专题02 认识有理数 同步讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题02认识有理数同步培优讲义 ✺知识框架 正数与负数：相反意义的量、正负数定义、0 的特殊意义。 有理数概念与分类：有理数定义、整数与分数构成、两种标准分类。 数轴：数轴三要素、有理数的数轴表示、数轴比较数的大小。 相反数：相反数定义、几何意义、基本性质。 绝对值：绝对值定义、代数化简法则、负数大小比较。 ✺学习目标 1.理解正、负数的实际意义，会用正负数表示生活中具有相反意义的量，明确0的分界作用。 2.掌握有理数的概念，能按照定义、正负性两种标准对有理数准确分类，区分有理数与非有理数。 3.熟记数轴三要素，规范绘制数轴，能将有理数在数轴上精准表示，会利用数轴比较有理数大小。 4.理解相反数的代数定义与几何意义，熟练求解任意有理数的相反数，掌握相反数核心性质。 5.理解绝对值的几何意义和代数意义，能熟练求有理数的绝对值，掌握两个负数的大小比较方法。 ✺知识梳理 知识点一、正数与负数 相反意义的量：生活中意义相反、属性相同的两类量，可以用正、负数区分表示。人为规定一类量为正，与之相反的量即为负。 正数：大于0的数，正数前面的 “+” 号可省略不写。 负数：在正数前面加上负号 “−” 的数，负数的负号不能省略。 0 的意义：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的唯一分界数，不属于任何正负区间。 知识点二、有理数及其分类 有理数定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数（如π）。 分类方式：（1）按正负性分类：有理数分为正有理数、0、负有理数。其中正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数。（2）按定义分类：有理数分为整数、分数。 注意：整数可以看作分母为1的分数，但在有理数分类时，整数与分数并列。 知识点三、数轴 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度是数轴缺一不可的三要素。 对应关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 大小比较规则：数轴上右边的点对应的数，始终大于左边的点对应的数。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 知识点四、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 几何意义：在数轴上，互为相反数（0除外）的两个数对应的点分布在原点两侧，且到原点的距离相等；0的相反数是它本身，对应点为原点。 核心性质：0的相反数是0；若两个数互为相反数，则两数之和为0。 知识点五、绝对值 几何定义：数轴上一个数对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。距离非负，因此绝对值一定是非负数。 代数法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0。 负数比较大小：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 易错提醒 1.带有负号的数不一定是负数，需要化简之后再判定正负。 2.0是整数，不是分数；π等无限不循环小数不是有理数。 3.画数轴三要素必须齐全，单位长度需统一，不可长短不一。 4.相反数是成对出现的关系，不能单独说某个数是相反数。 5.绝对值结果恒为非负数，不存在负的绝对值。 6.比较两个负数大小，必须先比较绝对值大小，再判断原数大小。 ✺题型精讲 题型1. 正负数的定义 1．下列各数中，是负数的是（     ） A．0 B． C．0.1 D． 2．我国古代数学著作《九章算术》在“方程”一章中提出了正数、负数的概念，如果盈利80元记作，那么亏损50元记作_________． 3．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 题型2. 相反意义的量 1．下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 2．宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 3．如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； (2)若“”表示增加，则“”表示______． 题型3. 正负数的实际应用 1．我国古代数学名著《九章算术》中首次正式引入了负数的概念．若收入500元记作元，则支出320元应记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是，则电子所带电荷用数表示是_________． 3．一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 题型4. 有理数的定义 1．在，2.15，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多1个0）中，有理数的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．年月日，中国用一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，这里，自然数“”的作用是属于______．（填：计数、测量、排序或标号） 3．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 题型5. 0的意义 1．学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 2．0既不是______，也不是______． 3．某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少． (1)写出今年这些型号的电脑销售量的增长率； (2)该公司，，三种型号的键盘今年销售量的增长率分别是，和，这三个数各表示什么意思？ 题型6. 有理数的分类 1．在下列五个数中：，0，，1.21212121……，1.8，正有理数个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．在“，，，，”这5个数中，负分数有__________个． 3．把下列各有理数填在相应的集合内 3，，0，，0.45，120，，，， (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合： 题型7. 带“非”字的有理数 1．在，0，，，，，中，非负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 3．把下列各数填入相应的大括号里：0，，，5，，，，，． 正有理数集合：{            } 非正整数集合：{            } 负分数集合：{            } 题型8. 数轴的三要素及其画法 1．下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 2．下面的说法中：①1.4不是整数；②有理数包括整数和分数；③正整数和负整数统称整数；④0是有理数；⑤规定了原点、正方向和单位长度的线段叫做数轴．正确的有_______（填序号）． 3．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 题型9. 用数轴上的点表示有理数 1．如图，数轴上点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 3．先画出数轴，再在数轴上画出表示下列各数的点，最后按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排列： ． 题型10. 利用数轴比较有理数的大小 1．点在数轴上的位置如图所示，则下列一定比点表示的数大的是（   ） A． B． C． D． 2．如果，，比较大小：b_________（用“”、“”或“”连接）． 3．已知点在数轴上的位置如图所示，观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是_____，点表示的有理数是_____； (2)把有理数在数轴上表示出来，并用“”将这四个数连接起来． 题型11. 数轴上点的平移（动点问题） 1．把笔尖放在数轴上表示的点上，先把笔尖向右移动3个单位，再把笔尖向左移动6个单位，此时笔尖落在数轴上的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 3．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 题型12. 数轴上找原点 1．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 3．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ，，，， 题型13. 数轴上整点覆盖问题 1．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，判断墨迹盖住的整数点的个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 3．若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 题型14. 数轴上的规律探究 1．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 3．已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 题型15. 相反数的定义 1．的相反数为（     ） A．5 B． C． D． 2．相反数：与互为相反数等价于____________________． 3．求下列各数的相反数． 4，6，0，，+37，，0.001． 题型16. 化简多重符号 1．在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．化简___________． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型17. 相反数的应用 1．下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若a与互为相反数，则a 的值__________． 3．如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 题型18. 绝对值的几何意义 1．（正负数的大小比较）下面各数中，最接近的是（   ）． A． B． C． D． 2．的最大值是_______． 3．某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 题型19. 求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B． C．0 D．2 2．如果m是负数，且，那么______． 3．化简计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 题型20. 绝对值非负性 1．若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 2．当_________时，有最小值_________． 3．回答下列问题： (1)绝对值是的数有几个？是什么？ (2)绝对值是的数有几个？是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 题型21. 绝对值的其他应用 1．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 2．绝对值大于3.1且小于6.9的整数是________ 3．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 题型22. 有理数大小比较 1．下列式子中成立的是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小： __________；__________； 3．求值： (1)如果，且a，b异号，求a，b的值． (2)若，且，求m，n的值． 题型23. 有理数大小比较的实际应用 1．跨学科  有四种气体的液化温度（标准大气压下）如表所示，则液化温度最高的是（     ） 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度／℃ A．氧气 B．氢气 C．氮气 D．氦气 2．某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是____． 1 2 3 4 5 6 3．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ ✺分层练习 一、单选题 1．下列说法： ①符号相反的数互为相反数； ②一定是一个负数； ③正整数、负整数统称为整数； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中，错误的有（     ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④0是最小的有理数；⑤是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 4．已知，是不为的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个． 7．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 8．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是______． 9．若是实数，则的最小值为___． 三、解答题 10．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 11．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 12．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识有理数同步培优讲义 ✺知识框架 正数与负数：相反意义的量、正负数定义、0 的特殊意义。 有理数概念与分类：有理数定义、整数与分数构成、两种标准分类。 数轴：数轴三要素、有理数的数轴表示、数轴比较数的大小。 相反数：相反数定义、几何意义、基本性质。 绝对值：绝对值定义、代数化简法则、负数大小比较。 ✺学习目标 1.理解正、负数的实际意义，会用正负数表示生活中具有相反意义的量，明确0的分界作用。 2.掌握有理数的概念，能按照定义、正负性两种标准对有理数准确分类，区分有理数与非有理数。 3.熟记数轴三要素，规范绘制数轴，能将有理数在数轴上精准表示，会利用数轴比较有理数大小。 4.理解相反数的代数定义与几何意义，熟练求解任意有理数的相反数，掌握相反数核心性质。 5.理解绝对值的几何意义和代数意义，能熟练求有理数的绝对值，掌握两个负数的大小比较方法。 ✺知识梳理 知识点一、正数与负数 相反意义的量：生活中意义相反、属性相同的两类量，可以用正、负数区分表示。人为规定一类量为正，与之相反的量即为负。 正数：大于0的数，正数前面的 “+” 号可省略不写。 负数：在正数前面加上负号 “−” 的数，负数的负号不能省略。 0 的意义：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的唯一分界数，不属于任何正负区间。 知识点二、有理数及其分类 有理数定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数（如π）。 分类方式：（1）按正负性分类：有理数分为正有理数、0、负有理数。其中正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数。（2）按定义分类：有理数分为整数、分数。 注意：整数可以看作分母为1的分数，但在有理数分类时，整数与分数并列。 知识点三、数轴 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度是数轴缺一不可的三要素。 对应关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 大小比较规则：数轴上右边的点对应的数，始终大于左边的点对应的数。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 知识点四、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 几何意义：在数轴上，互为相反数（0除外）的两个数对应的点分布在原点两侧，且到原点的距离相等；0的相反数是它本身，对应点为原点。 核心性质：0的相反数是0；若两个数互为相反数，则两数之和为0。 知识点五、绝对值 几何定义：数轴上一个数对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。距离非负，因此绝对值一定是非负数。 代数法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0。 负数比较大小：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 易错提醒 1.带有负号的数不一定是负数，需要化简之后再判定正负。 2.0 是整数，不是分数；π等无限不循环小数不是有理数。 3.画数轴三要素必须齐全，单位长度需统一，不可长短不一。 4.相反数是成对出现的关系，不能单独说某个数是相反数。 5.绝对值结果恒为非负数，不存在负的绝对值。 6.比较两个负数大小，必须先比较绝对值大小，再判断原数大小。 ✺题型精讲 题型1. 正负数的定义 1．下列各数中，是负数的是（     ） A．0 B． C．0.1 D． 【答案】B 【详解】解：选项B中的，是负数. 2．我国古代数学著作《九章算术》在“方程”一章中提出了正数、负数的概念，如果盈利80元记作，那么亏损50元记作_________． 【答案】 【分析】本题考查正负数的概念，掌握好相关知识是关键．盈利和亏损是相反意义的量，盈利用正数表示，亏损用负数表示． 【详解】解：根据正负数的意义，盈利80元记作，表明盈利用正数表示．亏损与盈利是相反意义的量，因此亏损应用负数表示．故亏损50元记作． 故答案为：． 3．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 【答案】正数有；负数有． 【详解】解：大于0的数是正数，有； 小于0的数是负数，有； 0既不是正数也不是负数． 题型2. 相反意义的量 1．下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】C 【分析】根据相反意义的量的定义，判断每组量是否具备相反的含义，找出不具有相反意义的选项． 【详解】解：∵胜与负是相反意义， ∴A项具有相反意义，不符合题意． ∵盈利与亏损是相反意义， ∴B项具有相反意义，不符合题意． ∵升高是变化量，气温是温度数值，二者不是相反意义， ∴项不具有相反意义，符合题意． ∵逆时针转与顺时针转是相反意义， ∴D项具有相反意义，不符合题意． 2．宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． 3．如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； (2)若“”表示增加，则“”表示______． 【答案】(1)③，④，① (2)减少 【分析】（1）根据相反意义的量的定义，找出与各组词语意义相反的量； （2）根据正负数表示相反意义的量的规则，分析“”的意义． 【详解】（1）解：相反意义的量配对 II“运出250吨”，相反意义的量是“运进”，所以II－③， III“上升”，相反意义的量是“下降”，所以III—④， IV“支出100元”，相反意义的量是“收入”，所以IV－① 故答案为：③，④，①； （2）解：因为“＂表示增加， 所以“”表示与“增加”相反的意义，即“减少”，因此“”表示减少． 题型3. 正负数的实际应用 1．我国古代数学名著《九章算术》中首次正式引入了负数的概念．若收入500元记作元，则支出320元应记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵收入元记作元，收入与支出是相反意义的量， ∴支出元应记作元． 2．科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是，则电子所带电荷用数表示是_________． 【答案】 【详解】解：∵ 原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷，且原子核所带电荷用数表示为， ∴ 表示电子所带电荷的数是与意义相反的数，即． 3．一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 【答案】(1) 39.1；39.5；38.5；39；38.9 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据每天的体温变化计算即可； （2）根据平均数的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：，，，，； 表格如下： 时间 体温变化 实际体温 _________ _________ _________ _________ _________ （2）解：平均体温为：． 题型4. 有理数的定义 1．在，2.15，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多1个0）中，有理数的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数），统计有理数个数即可． 【详解】解：所给数中，仅（每两个之间依次多个）是无限不循环小数，不是有理数， 其余，，，，均为有理数，共个，故选项A符合题意． 2．年月日，中国用一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，这里，自然数“”的作用是属于______．（填：计数、测量、排序或标号） 【答案】计数 【分析】本题考查了整数的认识，根据数学常识即可求解，正确理解整数是解题的关键． 【详解】解：自然数“”的作用是属于计数， 故答案为：计数． 3．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 【答案】，，，；，，，；， ； 【分析】分别根据整数、非负整数、正分数的定义得出即可． 【详解】解：整数集：，，，； 非负整数集：，，，； 正分数集：， ； 故答案为：，，，；，，，；，. 【点睛】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握相关的定义是解题关键． 题型5. 0的意义 1．学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据有理数的定义判断甲和乙的说法是否正确． 【详解】解：∵负数是指小于0的数， ∴甲的说法正确； ∵0既不是正数也不是负数， ∴乙的说法正确． ∴甲、乙均对， 故选：C． 2．0既不是______，也不是______． 【答案】 正数 负数 【分析】本题主要考查了0的意义，0既不是正数，也不是负数，据此可得答案． 【详解】解；0既不是正数，也不是负数， 故答案为：正数，负数． 3．某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少． (1)写出今年这些型号的电脑销售量的增长率； (2)该公司，，三种型号的键盘今年销售量的增长率分别是，和，这三个数各表示什么意思？ 【答案】(1)三种型号的电脑今年销售量的增长率是A型号，B型号，C型号 (2)表示D型号键盘今年销售量比去年增长了；表示E型号键盘今年销售量比去年减少了；表示F型号键盘今年销售量与去年一样，没增也没减 【详解】（1）略 （2） 略 题型6. 有理数的分类 1．在下列五个数中：，0，，1.21212121……，1.8，正有理数个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】正有理数需同时满足为正数和有理数，以此为标准筛选各数． 【详解】解：是负数，不符合要求； 0不是正数，不符合要求； 是无理数，不符合要求； 是无限循环小数，属于正有理数； 是有限小数，属于正有理数； 综上，正有理数共2个，故答案为C． 2．在“，，，，”这5个数中，负分数有__________个． 【答案】3 【分析】根据有理数的分类、正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：在，，，，中，负分数有，，，共3个． 3．把下列各有理数填在相应的集合内 3，，0，，0.45，120，，，， (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵正有理数是大于0的有理数，包含正整数和正分数， ∴正有理数集合为； （2）解：∵负有理数是小于0的有理数，包含负整数和负分数， ∴负有理数集合为； （3）解：∵整数包含正整数、0、负整数， ∴整数集合为. 题型7. 带“非”字的有理数 1．在，0，，，，，中，非负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类（非负分数的概念），解题的关键是明确非负分数即正分数． 先从给定的数中筛选出非负的数，再从中识别出分数，注意不是分数，是无理数． 【详解】解：在中， 非负分数有，共个． 故选：D． 2．在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【详解】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 3．把下列各数填入相应的大括号里：0，，，5，，，，，． 正有理数集合：{            } 非正整数集合：{            } 负分数集合：{            } 【答案】，5，，；0，，；， 【详解】解：正有理数集合：{，5，，，…} 非正整数集合：{0，，，…} 负分数集合：{，，…} 题型8. 数轴的三要素及其画法 1．下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 【答案】B 【分析】考查数轴的三要素及其画法，掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：选项中，单位长度不统一，画法错误； 选项中，数轴三要素齐全，画法正确； 选项中，未标明正方向，画法错误； 选项中，没有原点，画法错误． 2．下面的说法中：①1.4不是整数；②有理数包括整数和分数；③正整数和负整数统称整数；④0是有理数；⑤规定了原点、正方向和单位长度的线段叫做数轴．正确的有_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是有理数的定义，有理数的分类以及数轴.由有理数的定义和分类以及数轴的定义判断，从而可得答案. 【详解】解：①1.4不是整数，说法正确； ②有理数包括整数和分数，说法正确； ③正整数、零和负整数统称整数，原说法错误； ④0是有理数，说法正确； ⑤规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，原说法错误． 故答案为：①②④． 3．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】 如图： 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】略 题型9. 用数轴上的点表示有理数 1．如图，数轴上点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴，点A落在与两个整数刻度中间位置，对应选出答案即可． 【详解】解：点A在与中间，故表示的数是． 2．直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】先计算圆的周长，再计算滚动距离，最后根据点和原点的位置和距离得出所表示的数． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆的周长为， 滚动两周的长度为， 圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，即点位于原点左侧， 因此点表示的数是． 3．先画出数轴，再在数轴上画出表示下列各数的点，最后按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排列： ． 【答案】 解：数轴上表示各数如图： 【详解】略 题型10. 利用数轴比较有理数的大小 1．点在数轴上的位置如图所示，则下列一定比点表示的数大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴上的数，右边的数总比左边的数大，从图中可知：点 在和之间，逐一判断即可． 【详解】从图中可知：点 在和之间，即， 选项A：，比小，不符合题意； 选项B：，比小，不符合题意； 选项C ：，比小，不符合题意； 选项D ：，比大，符合题意． 2．如果，，比较大小：b_________（用“”、“”或“”连接）． 【答案】 【详解】解：，则数轴上表示的点位于表示的点的左边， ，则数轴上表示的点位于表示的点的右边， 可知表示的点位于表示的点的左边，因此． 3．已知点在数轴上的位置如图所示，观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是_____，点表示的有理数是_____； (2)把有理数在数轴上表示出来，并用“”将这四个数连接起来． 【答案】(1)点； (2) 【分析】（1）根据题中所给图像作答即可； （2）先在数轴上表示各数再利用数轴比较大小即可． 【详解】（1）解：如图所示，表示有理数3.5的点是点，点表示的有理数是． （2）解：在数轴上表示略， ∴． 题型11. 数轴上点的平移（动点问题） 1．把笔尖放在数轴上表示的点上，先把笔尖向右移动3个单位，再把笔尖向左移动6个单位，此时笔尖落在数轴上的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查数轴上点移动的规律：左减右加，根据笔尖在数轴上移动，向右移动数值增加，向左移动数值减少， 从起点开始，逐步计算移动后的位置 【详解】∵ 起点为 ， 向右移动 个单位：， 再向左移动 个单位：， ∴ 笔尖落在 ， 故选：A 2．点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可． 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 3．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 题型12. 数轴上找原点 1．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 2．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 3．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ，，，， 【答案】(1)如图所示，；4 (2)如图，， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的大小比较. （1）根据题意可得点A与原点的距离为3，那么从点A的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3） 解：． 题型13. 数轴上整点覆盖问题 1．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，判断墨迹盖住的整数点的个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：由题知，墨迹一共有两处，左侧墨迹在与之间， 所以盖住的整数点为，，，，共4个整数点． 右侧墨迹在与3之间， 所以盖住的整数点为0，1，2，共3个整数点， 所以墨迹盖住的整数点的个数为7． 2．在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 3．若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的整数点覆盖问题，数形结合是解题的关键．根据题意，可知a与关于原点对称，那么除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个，从而推出a的取值范围． 【详解】解：数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，a与关于原点对称， ∴除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个， ∵不包含a与， ∴或， 故答案为：或． 题型14. 数轴上的规律探究 1．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与顶点的对应关系，归纳出循环规律. 【详解】解：由题意得，正六边形边长为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 由此可知，数轴上的数每个为一个循环周期， ∵， ∴数对应的点与数对应的点相同，即为点. 2．如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 【答案】14或15/15或14 【分析】本题考查数字的规律．根据题意，将n分为奇数和偶数进行规律探寻，求出对应的点，故而可得答案． 【详解】解：由题意可得， 第n次移动后的点表示的数可表示为： n为奇数时：，点在原点左侧； n为偶数时：，点在原点右侧； ∵点与原点的距离等于15， ∴当为奇数时，，解得，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：14或15． 3．已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 题型15. 相反数的定义 1．的相反数为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数为． 2．相反数：与互为相反数等价于____________________． 【答案】 【详解】解：若两个数互为相反数，则这两个数绝对值相等，符号相反， 则，移项得． 3．求下列各数的相反数． 4，6，0，，+37，，0.001． 【答案】4的相反数是；6的相反数是；0的相反数是0；的相反数是；的相反数是；的相反数是；0.001的相反数是 【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键. 本题直接利用相反数的定义得出答案. 【详解】解：4的相反数是； 6的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； 的相反数是； 的相反数是； 0.001的相反数是． 题型16. 化简多重符号 1．在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ 负分数有，，，共3个. 2．化简___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简，看负号的个数，奇负偶正，即可求解． 【详解】解：． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)5； (3)； (4)1.8． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型17. 相反数的应用 1．下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是0，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：与1互为相反数，故①说法不正确； 当时，则是非负数，故②说法不正确； 的相反数是0，故③说法不正确； ，与互为相反数，故④说法不正确； 任何一个有理数都有相反数，故⑤说法正确； ∴其中正确的有1个 故选：A 2．若a与互为相反数，则a 的值__________． 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 3．如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）“点与点所表示的数互为相反数”，则点B与C分别位于原点的两侧，都到原点是1个单位，由此得点所表示的数为． （2）方法同（1）可得点D表示的数为． （3）方法同（1）可得点所表示的数为，由点在点F左边1个单位，则点所表示的数是2，它的相反数为． 【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度， ∴可得点所表示的数为； 故答案为： （2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5， ∴点D表示的数为； （3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6， ∴点所表示的数为， ∵点在点F左边1个单位， ∴点所表示的数是2， ∴点所表示的数的相反数是． 【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，根据两点之间单位长度的数量来确定点所表示的数字． 题型18. 绝对值的几何意义 1．（正负数的大小比较）下面各数中，最接近的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断哪个数最接近，需比较每个数与的距离，也就是要计算数的绝对值． 【详解】解：，，，， ∵ ， ∴ 最接近的数是． 2．的最大值是_______． 【答案】5 【详解】解：当时， ； 当时， 当时，代数式的值最大， 当时， ； 所以当时，原代数式取得最大值为5． 3．某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【答案】当天巡护车辆耗油升． 【分析】车辆行驶的总路程决定了耗油量，而不仅仅是最终的位移．因此，需要将所有行驶记录的绝对值相加得到总行驶距离，再乘以单位油耗． 【详解】解：将每个行驶记录的绝对值相加： 总耗油量总路程单位油耗：． 题型19. 求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】解：． 2．如果m是负数，且，那么______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能值，再结合为负数的条件确定最终结果． 【详解】解：， ， 是负数， ． 3．化简计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型20. 绝对值非负性 1．若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 【答案】C 【分析】考虑的特殊情况，通过举反例判断各选项． 【详解】解：当时，，均不是正数，故、错误． ，即可能是0，故正确，D错误． 2．当_________时，有最小值_________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性可知，的最小值为，据此计算的值和式子的最小值． 【详解】∵任意实数的绝对值为非负数， ∴， ∴当时，取得最小值． 解方程，得， 此时， 即式子的最小值为． 3．回答下列问题： (1)绝对值是的数有几个？是什么？ (2)绝对值是的数有几个？是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 【答案】(1)有个，分别是和． (2)有个，是． (3)没有，因为任意数的绝对值都是非负数，不可能为负数． 【分析】（1）根据绝对值等于同一个正数的两个数互为相反数的规律求解； （2）根据的绝对值是且唯一的特点求解； （3）根据绝对值的非负性判断不存在绝对值为负数的数． 【详解】（1）解： ，， 绝对值是的数有个，为和． （2）解：，且所有非零数的绝对值都大于， 绝对值是的数有个，为． （3）解：对任意数，都有， 又， 没有绝对值是的数． 题型21. 绝对值的其他应用 1．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明越接近标准质量，先计算各选项偏差的绝对值，然后比较大小即可得到结果． 【详解】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，偏差的绝对值越小，越接近标准质量， 计算得 ，，，， ，即 ， 最接近标准质量的是． 2．绝对值大于3.1且小于6.9的整数是________ 【答案】，，，4，5，6 【分析】此题考查了绝对值的性质，正确理解绝对值并进行计算是解题的关键． 根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：绝对值大于3.1且小于6.9的整数有：，，，4，5，6． 故答案为：，，，4，5，6． 3．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 题型22. 有理数大小比较 1．下列式子中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正数大于负数的性质，结合绝对值化简快速判断． 【详解】解：A、，原式不成立，故本选项不符合题意； B、，原式不成立，故本选项不符合题意； C、，原式不成立，故本选项不符合题意； D、，原式成立，故本选项符合题意． 2．比较大小： __________；__________； 【答案】 【分析】两组均为负数比较大小，先化简各数，再比较绝对值，根据两个负数比较大小，绝对值大的数更小的规则判断． 【详解】解：比较和 ， ∵ ，， ∴ ， ∴． ② 比较和 ， 先化简得， ， ∵，，且 ， ∴ ， ∴． 3．求值： (1)如果，且a，b异号，求a，b的值． (2)若，且，求m，n的值． 【答案】(1)，或 (2)，或 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵a，b异号， ∴，或； （2）解：∵ ∴ ∵ ∴，或． 题型23. 有理数大小比较的实际应用 1．跨学科  有四种气体的液化温度（标准大气压下）如表所示，则液化温度最高的是（     ） 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度／℃ A．氧气 B．氢气 C．氮气 D．氦气 【答案】A 【分析】将问题转化为比较四个负有理数的大小，数值最大的对应气体即为所求． 【详解】解：四种气体的液化温度数值分别为，，，， ，，，． ∵ ， ∴ ， 故液化温度最高的是氧气． 2．某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是____． 1 2 3 4 5 6 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较各编号误差的绝对值，绝对值最小的最接近规定净含量． 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴净含量最接近规定的盒装牛奶编号是6， 故答案为：6． 3．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． ✺分层练习 一、单选题 1．下列说法： ①符号相反的数互为相反数； ②一定是一个负数； ③正整数、负整数统称为整数； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据相反数的定义、负数的定义、整数的定义、绝对值的意义逐个分析，即可求解． 【详解】解：①与符号相反，但不是互为相反数，故①说法错误； ②当时，，此时不是负数；当时，，此时是正数，故②说法错误； ③整数包括正整数、、负整数，故③说法错误； ④一个数的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因此绝对值越大，对应的点距离原点越远，故④说法正确； 综上，正确的说法有个． 2．下列说法中，错误的有（     ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④0是最小的有理数；⑤是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是负分数，正确； ②是分数，不是整数，正确； ③非负有理数包含0，故③错误； ④负有理数小于0，没有最小的有理数，故④错误； ⑤是最大的负整数，没有最小的负整数，故⑤错误． 3．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 4．已知，是不为的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合绝对值判断字母符号，再根据绝对值大小判断数轴上点到原点距离，逐项判断即可． 【详解】解：∵，且，，且， ∴， ∴表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧， ∵， ∴表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离大， 故C选项符合题意． 5．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案． 【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下， 开始时+ + + + + + 第一次- - - - + + 第二次- + + + - + 第三次- - - - - - ∴n的最小值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查正负数的应用，解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向，尝试用最少的次数使杯口全部朝下． 二、填空题 6．在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量． 【详解】解：∵甲队进3个球，记作个， ∴甲队失2个球，记作个， 故答案为：． 7．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【分析】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【详解】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 8．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，数字、字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 故答案为：． 9．若是实数，则的最小值为___． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 三、解答题 10．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 11．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【答案】(1)如图，原点即为所求． (2) 【分析】（1）已知点表示的数是，说明原点在点的右侧，与点的距离为个单位长度，同时点表示的数是，说明原点在点的左侧，与点的距离为个单位长度，在两个描述重合的刻度处标出原点即可． （2）先对各数进行化简，再将所有数在数轴上表示出来，按照数轴上自左向右从小到大的顺序用“”连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：先对各数进行化简，，，，再将所有数在数轴上对应位置标注，从小到大的顺序排序为． 12．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】(1) 如图，点O为原点； (2)4 (3)点B在数轴上对应的数为7 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $