称变换将折线“拉直”，把“折线距离”转化为“两点间线段”或“三角形两边之差”，从而求最值。 相加求最小值：若定点在动点所在直线的同侧，则根据对称把点分布在两侧，连接两点线段长即为最小值 相减求最大值：若两定点在直线同侧，直接连接两定点并延长交直线于动点，此时距离之差最大（等于两定点间距离）；若两定点在直线异侧，先作一个定点关于直线的对称点，再连接对称点与另一定点并延长交直线于动点。 1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为的最大值问题，结合图象分析可得. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 如图，因为，所以， 由图可知，， 当且仅当三点共线，点位于点时取得最大值. 故选：C 4．（多选）（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 5．（多选）（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知为坐标原点，，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（    ） A．的最小值为10 B．的最大值为2 C．的最小值为15 D．的最小值为12 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用求得点关于轴的对称点和关于的对称点，结合三角形边长的性质，可判定A、B正确；设，得到，设，利用导数求得函数的单调性，求得最小值，可判定C正确；求得点到轴和的距离，得到的最小值，可判定D不正确. 【详解】对于A，设点关于轴的对称点为，可得， 如图（1）所示，连接交轴于点，此时， 又由，此时取得最小值，所以A正确；    对于B，设点关于轴的对称点为，且， 可得，解得，即，可得， 如图（2）所示，连接，并延长交于点， 此时，可得的最大值为，所以B正确，    对于C，设，可得， 设， 当时，，此时在上是减函数，无最小值； 当时，，可得， 令，即，即 整理得，且，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递增，且， 所以函数的最小值为，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，由点，且为轴上一动点，为直线上一动点， 可得点到轴的距离为，点到的距离为， 可得的最小值为，所以D不正确. 故选：ABC. 题型8 代数模型求距离最值 【方法总结】将代数式通过配方、变形，转化为两点间距离、点到直线距离或平行线间距离等几何意义，再用几何方法求最值。 形如 的式子，可看作点 到定点 的距离； 形如 的式子，可看作动点到两定点的距离之和，用对称或三角形不等式求最值； 形如 的式子，可看作点到直线的距离； 形如的式子，则转化为动点与定点的斜率。 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】有，两侧同时平方化简可得两条直线，原方程所有的解必然落在两条直线上，将两条直线分别代入，两侧同时化简，再由一元二次方程以及有两个解分别进行讨论即可求解. 【详解】因为，则，化简可得，可得或， ①情形一：，所以，则，化简可得， 则，当时，即，此时只有一个解， 所以在直线上，当时，有两个解；当时，有一个解，舍掉； ②情形二：时，令，，则， 化简可得，所以， 即，则（舍掉）， 当时，情形一与情形二各有2个解，共4个解， 当时，情形一有2解，情形二0个解，共2个解， 当时，情形一有2个解，情形二有0个解，共2个解， 当时，情形一有1个解，情形二有0个解，共1个解， 当时，情形一有1个解，情形二0个解，共2个解， 故的取值范围为. 2．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 3．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 4．（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知，函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简得，转化为点到点和到直线的距离之和的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 则， 因为表示点到定点的距离， 表示点到直线的距离， 所以表示点到点和到直线的距离之和的倍， 如图所示，过点作，垂足为， 当点在线段上时，可得， 所以的最小值为. 故选：C. 5．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C    $