4.2 认识一次函数 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.2认识一次函数 知识归纳与题型总结 考点01 认识一次函数 1．定义：如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，那么称是的一次函数。特别地，当b=0时，称是的正比例函数． 2．的作用：的值确定函数的变化趋势． 3．的作用：决定函数自变量为0时，函数的值． 考向01 正比例函数的定义 【例1】下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 考向02 识别一次函数 【例2】下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、是常数，且）的整式函数叫做一次函数，逐一判断选项． 【详解】解：选项A：中自变量的次数为2，是二次函数，不符合题意； 选项B：是反比例函数，不是整式函数，不符合题意； 选项C：符合一次函数的形式（，），是一次函数，符合题意； 选项D：不是自变量的一次整式，不属于一次函数，不符合题意． 考向03 根据一次函数的定义求参数 【例3】已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 考向04 求一次函数自变量或函数值 【例4】在函数中，当时，y的值为__________． 【答案】5 【分析】将代入函数解析式计算即可得到的值. 【详解】解：把代入函数，得 . 考向05 列一次函数解析式并求值 【例5】阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费． 【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元， ∴总金额与购买台数之间的关系式为． 【对点1】已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的，的值求解比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设该正比例函数表达式为 （）， 将 ， 代入得 ， 解得 ， 因此这个函数的表达式为． 【对点2】下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：A、中自变量的次数为，不是一次函数； B、是一次函数； C、是多项式，不是一次函数； D、的自变量在分母上，不是一次函数． 【对点3】函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，一次函数要求自变量的一次项系数不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：函数是关于的一次函数 一次项系数满足 解得， 因此的取值范围是． 【对点4】下列点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点横坐标代入直线解析式，计算对应值并与点的纵坐标比对，即可判断点是否在直线上． 【详解】解：∵当时，， ∴点不在直线上，故A不符合题意； ∵当时，， ∴点不在直线上，故B不符合题意； ∵当时，， ∴点在直线上，故C符合题意； ∵当时，， ∴点不在直线上，故D不符合题意． 【对点5】水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为 ， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 一、选择题 1．我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“特殊点”的定义得到坐标满足的等量关系，结合点在一次函数图象上求解即可得到结果． 【详解】解：设所求“特殊点”坐标为， ∵“特殊点”满足到轴距离是到轴距离的倍， ∴， ∵该点在的图象上， ∴． ①当时，解得，代入得，得到点坐标为； ②当时，化简得，方程无解； ∴一次函数图象上的“特殊点”坐标为． 2．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 3．下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【答案】A 【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意； 选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意． 4．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 5．水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，如图②是一种原始漏刻的示意图，水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高．则下图表示浮子升高的高度与经历时间之间关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高解答即可． 【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高， ∴浮子的高度与对应注水时间成正比，高度随时间的增大而增大， ∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是正比例函数， 观察各选项，只有选项C符合． 6．，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 7．在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论错误的是（     ）． A．弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】C 【分析】A．根据一次函数图象的特征判断即可； B．当时，的值即为没有悬挂物体时，弹簧的长度； C．根据“悬挂物体的质量为时弹簧的伸长量此时弹簧的总长度没有悬挂物体时弹簧的长度”计算即可； D．根据图像即可求解． 【详解】解：A：图象是一条倾斜直线，符合一次函数图象特征，弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，A正确，故不符合题意； B：由图象可知没有悬挂物体时，弹簧的长度为，B正确，故不符合题意； C：由图象可知没有悬挂物体时，弹簧的长度为，当悬挂物体质量为时，弹簧总长为，即弹簧伸长量总长原长，C错误，故符合题意； D：由图象可知当悬挂物体质量为时，弹簧总长为，D正确，故不符合题意． 8．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到与的函数关系式后，代入的值计算即可． 【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 9．已知整式，其中为自然数，，，，，，…，均为正整数．下列说法：①若，，，则；②若，，且，则；③若，且，则一次函数的图像过．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用多项式展开、赋值法，结合k，b均为正整数的条件，逐个判断三个说法的正误即可. 【详解】解：当时， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，， 令得， ∵为正整数， ∴， 最高次项系数， ∵为正整数， ∴， ∴，故②正确； ∵，， 令得， ∵都是正整数， ∴， 对于一次函数，当时，， ∴ 一次函数图像过 故③正确； 综上，三个说法都正确，正确个数为. 10．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据全等，为中点，可得，，，，可求得直线的解析式为，直线的解析式为，从而解得，所以． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： ， ，，， 为中点， ， ，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入解析式得, ∴直线解析式为， 解方程组得， ， ， ． 二、填空题 11．一次函数的图象经过，则的值是___________． 【答案】 【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解的值． 【详解】解：将代入，得：，解得：． 12．已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】计算出当在直线上时a的值，再计算出当在直线上时a的值，即可得答案． 【详解】解：当点在直线上时，， 当在直线上时，， ∴当点在直线与直线之间时，的取值范围是． 14．定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 【答案】或 【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值. 【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ， 点在这个“衍生函数”的图象上， 分两种情况讨论： 当时，将点坐标代入得 ， 解得，满足，符合题意. 当时，将点坐标代入得 解得，满足，符合题意. 综上：的值为或. 15．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”，如：，等都是“2倍点”．当时，若一次函数的图象上总存在“2倍点”，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用题目中“2倍点”的定义、一次函数的图象上总存在“2倍点”，及，可以确定的取值范围． 【详解】解：由题意可知，一次函数的图象上总存在“2倍点”， 设这个一次函数上的存在点， 代入一次函数中， ， 整理得，， ∵， ∴， ∴，即 三、解答题 16．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124 (2) (3) 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 17．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数及一次函数． （1）根据题意用待定系数法设，代入即可； （2）将点代入即可得出的值； （3）将的临界值4与分别代入，即可得到的临界值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，， ，解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为， 把点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知，当时，， 当时，， 解得， 当的取值范围为时，的取值范围为． 18．若函数是y关于x的正比例函数，求． 【答案】1 【分析】先根据正比例函数的定义求解出m与n的值，再计算即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ，解得， ． 19．数学来源于生活，也将服务于生活．探究并完成填空． 主题：探究数学与音乐的奥秘 活动一：了解音符、乐谱：音乐里的音符、乐谱标记蕴含着丰富的数学运算．乐理中规定：基本音符分为全音符、二分音符、四分音符、八分音符等，不同音符代表的时值（演奏时长）存在固定运算关系． 设定规则如下：1个全音符的时值4个四分音符的时值，1个二分音符的时值个四分音符的时值，…，设一个四分音符的时值为． (1)用含的代数式表示：1个全音符的时值可以表示为 ，1个八分音符的时值可以表示为 ； (2)设单个二分音符的时值为，则与的关系式是 ，它是 函数（选填“正比例”或“一次”）； 活动二：音乐乐谱的组成：一段美妙的音乐是由不同的全音符、二分音符、四分音符等组成． (3)现有一段乐谱，仅包含个全音符和个二分音符，用含，，的代数式表示这段乐谱的总时值为 ，当，，时，乐谱的总时值为 ； (4)某段乐谱由全音符、二分音符、四分音符组成，共12个音符，总时值为，其中四分音符有4个，则全音符有 个． 【答案】(1) (2)，正比例 (3)， (4) 【分析】（1）由题中规则直接求解即可； （2）由题中规则直接得到与的关系式，由正比例函数定义判断即可； （3）由题中规则直接表示出个全音符和个二分音符时值求和得出代数式，再将，，代入计算即可； （4）设全音符有个，则二分音符有个，由题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设一个四分音符的时值为， 1个全音符的时值4个四分音符的时值， 1个全音符的时值可以表示为； 1个四分音符的时值2个八分音符的时值， 1个八分音符的时值可以表示为； （2）解：设一个四分音符的时值为，单个二分音符的时值为， 1个二分音符的时值个四分音符的时值， 与的关系式是，这是一个正比例函数； （3）解：设一个四分音符的时值为， 当乐谱仅包含个全音符和个二分音符时，则这段乐谱的总时值为， 当，，时，乐谱的总时值为； （4）解：设全音符有个，则二分音符有个， ， 则，解得， 全音符有个． 20．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；在 (2) (3)，， 【分析】（1）由，可得，，过点作轴于， 证明，再利用全等三角形的性质可得到点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，则，得到，则，即可得到求点的坐标； （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 如图1，过点作轴于点， 则， 等腰直角三角形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点, 在函数中，当时， 点C在函数的图象上， 故答案为：；在； （2）解：，，， ，，， 如图2，过点作轴于点， 同（1）理可证：， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，，， 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点，过点作于点， 同理可证， ，， ，， ，， 点， 综上所述：，，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.2认识一次函数 知识归纳与题型总结 考点01 认识一次函数 1．定义：如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，那么称是的一次函数。特别地，当b=0时，称是的正比例函数． 2．的作用：的值确定函数的变化趋势． 3．的作用：决定函数自变量为0时，函数的值． 考向01 正比例函数的定义 【例1】下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向02 识别一次函数 【例2】下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 考向03 根据一次函数的定义求参数 【例3】已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 考向04 求一次函数自变量或函数值 【例4】在函数中，当时，y的值为__________． 考向05 列一次函数解析式并求值 【例5】阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【对点1】已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【对点2】下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【对点3】函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【对点4】下列点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【对点5】水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 一、选择题 1．我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 3．下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 4．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 5．水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，如图②是一种原始漏刻的示意图，水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高．则下图表示浮子升高的高度与经历时间之间关系的是（     ） A． B． C． D． 6．，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 7．在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论错误的是（     ）． A．弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂物体质量为时，弹簧长度为 8．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 9．已知整式，其中为自然数，，，，，，…，均为正整数．下列说法：①若，，，则；②若，，且，则；③若，且，则一次函数的图像过．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一次函数的图象经过，则的值是___________． 12．已知：是关于的一次函数，则________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是________． 14．定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 15．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”，如：，等都是“2倍点”．当时，若一次函数的图象上总存在“2倍点”，则的取值范围是_______． 三、解答题 16．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 17．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 18．若函数是y关于x的正比例函数，求． 19．数学来源于生活，也将服务于生活．探究并完成填空． 主题：探究数学与音乐的奥秘 活动一：了解音符、乐谱：音乐里的音符、乐谱标记蕴含着丰富的数学运算．乐理中规定：基本音符分为全音符、二分音符、四分音符、八分音符等，不同音符代表的时值（演奏时长）存在固定运算关系． 设定规则如下：1个全音符的时值4个四分音符的时值，1个二分音符的时值个四分音符的时值，…，设一个四分音符的时值为． (1)用含的代数式表示：1个全音符的时值可以表示为 ，1个八分音符的时值可以表示为 ； (2)设单个二分音符的时值为，则与的关系式是 ，它是 函数（选填“正比例”或“一次”）； 活动二：音乐乐谱的组成：一段美妙的音乐是由不同的全音符、二分音符、四分音符等组成． (3)现有一段乐谱，仅包含个全音符和个二分音符，用含，，的代数式表示这段乐谱的总时值为 ，当，，时，乐谱的总时值为 ； (4)某段乐谱由全音符、二分音符、四分音符组成，共12个音符，总时值为，其中四分音符有4个，则全音符有 个． 20．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $