2.1 认识有理数 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“认识有理数”核心知识点，系统梳理从正数负数的实际意义入手，到有理数的分类与定义，再通过数轴直观表示数，结合相反数、绝对值深化概念，最终掌握有理数大小比较的完整学习支架。 该资料以题型为单元，每个题型配套“解题知识”梳理与典例、变式题，如用气温、微信账单实例培养抽象能力（数学眼光），通过有理数分类辨析提升推理意识（数学思维），综合题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师结构化授课，课后助力学生自主练习查漏补缺。

第2章 2.1 认识有理数 内 容 导 航 题型1 正数和负数 题型2 有理数 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 非负数的性质：绝对值 题型7 有理数大小比较 考 点 演 练 题型1 正数和负数 解｜题｜知｜识 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 【答案】B 【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃． 故选：B． 【变式1】手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 【答案】C 【解答】解：+50+（﹣18）＝+32（元）， 即小陈当天微信收支的最终结果是收入32元， 故选：C． 【变式2】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【答案】D 【解答】解：∵支出1000元记作﹣1000元， ∴+1080元表示表示收入1080元， 故选：D． 【变式3】通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”，则下列身高不符合标准的是（　　） A．150cm B．158cm C．165cm D．170cm 【答案】D 【解答】解：∵通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”， ∴156+9＝165，156﹣9＝147， ∴12岁男孩正常身高标准范围是147cm～165cm， ∴身高170cm的不符合标准，D符合题意，其他选项符合题意， 故选：D． 题型2 有理数 解｜题｜知｜识 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 【典例1】在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：在所给出的数中，有理数有在3.14，，0，0.2020020002，共4个， 故选：D． 【变式1】在﹣1，+3.5，0，，π，15中，整数共有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：﹣1是整数，+3.5是分数，0是整数，是分数，π不是有理数，15是整数， 综上所述，整数有﹣1，0，15，共3个． 故选：B． 【变式2】在﹣3，5，π，0，，﹣0.2中，正有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：在﹣3，5，π，0，，﹣0.2中，正有理数有5，，共2个． 故选：A． 【变式3】下列说法正确的是（　　） ①在+3和+4之间没有正数； ②在0与﹣1之间没有负数； ③在+1和+2之间有很多个正分数； ④在0.1和0.2之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【解答】解：∵在+3和+4之间有正数，例如+3.5，+3.6，3.7…， ∴①不正确，不符合题意， ∵在0与﹣1之间有负数，例如﹣0.5， ∴②不正确，不符合题意， ∵在+1和+2之间有很多个正分数， ∴③正确，符合题意， ∵在0.1和0.2之间有正分数，例如0.15， ∴④不正确，不符合题意． 故选：A． 题型3 数轴 解｜题｜知｜识 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【典例1】数轴上表示﹣1的点到原点的距离是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【答案】B 【解答】解：|0﹣（﹣1）|＝|0+1|＝1， 故选：B． 【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【答案】C 【解答】解：在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是﹣1.5， 故选：C． 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．ab＞0 C．﹣b＞a D．﹣a＜b 【答案】C 【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b，|a|＞b， ∴|a|＞|b|，ab＜0，﹣b＞a，﹣a＞b， ∴只有C选项正确，符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①B对应的数是﹣6； ②点P到达点B时，t＝9； ③BP＝2时，t＝8； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且AB＝18， ∴B对应的数为12﹣18＝﹣6，故①正确； ∵18÷2＝9， ∴点P到达点B时，t＝9，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵BP＝2， ∴AP＝16， ∴t＝16÷2＝8； 当点P在点B左边时， ∵BP＝2， ∴AP＝18+2＝20， ∴t＝20÷2＝10， ∴BP＝2时，t＝8或10，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 题型4 相反数 解｜题｜知｜识 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 【典例1】﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【答案】C 【解答】解：﹣6的相反数是6， 故选：C． 【变式1】如果a与﹣2025互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2025 B． C． D．2025 【答案】D 【解答】解：根据相反数的定义得a＝2025， 故选：D． 【变式2】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+2）与+（﹣2） B．与0.5 C．与 D．+（﹣0.1）与+10 【答案】C 【解答】解：A．∵﹣（+2）＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，两个数相等， ∴A选项不符合题意； B．∵，﹣0.2与0.5不是互为相反数， ∴B选项不符合题意； C．∵，，与是互为相反数， ∴C选项符合题意； D．+（﹣0.1）＝﹣0.1，﹣0.1与+10不是互为相反数， ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】小宇同学在数轴上表示﹣3时，由于粗心，将﹣3画在了它相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（　　） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 【答案】B 【解答】解：∵﹣3的相反数是3，﹣3与3到原点的距离相等， ∴要想把数轴画正确，原点应向右移6个单位． 故选：B． 题型5 绝对值 解｜题｜知｜识 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 【答案】C 【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|， ∴﹣0.6最接近标准， 故选：C． 【变式1】下列说法不正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【答案】D 【解答】解：A、一个数的绝对值一定不小于它本身，正确，故本选项错误； B、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确，故本选项错误； C、任何数的绝对值都不是负数，正确，故本选项错误； D、任何有理数的绝对值都是正数，错误，0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数， 又∵|a|＞|b|＞0， ∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（　　）①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴， ∴①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④．四个说法求正确． 故选：A． 题型6 非负数的性质：绝对值 解｜题｜知｜识 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【典例1】如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1 【答案】B． 【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3． 故选：B． 【变式1】对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 【答案】D 【解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误； C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； D、﹣|a|不是正数，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则xy＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵|3x﹣1|和|y+1|互为相反数， ∴|3x﹣1|+|y+1|＝0， ∴3x﹣1＝0，y+1＝0， ∴x，y＝﹣1， ∴xy． 故答案为：． 【变式3】式子|﹣a+2023|﹣1的最小值是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：∵|﹣a+2023|≥0， ∴|﹣a+2023|﹣1≥﹣1， ∴|﹣a+2023|﹣1的最小值是﹣1． 故答案为：﹣1． 题型7 有理数大小比较 解｜题｜知｜识 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 【典例1】数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【答案】C 【解答】解：在数轴上表示a，﹣a，b，﹣b，如图： ， 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣b＜a＜﹣a＜b， 故选：C． 【变式1】在﹣1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 【答案】A 【解答】解：∵， ∴在﹣1，0，1，这四个数中，最小的数是﹣1， 故选：A． 【变式2】比较大小： 　＜　 （用“＞或＝或＜”填空）． 【答案】＜ 【解答】解：∵， ∴； 故答案为：＜． 【变式3】大于﹣1.5且小于3.5整数共有 　5　 个． 【答案】5． 【解答】解：大于﹣1.5而小于3.5的整数﹣1，0，1，2，3，共5个， 故答案为：5． 过 关 验 收 1．下面两个量中，不具有相反意义的是（　　） A．进三个球和输三场比赛 B．浪费1t水和节约1t水 C．盈利400元和亏损400元 D．上升50m和下降50m 【答案】A 【解答】解：A．进三个球和输三场比赛不具有相反意义的量，故本选项符合题意； B．浪费1t水和节约1t水具有相反意义的量，故本选项不符合题意； C．盈利400元和亏损400元具有相反意义的量，故本选项不符合题意； D．上升50m和下降50m具有相反意义的量，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．在1、﹣2、﹣5.6、、、π中负数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A． 【解答】解：1＞0，是正数； ﹣2＜0，是负数； ﹣5.6＜0，是负数； 0，是正数； 0，是负数； π＞0，是正数； ∴负数有﹣2，﹣5.6，，共3个． 故选：A． 3．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为﹣248，则算筹“”表示的数为（　　） A．6037 B．﹣6037 C．637 D．﹣637 【答案】B 【解答】解：由条件可知这个数是负数， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为﹣6037． 故选：B． 4．在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 　﹣0.04　 m． 【答案】﹣0.04 【解答】解：“正”和“负”相对，所以小明跳出了2.12m，比标准多0.12m，记为+12m，小敏跳出了1.96m，比标准少0.04m，应记作﹣0.04m． 故答案为：﹣0.04． 5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　22　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）送餐最多的一天比送餐最少的一天多送14﹣（﹣8）＝22（单）． 故答案为：22； （2）由题意，得： 50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7 ＝50+3 ＝53（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）由题意，得： （50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+7+10×2）×4+（4+2）×6+60×7 ＝668+124+36+420 ＝1248（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1248元． 6．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解答】解：在（每两个3之间依次增加一个2）中， 有理数为：，共有6个． 故选：B． 7．下面各数，一个“零”也不读的数是（　　） A．500600 B．630681 C．40002400 D．7030 【答案】C 【解答】解：500600读作：五十万零六百； 630681读作：六十三万零六百八十一； 40002400读作：四千万两千四百； 7030读作：七千零三十． 所以一个“零”也不读的数是7030． 故选：C． 8．下列说法错误的是（　　） A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数 C．有最小的正整数 D．有最大的负有理数 【答案】D 【解答】解：A．没有最大的有理数，说法正确，故本选项不符合题意； B．没有最小的有理数，说法正确，故本选项不符合题意； C．最小的正整数为1，说法正确，故本选项不符合题意； D．没有最大的负有理数，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 9．最大的负整数与最小的正整数的和是　0　 ． 【答案】0 【解答】解：由题可知： ∵最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1； ∴两者的和就是1﹣1＝0 ∴最大的负整数与最小的正整数的和是0 10．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 【答案】C 【解答】解：10+6＝16，10﹣6＝4， 当A落在16对应的点时，C表示的数为：（16﹣14）＝1， 当A落在4对应的点时，C表示的数为：（4﹣14）＝﹣5， 故选：C． 11．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＞0；正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数， ∴a＜c＜b，故结论①正确； ②∵a＜﹣2，0＜b＜1， ∴﹣a＞2， ∴﹣a＞b，故结论②错误； ③∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，故结论③错误； ④∵a＜c， ∴c﹣a＞0，故结论④正确， ∴正确的个数是2个． 故选：B． 12．在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3 【答案】B 【解答】解：在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离为： |5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝|7|＝7， 故选：B． 13．如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解答】解：∵3cm和5cm刻度分别与数轴上表示2和4的两点对齐， ∴数轴的单位长度是1cm， ∴原点对应1cm的刻度， ∴数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数是﹣1， 故选：C． 14．点M在数轴上距离原点5个单位长度，若将点M向右移动2个单位长度至N点，则N表示的数是 　7或﹣3　 ． 【答案】7或﹣3 【解答】解：∵点M在数轴上距离原点5个单位长度， ∴点M表示的数是5或﹣5， ∵将点M向右移动2个单位长度至N点， ∴点N表示的数是5+2＝7或﹣5+2＝﹣3， 故答案为：7或﹣3． 15．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣（+0.5）与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与 【答案】D 【解答】解：∵﹣（+7）＝﹣7，+（﹣7）＝﹣7， ∴﹣（+7）＝+（﹣7），故A不符合题意； ∵+（﹣0.5）＝﹣0.5，故B不符合题意； ∵，与互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴+（﹣0.01）与互为相反数，故D正确，符合题意； 故选：D． 16．化简﹣（+8）＝　﹣8　 ． 【答案】﹣8 【解答】解：﹣（+8）＝﹣8． 故答案为：﹣8． 17．已知﹣[﹣（﹣y）]＝4，求﹣y的相反数　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：因为﹣[﹣（﹣y）]＝4， 所以﹣y＝4， 所以﹣y的相反数是﹣4， 故答案为：﹣4． 18．若x+1的相反数是﹣7，则x＝　6　 ． 【答案】6 【解答】解：∵7的相反数是﹣7， ∴x+1＝7， ∴x＝6． 故答案为：6． 19．若a、b互为相反数，则2025+a+1+b＝　2026　 ． 【答案】2026． 【解答】解：由题意得，a+b＝0， ∴原式＝a+b+2025+1 ＝0+2025+1 ＝2026． 故答案为：2026． 20．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． （1）判断a，b，c的正负性； （2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 【答案】（1）a＜0，b＞0，c＜0； （2）点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4，点C表示的数是﹣2． 【解答】解：（1）∵a，b互为相反数， ∴a＜b，即a＜0，b＞0， 又∵表示数c的点在表示数a，b中点（即原点）的左边， ∴c＜0， 即a＜0，b＞0，c＜0； （2）∵a，b互为相反数， ∴在数轴上，表示a，b的两点到原点的距离相等， 又∵A与B相距8个单位长度， ∴A到原点的距离为8÷2＝4， ∴a＝﹣4，b＝4， ∵A，C相距2个单位长度， ∴c＝﹣4+2＝﹣2， 即点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4，点C表示的数是﹣2． 21．设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　） A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2 【答案】A 【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0， ∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0． 当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0， ∴1+1+1﹣1＝0． 当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0， ∴1﹣1+1+1＝0． 综上：0． 故选：A． 22．|﹣2025|的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【答案】B． 【解答】解：|﹣2025|＝2025， 2025的相反数是﹣2025． 故选：B． 23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 【答案】D 【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＜0，a﹣c＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|＝c﹣a， ∴原式＝b﹣a﹣（c﹣a）+（﹣b） ＝b﹣a﹣c+a﹣b ＝﹣c， 故选：D． 24．已知|a|＝4，|b|＝3，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．7或﹣7 C．﹣7或1 D．7或1 【答案】D 【解答】解：由条件可知a＝±4，b＝±3， ∵b＜a， 又∵当a＝﹣4时，无论b取3或﹣3，都无法满足b＜a， ∴a＝4， 当a＝4，b＝﹣3时，a+b＝1； 当a＝4，b＝3时，a+b＝7； 综上所述，a+b的值为7或1． 故选：D． 25．数轴上的点A到表示﹣3的点B的距离是10，那么点A表示的数是（　　） A．7 B．﹣13 C．7或﹣13 D．13或﹣7 【答案】C 【解答】解：根据绝对值的几何意义可知，|A﹣（﹣3）|＝10，即|A+3|＝10． ∴A+3＝10或A+3＝﹣10． 解得：A＝7或A＝﹣13． 故选：C． 26．绝对值小于3.7的所有非负整数的个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，绝对值小于3.7的所有非负整数有：0、1、2、3． 故选：B． 27．若一个数的绝对值等于3，那么这个数是 　±3　 ． 【答案】±3 【解答】解：若一个数的绝对值等于3，那么这个数是±3． 故答案为：±3． 28．已知a＜0，且|a|＞1，请写出一个符合条件的a的值：　﹣2（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣2（答案不唯一）． 【解答】解：根据题意可知，a＜﹣1， 写出一个符合条件的a的值为﹣2， 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 29．已知a，b满足|a﹣3|+|b+4|＝0，则式子（a+b）2025的值是　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵|a﹣3|+|b+4|＝0， ∴a﹣3＝0，b+4＝0， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 30．若a是任意的有理数，则式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：当a＞2025时，式子2025﹣|a﹣2025|＝2025﹣（a﹣2025）＝4050﹣a， ∵a＞2025， ∴4050﹣a＜2025； 当a＝2025时，式子2025﹣|a﹣2025|＝2025﹣0＝2025； 当a＜2025时，式子2025﹣|a﹣2025|＝2025﹣（2025﹣a）＝a＜2025； 综上，式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是2025． 故答案为：2025． 31．已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）已知|x+y+z|＝5，求z的值． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣3； （2）6或﹣4． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+3|≥0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3； （2）∵|x+y+z|＝5， ∴x+y+z＝±5， 由（1）知x＝2，y＝﹣3， ∴z＝5﹣2﹣（﹣3）＝5﹣2+3＝6或z＝﹣5﹣2﹣（﹣3）＝﹣5﹣2+3＝﹣4， 即z的值为6或﹣4． 32．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）a＝　2　 ，b＝　﹣3　 ． （2）在数轴上标出表示，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，得a＝2； ∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴b＝﹣3； 故答案为：2，﹣3； （2）﹣|﹣1|＝﹣1，﹣b＝﹣（﹣3）＝3， 在数轴上表示各数，如图： 用“＜”连接各数为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.1 认识有理数 内 容 导 航 题型1 正数和负数 题型2 有理数 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 非负数的性质：绝对值 题型7 有理数大小比较 考 点 演 练 题型1 正数和负数 解｜题｜知｜识 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 【变式1】手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 【变式2】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　） A．支出80元 B．收入80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【变式3】通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”，则下列身高不符合标准的是（　　） A．150cm B．158cm C．165cm D．170cm 题型2 有理数 解｜题｜知｜识 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 【典例1】在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在﹣1，+3.5，0，，π，15中，整数共有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】在﹣3，5，π，0，，﹣0.2中，正有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】下列说法正确的是（　　） ①在+3和+4之间没有正数； ②在0与﹣1之间没有负数； ③在+1和+2之间有很多个正分数； ④在0.1和0.2之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 题型3 数轴 解｜题｜知｜识 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【典例1】数轴上表示﹣1的点到原点的距离是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．ab＞0 C．﹣b＞a D．﹣a＜b 【变式3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①B对应的数是﹣6； ②点P到达点B时，t＝9； ③BP＝2时，t＝8； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型4 相反数 解｜题｜知｜识 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 【典例1】﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【变式1】如果a与﹣2025互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2025 B． C． D．2025 【变式2】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+2）与+（﹣2） B．与0.5 C．与 D．+（﹣0.1）与+10 【变式3】小宇同学在数轴上表示﹣3时，由于粗心，将﹣3画在了它相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（　　） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 题型5 绝对值 解｜题｜知｜识 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 【变式1】下列说法不正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（　　）①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④． A．4 B．3 C．2 D．1 题型6 非负数的性质：绝对值 解｜题｜知｜识 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【典例1】如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1 【变式1】对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 【变式2】若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则xy＝ 　 　 ． 【变式3】式子|﹣a+2023|﹣1的最小值是 　 　 ． 题型7 有理数大小比较 解｜题｜知｜识 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 【典例1】数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【变式1】在﹣1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 【变式2】比较大小： 　 　 （用“＞或＝或＜”填空）． 【变式3】大于﹣1.5且小于3.5整数共有 　 　 个． 过 关 验 收 1．下面两个量中，不具有相反意义的是（　　） A．进三个球和输三场比赛 B．浪费1t水和节约1t水 C．盈利400元和亏损400元 D．上升50m和下降50m 2．在1、﹣2、﹣5.6、、、π中负数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为﹣248，则算筹“”表示的数为（　　） A．6037 B．﹣6037 C．637 D．﹣637 4．在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 　 　 m． 5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　 　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 6．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．下面各数，一个“零”也不读的数是（　　） A．500600 B．630681 C．40002400 D．7030 8．下列说法错误的是（　　） A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数 C．有最小的正整数 D．有最大的负有理数 9．最大的负整数与最小的正整数的和是　 　 ． 10．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 11．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＞0；正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3 13．如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1 14．点M在数轴上距离原点5个单位长度，若将点M向右移动2个单位长度至N点，则N表示的数是 　 　 ． 15．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣（+0.5）与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与 16．化简﹣（+8）＝　 　 ． 17．已知﹣[﹣（﹣y）]＝4，求﹣y的相反数　 　 ． 18．若x+1的相反数是﹣7，则x＝　 　 ． 19．若a、b互为相反数，则2025+a+1+b＝　 　 ． 20．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． （1）判断a，b，c的正负性； （2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 21．设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　） A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2 22．|﹣2025|的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 24．已知|a|＝4，|b|＝3，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．7或﹣7 C．﹣7或1 D．7或1 25．数轴上的点A到表示﹣3的点B的距离是10，那么点A表示的数是（　　） A．7 B．﹣13 C．7或﹣13 D．13或﹣7 26．绝对值小于3.7的所有非负整数的个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 27．若一个数的绝对值等于3，那么这个数是 　 　 ． 28．已知a＜0，且|a|＞1，请写出一个符合条件的a的值：　 　 ． 29．已知a，b满足|a﹣3|+|b+4|＝0，则式子（a+b）2025的值是　 　 ． 30．若a是任意的有理数，则式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是　 　 ． 31．已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）已知|x+y+z|＝5，求z的值． 32．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）在数轴上标出表示，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来． 学科网（北京）股份有限公司 $