4.1 函数（讲义）数学新教材北师大版八年级上册.

第四章 一次函数 4.1 函数 课标要点 1.理解函数的概念，明确自变量、因变量、函数值的含义，掌握“唯一确定对应”的函数本质。 2.掌握函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法，能读懂三种形式的函数信息。 3.能根据实际问题判断两个变量是否构成函数关系，能求出简单函数的函数值。 4.能结合实际情境，分析、确定自变量的取值范围，具备初步的数学建模能力。 5.结合具体实例，认识现实生活中的变量与常量，感受世间万物的变化规律，建立变化的数学观念。 学习重难点 重点： 1.能够准确区分实际问题中的常量与变量。 2.掌握函数的定义，理解自变量与因变量的对应关系。 3.熟记函数三种表示方法，并能识别、读取每种方式中的数学信息。 4.能根据函数关系式、表格准确求出对应函数值。 难点： 1.深刻理解函数核心本质：自变量每一个确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应。 2.区分“多对一、一对一（函数）”与“一对多（非函数）”，突破学生判断易错点。 3.从复杂生活情境中抽象出变量关系与函数模型，完成从具象思维到抽象思维的转化。 4.根据实际生活意义正确限定自变量的取值范围，避免只算数学范围、忽略实际意义。 知识点 常量与变量 定义：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量；数值可以发生变化的量叫做变量。变量分为自变量和因变量，自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而变化的量。 特别提醒 。 易错提醒 容易误认为常量一定是常见的数字。例如圆的面积，是常量，不是变量；不要把字母一概当成变量。 教材延伸 在实际问题中，有时变量的变化不是连续的，比如购买物品的数量，只能取正整数。 随学随练 1．在火箭升空过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，上述过程中，自变量是（    ） A．火箭质量 B．燃料的体积 C．火箭 D．火箭飞行高度 【答案】D 【详解】解：变化过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，可知火箭飞行高度为自变量． 2．把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 【答案】C 【详解】解：苹果总数为，是固定常量，故D错误． 苹果随意放入两个篮子，的数值可以变化， 的数值也随之变化，即，是变量， 、错误，正确． 3．如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，变量是（     ） A．单价 B．质量 C．金额 D．质量和金额 【答案】D 【分析】在一个变化过程中，数值不发生变化的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量． 【详解】解：在购买过程中，单价由商家确定，是固定不变的，是常量， 质量是可以变化的，故是变量， 金额单价质量，金额会随着质量的变化而变化，是变量， ∴在这三个量中，变量是质量和金额． 4．某顺风车司机每月的支出为6000元，每月的利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，自变量是________，因变量是________． 【答案】 乘车人数 每月的利润 【分析】根据自变量和因变量的定义，判断变化过程中两个量的变化关系即可． 【详解】解：∵在这个变化过程中，每月的利润随着乘车人数的变化而变化， ∴乘车人数是主动发生变化的量，每月利润是随着乘车人数变化而变化的量， 因此可得，自变量是乘车人数，因变量是每月的利润． 5．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化的情况如表格所示：    碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 碗的高度（） 4 … 上述两个变量之间的关系中，自变量是_______________ ，因变量是_______________ 【答案】 碗的数量 碗的高度 【分析】在变化过程中，主动变化的量是自变量，随另一个量变化而被动改变的量是因变量． 【详解】解：碗的数量自主增减，碗的高度随着碗的数量而发生变化， 碗的数量是自变量，碗的高度是因变量． 知识点 函数的概念 基本概念：在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对 应，那么就称是的函数，其中叫做自变量。 特别提醒 易错提醒 “一对多”不属于函数。例如，一个会对应两个，因此不是的函数。 教材延伸 随学随练 1．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项B，中，任意给定一个合法的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义； 选项C，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项D，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义． 2．下列式子中y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据函数定义判断即可，函数要求对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，据此找出不符合要求的选项． 【详解】解：∵函数的定义为：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，y才是x的函数， 对选项C：，取代入得，此时或， ∴有两个y值和同一个x对应，不满足函数定义，因此y不是x的函数， 其余选项中，对于任意确定的x，都只有唯一的y值对应，均符合函数定义， 故选C． 3．下列曲线中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：选项，对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 选项，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； 选项，对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 选项，对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 4．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：能表示是的函数的是选项B、C、D中的图象，不能表示是的函数的是选项A中的图象． 5．下列各曲线中不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解函数的定义，即“对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应．对于一个图象，任意作一条垂直于x轴的直线，如果直线与图象只有1个交点，则y是x的函数；如果直线与图象有2个或2个以上的交点，则不符合函数定义，据此判断即可． 【详解】解：选项A：任意垂直于x轴的直线只和曲线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意； 选项B：任意垂直于x轴的直线只和直线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意； 选项C：观察可知，在y轴右侧作一条垂直于x轴的直线，会与曲线产生两个交点，即一个x的值对应两个y的值，不能表示y是x的函数，该选项符合题意； 选项D：任意垂直于x轴的直线只和波浪曲线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意． 6．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义，利用垂线法判断图象与垂直于 轴的直线的交点个数. 【详解】解：根据函数的定义，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应， 选项 A、B、D 的图象中，任意作垂直于 轴的直线，与图象均只有一个交点， ∴ 选项 A、B、D 中 是 的函数， ∵ 选项 C 的图象中，存在垂直于 轴的直线与图象有两个交点， ∴ 选项 C 中 不是 的函数. 7．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个分析即可． 【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②． 8．小华和爸爸在公园里荡秋千，在爸爸的助推下，秋千离地面的高度h（单位：m）与摆动时间t（单位：s）之间的关系如图所示，根据图象，判断秋千离地面的高度h______（填“是”或“不是”）摆动时间t的函数． 【答案】是 【分析】根据函数的定义进行判断即可； 【详解】解：因为对于每一个摆动时间，都有一个唯一的的值与其对应，所以高度是关于的函数． 知识点 函数值 定义：当自变量取一个确定的值时，对应的因变量的值，叫做当自变量取该值时的函数值。 特别提醒 函数值是一个数值，不是变量；给定自变量的值，代入关系式就能求出对应的函数值。 易错提醒 区分“求函数值”和“求自变量”。已知求是代入计算；已知求，是解方程，二者不要混淆。 教材延伸 函数值可以通过三种方式获取：关系式代入计算、读取表格数据、从函数图象上读取对应点纵坐标。 随学随练 1．下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从表格上面一行找到所给的值，下面一行对应的数值即为答案． 【详解】解：由表格中日期与最高气温的对应关系可知，当时，． 2．变量x与y的关系式为，当时，y的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将给定的值代入与的关系式计算，即可得到的值． 【详解】解：∵ ，且， ∴． 3．当时，函数的值是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】直接把代入对应的关系式中求值即可． 【详解】解：将代入解析式得． 4．当时，函数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入函数解析式计算，注意二次根式表示的算术平方根，结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴将代入得：. 因此，函数值为． 5．在中，如果，那么________． 【答案】0.5 【分析】将代入给定的一次函数解析式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入，得． 6．在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 【答案】 【分析】将代入给定的气温与海拔的关系式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入， 得． 知识点 自变量的取值范围 概念：使得函数有意义的自变量的所有值的全体，叫做自变量的取值范围。需要同时满足代数式有意义、实际情境合理两个条件。 特别提醒 分两类限制条件 ①代数式：整式取全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数≥0； ②实际情境：长度、时间大于0；人数、物品个数为正整数。 易错提醒 做实际应用题时，只考虑代数式有意义，忽略现实意义，导致取值范围出错。例如人数不能取小数、负数。教材延伸 多个限制条件叠加时，取公共解集；实际问题中即使代数式允许，不符合现实的数值必须舍去。 随学随练 1．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，列不等式即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴函数中，满足， 移项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 2．函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且． 3．函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于得到，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 故选：D． 4．函数中，自变量x的取值范围是（    ）． A． B． C． D．一切实数 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的自变量取值范围，，函数有意义时自变量的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．据此求解即可． 【详解】解：函数中，自变量x的取值范围是一切实数． 故选：D． 5．函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：使函数关系式成立，若函数关系中有分母则分母不为0，若含二次根式，则二次根式中被开方数为非负数，然后建立不等式组，求出不等式的解集得到自变量的取值范围即可解答． 【详解】解：根据题意得，， 解得： 故答案为：． 6．函数的自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围， 根据代数式的分母不等于0，可知，即可得出答案. 【详解】解：函数中，， 解得. 所以函数的自变量的取值范围是. 故答案为：. 知识点 函数的三种表示方法 定义：1.列表法：把自变量的一系列值和对应的函数值列成表格，来表示函数关系； 2.关系式法（解析式法）：用含有自变量的代数式表示函数的方法； 3.图象法：用平面直角坐标系中的图象表示函数关系。 特别提醒 三种表示方法可以互相转化，只是表达形式不同，描述的是同一个函数。 易错提醒 列表法只能体现有限组对应值，不能完整代表全部函数关系；图象读数会存在微小误差。 教材延伸 后续一次函数学习，就是以关系式、图象为重点，三种表示方法互相转化是数形结合思想的基础。 随学随练 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 2．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 3．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 4．梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 【答案】C 【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意； B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意； C、从第3天到第4天，周积分的增长量为分，因此选项C符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有分、分，分的不等，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提． 5．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，判断解答即可． 【详解】解：A、由图可得，任意一个对应着两个的值，不能表示是的函数，不符合题意； B、由图可得，存在对应着两个的值的情况，不能表示是的函数，不符合题意； C、由图可得，任意一个对应着一个的值，能表示是的函数，符合题意； D、由图可得，存在对应着三个（或两个）的值的情况，不能表示是的函数，不符合题意． 知识点 函数简单实际建模 定义：从生活、几何、行程等实际问题中，找到两个变量，分析变量之间的对应关系，建立函数模型，用 函数解决简单实际问题。 特别提醒 建模第一步，先找准变化过程，区分常量、变量，确定自变量、因变量。 易错提醒 写函数关系式后，忘记标注自变量取值范围，解答不完整，容易丢分。 教材延伸 函数建模是初中数学模型观念的核心，后面一次函数、反比例函数都会延续这套建模思路。 随学随练 1．如图是某地区学生的平均体重随年龄（岁）变化的图象． (1)在哪个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重？ (2)从哪个年龄开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重？ 【答案】(1)在9岁到15岁左右这个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重 (2)从16岁（大约）开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重 【分析】（1）（2）根据函数图象所给的信息即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，在9岁到15岁左右这个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重； （2）解：由函数图象可知，从16岁（大约）开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重． 2．汽车在行驶过程中，速度往往是变化的．如图表示的是一辆汽车某次行程中内的速度情况，据图回答下列问题： (1)这辆汽车第一次保持匀速行驶的时间段是第______到______，此时的速度是______； (2)这辆汽车出发后第到之间可能发生了什么情况？ (3)请用自己的语言大致描述这辆汽车第到的行驶情况． 【答案】(1)，， (2)汽车减速停车，可能是红灯、避让行人、临时停靠 (3)到汽车持续加速，到保持匀速，到减速 【详解】（1）解：由图象可知，这辆汽车第一次保持匀速行驶的时间段是第到，此时的速度是． （2）解：由图象可知，这辆汽车出发后第到的速度为， ∴汽车停车，可能是红灯、避让行人、临时停靠． （3）解：由图象可知，到汽车持续加速，到保持匀速，到减速． 3．阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即 、 、 ． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)将“阅读理解”补充完整； (2)用表格表示： 时间/h 路程/ 利用表格我们可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为 ． (3)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为，行驶的路程为．则 ． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间 ． (4)用图象表示： 为更好的研究随的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时， ． ②图中点表示的意义是什么？ 【答案】(1)表格，关系式，图象； (2)；(3)，；(4)①；②图中点表示的意义就是当汽车行驶时间为时，行驶的路程为． 【分析】（1）根据用三种方式表示变量之间的关系即可解答； （2）由题意即可解答； （3）由题意即可解答，将代入计算即可； （4）由图象即可解答． 【详解】（1）解：可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格，关系式，图象； （2）解：由题意得，当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为； （3）解：由题意得，； 当时，则， ； （4）解：①当时，； ②由题意得，图中点表示的意义就是当汽车行驶时间为时，行驶的路程为． 拓展 函数实际问题与模型观念 依托生活实例、几何问题，识别变化过程中的常量与变量，提炼两个变量之间的对应关系，抽象出函数模型。感受函数是刻画现实世界变化规律的数学工具，能将实际问题转化为函数问题，利用函数对应关系分析、解释变量变化，初步建立用数学模型描述变化现象的思维。 素养拓展要点 1.能在真实情境中区分常量、变量，准确识别自变量与因变量。 2.理解函数模型本质是“唯一对应”关系，会用表格、式子表达变量关系。 3.建立建模意识：遇到动态变化问题，主动寻找变量，尝试用函数描述变化。 4.结合实际背景判断自变量取值范围，检验模型结果是否符合现实意义。 活学活用 1．扎西同学利用周末时间锻炼身体，他周六从家出发，骑自行车匀速行驶15分钟后到达离家5千米的篮球馆打篮球，骑车匀速行驶25分钟回到家．下列图中折线能正确表示扎西离家的距离与时刻的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“路程相同时，时间越长速度越慢，图象越平缓”这一规律判定去程和返程的图象特征即可解答． 【详解】解：∵5千米的路程，去程用时15分钟，返程用时25分钟， ∴去程的速度快，线段较陡，返程的速度慢，线段较平缓， A、去程线段较陡，返程线段较平缓，符合题意； B、去程线段较平缓，返程线段较陡，不符合题意； C、去程和返程线段平缓度相同，即用时相同，不符合题意； D、最后一段图象是上升的，表示离家越来越远，不符合题意． 2．小王骑摩托车从甲地去乙地，小李开汽车从乙地去甲地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，两人间的距离与小王行驶的时间之间的关系如图所示． (1)以下是点、点、点所代表的实际意义，请选择、、填入对应的横线上． ①两人相遇________，②小李到达终点________； (2)甲乙两地之间的路程为________千米； (3)求小王、小李各自的速度； (4)求两人相距千米时的值． 【答案】(1)， (2) (3)小王的速度是，小李的速度是 (4)或时，两人相距千米 【分析】（1）由图可知，甲乙两地之间的路程为，小王骑摩托车从甲地去乙地用了小时，当时，，结合点、的坐标，得出点表示此时小王到达终点，点表示此时小王、小李两人相遇，分别求出小王、小李的速度，即可求出时，小李到达甲地，得出点表示此时小李到达终点； （2）时，，即为甲乙两地之间的距离； （3）通过（1）即可求解； （4）分小王、小李相遇前和小王、小李相遇后，小李到达前两种情况，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵小王行驶的时间为，两人间的距离为， 根据图像可得时，，的取值范围为， 即甲乙两地之间的路程为，小王骑摩托车从甲地去乙地用了小时； 当时，小王骑摩托车到达乙地， 点的坐标为，故点表示此时小王到达终点， 故小王的速度为； 根据图像可得小王、小李间的距离为时，即，此时， 点的坐标为，故点表示此时小王、小李两人相遇， 故小王、小李的速度和为， ∴小李的速度为， 时，小李开汽车从乙地去甲地，行驶了， 即时，小李到达甲地， 点的坐标为，故点表示此时小李到达终点． （2）解：根据图像可知：时，， 即小王、小李两人之间的最大距离是， 则两地间的距离为． （3）解：由（1）可得小王的速度为，小李的速度是． （4）解：分以下两种情况讨论： ①小王、小李相遇前（），两人相距千米， ， 解得； ②小王、小李相遇后，小李到达前（），两人相距千米， ， 解得； 故小王出发或时，两人相距千米． 拓展 函数问题中的几何直观素养（数形结合思想） 结合函数的三种表示方式，体会“数”（关系式、表格）与“形”（图像）之间的相互转化。借助竖线检验法，通过图像直观判断变量是否构成函数关系；学会从图像读取变量信息，由关系式想象变化趋势，打通代数与图形之间的联系，发展数形转化的思维能力。 素养拓展要点 1.掌握竖线检验法，借助图像直观判断y是否为x的函数。 2.能实现三种函数表达形式的互相转化：表格、关系式、图像。 3.会从图像中读取自变量与函数值，直观感受变量增减变化。 4.利用图形辅助理解抽象的函数概念，降低代数概念理解难度。 活学活用 1．如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据点的运动路线及函数图象得出点在上运动，在上运动，在上运动，根据运动速度得出，，，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止， ∴点在上时，随的增大而增大， 点在上时，随的增大，先减小，后增大， 点在上时，随的增大而减小， ∴由图象可知，点在上运动，在上运动，在上运动， ∵点的运动速度为， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 解得：． ∴当时，的值是． 2．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 【答案】 8 26 【分析】根据图象可知，，根据三角形的面积公式求出的长，再根据梯形的面积公式求出梯形的面积即可. 【详解】解：由题意和图象可知，当点运动到点时， ， ∴， 当点在上运动时，的面积保持不变， 由图象可知，， ∴梯形的面积为. 3．如图1，四边形是一个长方形，一动点在长方形边上运动，设点运动的路程为，的面积为，与的关系图象如图所示．动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为． (1)根据图可知，________； (2)求出点由点运动到点的总时间； (3)当的值为时，求点的运动时间． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据图1图2可直接得出结果； （2）由题意可知，，再结合题干中所给的运动速度即可得出结果； （3）分点在、、上运动，三种情况，根据的值为，结合三角形面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，． （2）解：∵四边形是一个长方形， ∴， ∵点在边上运动时的速度为， ∴点在边上运动时的时间为， ∴点在边上运动时的距离为， ∵点在边上运动时的速度为， ∴点在边上运动时的时间为 ∵点在边上运动时的速度为， ∴点在边上运动时的时间为， ∴点由点运动到点的总时间为． （3）解：①设点在上的运动时间为， ∴， 解得； ②当点在边上运动时，，不符合题意； ③设点在上运动时间为， ∴， 解得， ∴点的运动时间为， 综上所述，当的值为时，点的运动时间为或． 题型 识别是否是函数 解题贴士 1.唯一判定方法：竖线检验法，作垂直于x轴的直线，与图象至多一个交点即为函数图象。 2.排除一对多对应，只要出现一个x对应两个y值，直接判定不是函数。 3.区分函数图象与普通几何曲线，只看变量对应关系，不看图象形状。 ▌例1 下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，任意x都对应唯一的y值，∴y是x的函数； 对于选项B：，任意不为0的x都对应唯一的y值，∴y是x的函数； 对于选项C：，例如当时，，可得或，一个x对应两个不同的y值，不满足函数定义，∴y不是x的函数； 对于选项D：，任意都对应唯一的y值，∴y是x的函数. ▌例2 下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点， 即对于同一个 ，有多个 值与之对应， 故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线，与图象可能有两个交点， 即对于同一个 ，有两个 值与之对应， 故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，与图象只有一个交点， 即对于同一个 ， 有唯一确定的值与其对应， 故 是 的函数； D. 对于任意一个 ，与图象可能有两个交点， 即对于同一个 ，有两个 值与之对应， 故 不是 的函数． ▌对点练1-1．下列曲线中，表示与的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意. ▌对点练1-2．下列关于变量、的关系，其中不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数． ▌对点练1-3．下列四个图象中，能表示y 是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 该图像不能表示y 是x的函数，本选项不符合题意； B. 该图像不能表示y 是x的函数，本选项不符合题意； C. 该图像不能表示y 是x的函数，本选项不符合题意； D. 该图像能表示y 是x的函数，本选项符合题意． 题型 用图象法表示函数 解题贴士 1.三步绘图：列表取值→描坐标点→平滑连线（离散实际问题不连线）。 2.实际情境函数，只绘制符合自变量取值范围的图象部分，不画多余延伸。 3.图象趋势对应变化规律：上升递增、下降递减、水平不变。 ▌例1一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵开始内只进水不出水，每分钟的进水量是常数， ∴前10分钟水量匀速增加，图象是一条倾斜上升的直线； 由选项C，D可得，水塔内的水量继续增多， ∵在随后的内既进水又出水，出水量是常数， ∴图象是一条倾斜上升的直线，但倾斜程度要比第一段平缓． ∴C选项符合题意． ▌对点练1-1.“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”意思是一群孩子在庭院里玩耍，一个孩子爬上了水缸，不小心脚滑掉进了水里．其他孩子都被吓跑了，只有司马光拿着石头砸破了水缸，水涌了出来，那个孩子得救了．——《司马光砸缸》出自《宋史》．下面哪幅图较符合故事情节（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】水面本身有一定高度，随着“一个孩子爬上了水缸，不小心脚滑掉进了水里”，水面会越来越高直到这个孩子完全浸没在水里后水面高度不变，随着“司马光拿着石头砸破了水缸，水涌了出来”，水面高度会一直下降直到水无法再涌出． 【详解】解：由题意得水面高度会经历保持不变，逐渐升高，保持不变，逐渐下降的过程，故选B． ▌对点练1-2.汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的长度与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间之间的关系可以用下图近似的刻画的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当汽车进入时逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内不变，当汽车出来时逐渐变小， 因此与之间的关系可以用下图近似的刻画： ▌对点练1-3.下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 题型 用列表法表示函数 解题贴士 1.自变量取值遵循均匀、简洁、有代表性原则，优先取整数、易计算数值。 2.表格必须一一对应，一个自变量值只对应唯一一组函数值。 3.取值兼顾首尾区间，能完整体现变量整体变化规律，不遗漏关键节点。 ▌例1酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 【答案】B 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，理解表格信息是解本题的关键，根据表格信息结合函数定义可得答案； 【详解】解：由表格信息可得：酒精浓度越高，水蚤心率越低，正确，A不符合题意； 自变量是酒精溶液浓度，因变量是水蚤心率，原来说法错误，B符合题意； 酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0，正确，C不符合题意； 酗酒对人体的心跳可能有不利影响，正确，D不符合题意； 故选B ▌对点练1-1一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 【答案】D 【分析】由函数的定义可判断A，由表格信息可判断B，根据题意可得蓄水量Q=50-2t，可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故A不符合题意； 蓄水池每分钟放水2m3，故B不符合题意； 放水25分钟时，Q=50-2×25=0，水池里的水全部放完，故C不符合题意； 水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q=50-2t，故D符合题意； 故选：D． ▌对点练1-2声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 __． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． ▌对点练1-3 一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为______． 注水时间 … 水的深度 … 【答案】 【分析】利用表格的信息求得每小时注入使水池的水升高的高度即可得出结论． 【详解】解：由表格可知：每小时注入使水池的水升高， (h)， 注满水池所需要的时间为， 故答案为：． 题型 用关系式法表示函数 解题贴士 1.找准题目等量关系，固定“自变量主动变、因变量被动变”。 2.整理式子为y关于x的表达式，统一书写规范。 3.列出关系式后，必须标注自变量取值范围（实际题型必写）。 4.几何、生活问题，优先套用公式、固定规则建立等式。 ▌例1小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合路程=速度时间列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． ▌对点练1-1下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． ▌对点练1-2某超市进了一批优质水果，出售时在进价（进货的价格）的基础上加上一定的利润，其销售数量与售价（元）的关系如表： 销售数量 … 售价（元） … 下列用表示的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题通过观察表格内的与的关系，可知的值相对时是成倍增长的，由此可得出方程． 【详解】依题意得： 故选：C． ▌对点练1-3 某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是______． 【答案】/ y=2+6x 【分析】观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6，所以x件的销售总价y=8+6（x-1），化简即可． 【详解】解：观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6， ∴y=8+6（x-1）=6x+2． 故答案为：y=6x+2． 题型 根据函数的图象获取信息 解题贴士 1.看点坐标：横坐标找自变量，纵坐标找对应函数值。 2.看走势：图象上升——y随x增大而增大，图象下降——y随x增大而减小。 3.看交点、端点：端点对应取值边界，交点对应变量相等的特殊时刻。 4.结合实际题意解读图象，不盲目套用数形规律。 ▌例1园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积与工作时间的函数关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)休息前，园林队绿化面积是多少？ (2)园林队中间休息了多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题根据绿化面积S与工作时间t的函数图像求解，休息时绿化面积不随时间变化，对应图像中水平线段，直接结合图像坐标信息计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由图可知，园林队工作2小时后开始休息，此时绿化面积为， 因此休息前园林队绿化面积是； （2） 解：由图可知，园林队从开始休息，在结束休息， 因此休息时长为 ． ▌对点练1-1周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 【答案】(1)自变量是时间，因变量是离家距离 (2)分钟 (3)小明的家距离体育馆1500米 (4)小明在等红绿灯前的速度为120米/分 ▌对点练1-2 某港某天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示．请观察图象，解答下列各题： (1)潮高 是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ 【答案】(1)潮高是时间的函数，理由见解析 (2)函数值为，它的实际意义是10时的潮高为 (3)一天内有3次潮高为 【分析】（1）运用函数的定义以及结合函数图象进行分析，即可作答． （2）结合纵横坐标的意义以及的条件进行分析，即可作答． （3）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：潮高是时间的函数，理由如下： ∵对于时间t的每一个确定的值，潮高y都有唯一确定的值与之对应， ∴潮高是时间的函数． （2）解：由图象得，当时，函数值为，它的实际意义是10时的潮高为． （3）解：由图象得，图中的表示潮高为， ∴一天内有3次潮高为． ▌对点练1-3 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离与离开A地的时间之间的关系如图所示．根据下图提供的信息，回答下列问题： (1)A地到B地的路程为多少? (2)哪位同学先到达B地？提前了多长时间？ (3)求乙同学的骑行速度； (4)请描述甲从A地到B地的运动状态，并求出每种状态中的骑行速度． 【答案】(1)18 (2)甲比乙先到达B地；提前了分钟 (3)乙的骑行速度是千米分钟 (4)解：由图象可得，甲从A地到B地的运动分为三个阶段： 在出发后的内，甲保持匀速骑行，此阶段他从A地出发骑行至离A地处，速度为； 在这一时间段，甲处于原地休息状态，距离A地的距离保持不变， ∴这段时间的骑行速度为0； 在内，甲再次以匀速骑行，从离A地处继续前往B地，骑行的路程为，用时，速度为． 题型 求函数值或自变量的值 解题贴士 1.已知自变量求函数值：直接代入关系式，按运算顺序计算。 2.已知函数值求自变量：列方程求解，算出结果后检验是否符合取值范围。 3.表格、图象求值：精准定位对应点位，避免看错行列、坐标。 4.多解情况需舍去不符合题意、超出取值范围的解。 ▌例1 变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】将代入关系式得． ▌例2 变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分别求出和时y的值，即可得到y增加的值． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴y的值增加了． ▌对点练1-1根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 依据题意，输入的值是时，输出的值即可． 【详解】解：∵， 当时，， 故选：D． ▌对点练1-2在函数中，当时，y的值为__________． 【答案】5 【分析】将代入给定的函数解析式计算，即可得到的值． 【详解】解：把代入， 得 ． ▌对点练1-3 小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 【答案】 【分析】将代入已知函数关系式，计算即可得到电阻的值即可． 【详解】解：把代入得：， 即当温度时，电阻． ▌对点练1-4 填空： （1）已知函数，当_________时，函数值为0； （2）已知函数，当时， _________；当_________时，． 【答案】/0.6 【详解】解：（1）由题意，函数值为，即， 令，则. 解得． （2）当时，则； 令，则，解得． 题型7 动点问题的函数图象 解题贴士 1.分段分析：根据动点运动路径、速度、区间，拆分多段变化过程。 2.判断每一段变量变化趋势：增大、减小、不变三种情况。 3.抓关键临界点：动点到达拐点、端点的位置，对应图象转折节点。 4.根据几何长度、面积变化快慢，判断图象倾斜程度，排除错误选项。 ▌例1如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象理解题意即可解答． 【详解】解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B． ▌例2 如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． ▌对点练1-1如图1，在中，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，在点运动的过程中（全程），的长与运动时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象．从函数图象中有效的获取信息是解题的关键． 根据图象可知时，点P与点A重合，得到，进而求出点P从A点运动到B点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出的长，即可解答． 【详解】解：由图象可知时，点P与点A重合， ∴， 故A错误，C正确． ∴点从点运动到点所需的时间为； ∴点P从点A运动到点B的时间为， ∴； 故B，D都错误． 故选C． ▌对点练1-2如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想，关键是将图中点P的运动与选项中的函数图象进行对应． 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由点P的运动可知，点在边上运动时，的面积逐渐变大，可以判断选项不符合题意； 点在边上运动时，的面积不变， 点在边上运动时，的面积逐渐变小， 符合题意的选项为A， 故选：A． ▌对点练1-3 如图，在长方形中，厘米，厘米，点P，Q都从点出发，点P沿线段运动，点Q沿线段AD运动其中一点停止运动，另一点也随之停止设厘米，在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y厘米也随之变化． (1)求y与x之间的关系式； (2)当厘米时，图中阴影部分的面积 ______ 厘米． 【答案】(1) (2)64． 【分析】（1）根据题意和图象可以列出与之间的关系； （2）将，代入第一问求得的关系式即可求得图中阴影部分的面积． 本题考查长方形的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】（1）由题意可得，， 即与之间的关系是：； （2）当时，， 即AP为时，图中阴影部分的面积是． 故答案为：． ▌对点练1-4 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 【答案】(1)图甲中的BC长是8cm； (2)图乙中的a是24． 【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，由动点的速度，可得BC的长； （2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值． 【详解】（1）解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴BC=2×4=8(cm)； 故图甲中的BC长是8cm； （2）解：由（1）可得，BC=8cm， 则：a=×BC×AB=24（）； 图乙中的a是24． 基础通关 1．亮亮从西安给远在北京的爷爷打电话，电话费随着通话时间的变化而变化，在这个过程中，自变量是（     ） A．电话费 B．通话时间 C．西安 D．亮亮 【答案】B 【分析】根据变化过程中变量的变化关系判断即可． 【详解】∵在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，本题中电话费随着通话时间的变化而变化， ∴通话时间是主动变化的自变量，电话费是因变量，西安和亮亮不是变化的量， ∴自变量是通话时间． 2．下列曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐个判断，即在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一的值与之对应，我们就说是的函数． 【详解】A、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是唯一确定的值与它对应，故不是函数，不符合题意； B、对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，故是函数，符合题意； C、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是唯一确定的值与它对应，故不是函数，不符合题意； D、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是唯一确定的值与它对应，故不是函数，不符合题意． 3．气温随海拔高度的变化而变化，下列说法正确的是（　　　　　） A．是自变量，是因变量 B．都是自变量 C．是自变量，是因变量 D．都是常量 【答案】C 【详解】解：∵气温随海拔高度的变化而变化， ∴海拔高度是主动变化的自变量，气温是随变化的因变量， ∴是自变量，是因变量． 4．某起重机匀速、竖直向上提升一个在地面的重物，重物的上升高度与提升时间的函数关系如图所示，则重物上升时所用时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求出重物提升的速度，利用高度除以速度，求出时间即可. 【详解】解：由图象可知，重物上升的速度为， ∴重物上升时所用时间为. 5．为了探究树高度（单位：）与月份之间的关系，收集到1月份至5月份的数据，绘制出如图所示的散点图，根据趋势图预测6月份树的高度约是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象所给的趋势可得答案． 【详解】解：根据树的高度与月份之间关系的趋势图，预测6月份小树的高度约为． 6．某水库的水位在最近内持续上涨，水位高度y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系式为，下列对于这个变化过程中的常量0.3和3的意义解释正确的是（   ） A．0.3表示水位上升的高度 B．0.3表示水位上升的高度 C．3表示后水位的高度 D．3表示后水位的高度 【答案】A 【分析】先求出当时间增加时，的增加量可得的意义；再求出当时，，据此可得3的意义． 【详解】解：∵当时间增加时，的增加量为， ∴表示水位上升的高度； ∵当时，， ∴3表示初始时刻的水位高度． 7．已知等腰三角形的周长为20，则它的底边长关于腰长的函数解析式是_______________（不要求写自变量的取值范围）． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形周长列等式，整理即可得到函数解析式． 【详解】解：等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为， 周长满足等式， 移项整理，得． 8．已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 【答案】 【分析】将代入二次函数解析式计算，即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入，得， ∴当x的值为时，对应的函数值为． 9．正方形的周长关于它的边长的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】根据正方形周长等于边长的4倍，结合边长为正，即可得到函数表达式． 【详解】解：∵正方形的周长等于边长的4倍，边长为正数，即， ∴周长关于边长的函数表达式为． 10．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______元． 【答案】7.49 【详解】解：根据题意，这种汽油的单价是每升（元）． 11．兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，正确根据分段列式是解题的关键，根据分档计费标准，当停车时长在第二档（）时，停车费包括第一档的固定费用和第二档的超时费用，第一档3小时费用为6元，第二档对超过3小时的部分按元/小时计费． 【详解】解：当停车时长满足时， 第一档费用为（元），第二档费用为元， 因此总停车费 ， 故答案为：． 12．党的十八大以来，通过推进城乡人居环境整治等系列工程，我国城乡人居环境明显改善，美丽中国建设成效显著．下表是2014年至2020年我国城市绿地面积的统计情况： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 城市绿地面积/万公顷 252.80 266.96 278.61 292.13 304.71 315.29 331.22 (1)其中有哪些变量？ (2)可以把其中的哪个变量看作另一个变量的函数？ 【答案】(1) 变量有年份和城市绿地面积． (2) 可以把城市绿地面积看作年份的函数． 【分析】（1）根据变量的定义，从统计过程中找出数值发生变化的量． （2）依据函数的定义，判断两个变量的对应关系． 【详解】（1） 解： 在2014年至2020年我国城市绿地面积的统计过程中， 年份的数值不断变化，城市绿地面积的数值也随之变化， ∴变量为年份和城市绿地面积． （2）解：∵对于每一个确定的年份，都有唯一确定的城市绿地面积与之对应， 满足函数的定义， ∴可以把城市绿地面积看作年份的函数． 13．下表给出的是一出租车司机某年4月24日至5月7日两周时间内每天的收入情况： 日期 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日 4月30日 收入/元 225 280 254 261 303 322 266 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 5月6日 5月7日 收入/元 387 276 381 263 270 338 259 表中反映的两个量之间是否具有函数关系？如果具有函数关系，那么我们可将其中哪个变量看作另一个变量的函数？ 【答案】表中反映的两个量之间具有函数关系，可将收入看作日期的函数． 【分析】根据函数定义，验证每一个确定的日期是否对应唯一的收入，即可判断函数关系并确定函数与自变量． 【详解】解：∵该问题中存在日期和收入两个变量，对于每一个确定的日期，都有唯一确定的收入与之对应， ∴两个变量满足函数定义． 即表中反映的两个量之间具有函数关系，可将收入看作日期的函数． 14．一辆长途汽车以的平均速度从甲地驶往乙地．已知甲、乙两地之间的路程为，求汽车距乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】函数关系式为，自变量的取值范围是 【分析】根据“距乙地的路程总路程已行驶路程”列函数关系式，结合时间与路程的实际意义确定自变量取值范围． 【详解】解：由题意得，汽车小时行驶的路程为． 甲、乙两地路程为， 距乙地的路程． 行驶时间非负，距乙地的路程非负， 且 解得． 综上所述，函数关系式为，自变量的取值范围是． 15．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． (1)改变正方形的边长，正方形的面积随的变化而变化； (2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化； (3)某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化；    (4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化． 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 降水量 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24 【答案】(1)是函数关系，自变量为，是的函数 (2)是函数关系，自变量为，是的函数 (3)是函数关系，自变量为，是的函数 (4)是函数关系，自变量为，是的函数 【分析】根据函数的定义，判断每个变化过程中，对于一个变量的每一个确定值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应，即可得到结论． 【详解】（1）解：任给正方形的边长一个确定的值，正方形的面积都有唯一确定的值与之对应，所以是函数关系，自变量为，是的函数． （2）乘坐摩天轮时，任给时间一个确定的值，游客离地面的高度h都有唯一确定的值与之对应，所以是函数关系，自变量为，是的函数． （3）对某天不同时刻的气温，任给时间一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与之对应，所以是函数关系，自变量为，是的函数． （4）对该地一年不同月份的降水量，任给月份一个确定的值，降水量y都有唯一确定的值与之对应，所以是函数关系，自变量为，是的函数． 素养提升 1．下列说法正确的是（     ） A．变量x，y满足，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足，则y是x的函数 D．变量x，y满足，则y是x的函数 【答案】A 【分析】判断y是否为x的函数，核心是看对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，据此逐项判断即可． 【详解】解：对各选项逐一分析： A选项：对于x的每一个确定值，都有唯一确定的y值与之对应，该说法正确，符合题意； B选项： 二次根式无意义，不存在对应关系，该说法错误； C、D选项：当x取正值时，与均对应y有两个互为相反数的值，不满足唯一对应，说法均错误． 2．如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(　 　)    A．体育场离张强家 B．体育场离早餐店 C．张强在体育场锻炼了 D．张强从早餐店散步回家用了 【答案】B 【分析】根据函数的图象所表示的意义逐项分析即可． 【详解】解：A、体育场离张强家，说法正确，此选项不符合题意； B、因为体育场离张强家，而早餐店离家越来越近，所以体育场离早餐店，说法不正确，此选项符合题意； C、张强在体育场锻炼了，说法正确，此选项不符合题意； D、从图象可知，张强从早餐店散步走回家花了，说法正确，此选项不符合题意． 3．在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将温度值分别代入函数关系式逐一验证排除即可． 【详解】解：将分别代入四个选项，所得值均为101，与表格数据一致． 将代入各选项： A． ，排除． B． ，符合． C． ，排除． D． ，排除． 将代入B选项，得； 将代入B选项，得，均与表格数据一致． 因此，与之间的函数关系可能是． 4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 5．如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 6．爸爸去上班，8分钟走了一部分路程，这时接到公司电话，叫他尽快赶去公司，于是他马上改乘出租车赶往公司，他的整个行程与时间关系如图所示．爸爸到达公司所花的时间比一直步行提前了（     ） A．18分钟 B．26分钟 C．24分钟 D．20分钟 【答案】A 【分析】首先从图像中提取8分钟步行的路程，所以可据此求出步行速度，再提取乘出租车阶段的时间和对应行驶路程，所以可据此求出出租车速度，接着计算剩余路程乘坐出租车需要的时间，加上已经花费的时间，得到实际到达公司的总时间，再根据总路程和步行速度，求出全程步行需要的总时间，最后将全程步行的总时间减去实际花费的总时间，即可得到提前的时间． 【详解】解： 把总路程看作单位“1”，由图可知：爸爸步行8分钟走了总路程的， 因此步行速度为： （路程/分钟）， 如果一直步行走完全程的总时间为： 分钟， 改乘出租车后，从8分钟到分钟，共2分钟，出租车走了总路程， 因此出租车速度为： （路程/分钟） ， 还剩余路程， 坐出租车需要的时间为： 分钟， 因此走完全程总时间为：分钟， 分钟， 即提前了分钟． 7．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的有几个（     ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流） ①电阻的初始阻值为 ②当的阻值为时，报警器会报警 ③传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 ④定值电阻的阻值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据时的取值可判断①的正误，根据图象的变化形式可判断②③的正误，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，判断④的正误． 【详解】解：当时，，故电阻的初始阻值不为0，故①错误； 当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时的阻值为， 随着的减小，的阻值也在逐渐减小， 故当的阻值为时，， 报警器会报警， 故②正确，③错误； 当时，， ， ∴， 故④正确； 故正确的是②④，共两个． 8．某饮品店售卖自制冰粉，销售利润（元）与售出份数（份）的关系如表所示： /份 0 10 20 30 40 … /元 0 … 由表可知，与的关系式为__________． 【答案】 【分析】由表格数据可得：销售份数每增加10份，销售利润增加40元，当售出0份时，销售利润为元，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：销售份数每增加10份，销售利润增加40元，当售出0份时，销售利润为元， ∴与的关系式为． 9．如图1，乒乓球从高处自由落下，落在平整坚硬的地面上，在碰撞过程中，乒乓球发生非完全弹性反弹．已知乒乓球每次反弹的最大高度是前一次反弹最大高度的倍（其中称为反弹系数）．小华用一个乒乓球进行实验，将乒乓球所在的高度看做时间的函数，收集到部分函数的数据，绘制了如图2所示的函数图象． 根据上述信息，回答下列问题： （1）小华实验的乒乓球的反弹系数约为________（精确到0.1）； （2）在（1）的条件下，该乒乓球在下落及反弹的过程中，其高度会有________次为． 【答案】 【分析】（1）依据题意，乒乓球每次反弹的最大高度是前一次反弹最大高度的倍，结合图象，时高度为，第一次反弹的最大高度为，故，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1），求出之后数次反弹的最大高度，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，乒乓球每次反弹的最大高度是前一次反弹最大高度的倍， ∵根据图象，时高度为，第一次反弹的最大高度约为， ∴， ∴（负值舍去）； （2）初次自由落下时存在1次高度为的情况； 第一次反弹的最大高度为：，则到达最大高度前后各有一次高度为的情况； 第二次反弹的最大高度为：，则到达最大高度前后各有一次高度为的情况； 第三次反弹的最大高度为：，则到达最大高度前后各有一次高度为的情况； 第四次反弹的最大高度为：，则到达最大高度前后各有一次高度为的情况 综上所述，该乒乓球在下落及反弹的过程中，其高度会有次为． 10．某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 【答案】丁乙丙甲 【详解】解：甲物质的密度为（千克/立方米）； 乙物质的密度为（千克/立方米）； 丙物质的密度为（千克/立方米）； 丁物质的密度为（千克/立方米）； ， 四种物质中密度按照从小到大的顺序为丁乙丙甲． 11．如图①，在四边形中，，，，动点从点出发，沿→→→的方向运动，到达点停止．设点运动的路程为（），的面积为（），如果与之间的关系图象如图②所示，那么四边形的面积为__________． 【答案】18 【分析】根据题意，分析P的运动路线，分阶段分别进行讨论，可得的值，再由梯形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，当P在上时， ， 此时y随x的增大而增大， 结合图2得：当时，点P与点C重合， ∴； 当P在上时，， 此时y保持不变， 结合图2得：当时，点P与点D重合， ∴； ∴四边形的面积为． 12．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是________米，甲起飞________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若乙起飞后，两架无人机所在的高度相差米，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)甲无人机的上升速度是米/秒 (3)秒或秒 【分析】（1）由图象可知，甲起飞后上升到米的高度保持不变，以及甲起飞后到乙起飞之间间隔秒即可得到答案； （2）无人机在上升过程中匀速飞行，根据“速度路程时间”求出速度即可； （3）根据图象可得乙起飞后，满足两架无人机所在高度相差米的种情况，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，甲在空中的停留高度为米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔秒， ∴乙在甲起飞秒后开始起飞； （2）解：∵甲上升到米处，用时秒， ∴甲上升的速度为：（米/秒）； ∴甲无人机的上升速度是米/秒； （3）解：乙起飞后，满足两架无人机所在高度相差米的值共分为种情况： 当时， 由（2）可知，甲无人机的上升速度是米/秒， ∵乙上升到米处时，用时（秒）， ∴乙上升的速度为：（米/秒）， ∴此时用甲的上升高度减去乙的上升高度，可得， 解得秒， 当时，用乙的上升高度减去甲的上升高度，可得， 解得秒， 综上所述，满足条件的值有个：秒或秒． 13．如图，矩形长为3，宽为2．若长和宽各增加，则矩形面积增加． (1)补全表格； 1 2 3 4 6 14 36 (2)求出关于的函数解析式． 【答案】(1)24 (2) 【详解】（1）解：依题意得： 当时，； 补全表格； 1 2 3 4 6 14 24 36 （2）解：依题意得：． 14．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 … 15 20 25 30 35 40 45 50 … 刹车距离 … 3.75 5.00 6.25 7.50 8.75 10.00 11.25 12.50 … 请根据上表，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，因变量是___________，当刹车时车速为时，刹车距离为___________； (2)该型号汽车在某段限速为的道路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测该型号汽车刹车时的车速是多少？并说明事故发生时，汽车是否超速行驶； (3)请简略描述汽车刹车时车速与刹车距离之间是如何变化的． 【答案】(1)刹车距离，8.75 (2)根据表格中的数据可知：刹车时车速每增加，刹车距离增加， 因为刹车时车速为时，刹车距离为， 所以刹车距离为时，该型号汽车刹车时的车速为， 因为， 所以事故发生时，汽车没有超速行驶 (3)根据表格可知，汽车刹车时车速越大，刹车距离越长．（答案不唯一，说法合理即可） 15．如图，梯形下底的长是，高是，当梯形的上底由小到大变化时，梯形的面积也随之发生了变化．梯形的面积与梯形的上底之间的关系如下表： 梯形的上底 1 2 3 4 5 梯形的面积 64 68 72 76 80 (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)当x每增加1，y如何变化？说说你的理由； (3)写出梯形的面积y与梯形的上底x之间的关系式； (4)当梯形的面积为时，梯形的上底是多少？ 【答案】(1)自变量是梯形的上底x，因变量是梯形的面积y (2)当x每增加1，y增加4 理由：从表格中可看出，x由1到2，增加1，y由64到68增加4，x由2到3增加1，y由68到72仍增加4，后面也是这个规律． (3) (4) 【分析】（1）根据表格信息作答即可； （2）根据表格数据作答即可； （3）由梯形的面积公式，列出函数关系式即可； （4）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，自变量是梯形的上底x，因变量是梯形的面积y； （2）略 （3）解：； （4）解：当时，解得； 故梯形的上底是． 迁移创新 1．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A．小数比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小数和小文最远相距 【答案】C 【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，小数比小文先出发，原说法正确，故此选项不符合题意； B、由函数图象可知，小文提速前的速度为， ∴小文提速后的速度为，原说法正确，故此选项不符合题意； C、由函数图象可知，， ∴小数的速度为， ∴，原说法错误，符合题意； D、当时，两人最远相距， ∵当时，小文的速度大于小数的速度， ∴在相遇前，二者的距离不断缩小，即最远的距离一定小于； 在相遇后，二者的距离不断增大，到小文到达送餐地点时，二者的距离最大，最大为， ∴整个过程中，小数和小文最远相距，原说法正确，不符合题意． 2．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示． 下列结论中，正确的有____________．（填序号） ①甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；②乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；③点的坐标为；④甲款机器人到达终点用了 【答案】①④ 【分析】过作轴于点，由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断①；根据题意和图象可得，乙款机器人追及和返回的时间均为，进而得到甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为，得到，结合题意和象列方程求出、，可判断②；进而乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断③； 求出乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间，即可判断④． 【详解】解：如图，过作轴于点， 由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离， 甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲，故①正确； 乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点， 乙款机器人追及和返回的时间均为， ，即甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲， 设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为， ， ， ， ， 解得， ，故②错误； 乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离为，即， 点的坐标为，故③错误； 乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间为， 甲款机器人到达终点用了，故④正确； 故答案为：①④． 3．小明利用生活材料制作了一支简易密度计，装置如图所示：以均匀实心塑料杆为标度杆，杆中部套一个泡沫塑料球作为浮子，杆下端绕有铜丝作为配重，确保装置能竖直漂浮在液体中．他用这支密度计开展了如下实验： 【实验一】 将密度计放入密度为的某种液体中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；根据物体的漂浮条件：漂浮在液体中的物体，所受浮力等于自身重力，得；又根据阿基米德原理：物体在液体中所受的浮力等于它排开液体的重力，得． (1)设密度计的总质量为（单位：），密度计在点以下的总体积为，请用含的代数式表示； 【实验二】 再将这支密度计放入密度为的水中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；用刻度尺测得，两点在杆上的间距为，且点在点的上方． (2)设塑料杆的横截面积为，用含的代数式表示； (3)将该密度计放入密度为的液体中，稳定后液面与杆的交点在点上方，与点的距离为．根据实验数据，推导与之间的函数关系式； 【实验三】 将该密度计放入某种未知密度的液体中，发现稳定后液面与杆的交点恰好位于，两条刻度线的正中间． (4)请直接写出的值（结果保留两位小数）．根据以上实验，请用一句话说明该密度计的密度刻度分布有何规律？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，这说明密度计的刻度是不均匀的，上小下大，上疏下密 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）依题意得，再根据，，即可求解； （3）依题意得，由（1）（2）知，，，即可求解； （4）依题意得，由（3）得，即可求出的值，因为不是均匀变化的，并且随的增大而减小，所以密度计的刻度是不均匀的，上小下大，上疏下密． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，即． （2）解：当密度计放入水中时， ∵，， ∴． 由（1）知， 联立解得． （3）解：依题意得，， 由（1）（2）知，，， ∴． ∵， ∴． （4）解：由（3）得 ， ∵恰好位于，两条刻度线的正中间， ∴, 由（3）得， ∴． ∵不是均匀变化的，并且随的增大而减小， ∴密度计的刻度是不均匀的，上小下大，上疏下密． 4．【知识背景】 音乐是声音的艺术，通过音高、音量、节奏的有序组合形成动人的旋律．我国古代运用数学创制“三分损益法”确定音律，明代律学家朱载堉首创的“十二平均律”理论为现代钢琴等键盘乐器的音律设计奠定了基础． “三分损益法”是用比例和作为制定音阶的依据，由此形成五个音阶，具体制定如下：以“宫”作为基准音，先“三分益一”，即弦长乘以，得到“徵”音弦长；再对“徵”音“三分损一”，即弦长乘以，得到“商”音弦长……，以此损益交替规律，依次得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶． “十二平均律”将一个纯八度音程平均分成12个半音，相邻两个半音的频率之比相等，且最后一个半音的频率是最初的2倍．采用这一理论的钢琴一个八度内的核心音区为：中央C（1-do）高音C，相邻两个音之间所含的半音数分别为“”． 【知识应用】 (1)在“三分损益法”中，若“宫”的弦长为81，则“商”的弦长为______；在“十二平均律”中，若相邻两个半音后者与前者的频率之比为r，第一个半音的频率为a，则第六个半音的频率为______（用含a，r的代数式表示） 【迁移应用】 (2)音高与琴弦振动频率、有效弦长密切相关；演奏者通过改变有效弦长，演奏出高低各异的音符．已知以十二平均律为理论依据的钢琴中音区中各个音的频率x（单位：）与有效弦长y（单位：）成反比例关系，某小组同学通过搜索发现，中音区C（1-do）的有效弦长为，频率为；中音区D的有效弦长为． ①求中音区D的频率．（结果保留两位小数） ②求中音区E的有效弦长．（结果保留整数） 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）利用“三分损益法”即可求出“商”的弦长；根据“十二平均律”即可求出第六个半音的频率； （2）①设频率x（单位：Hz）与有效弦长y（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，再求出当时的函数值即可；②设相邻两个半音的频率之比为，则，即，设中音区E的频率为，弦长为，中音区C的频率为，弦长为，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：若“宫”的弦长为81，则“商”的弦长为； 若相邻两个半音后者与前者的频率之比为r，第一个半音的频率为a，则第六个半音的频率为； （2）解：①设频率x（单位：Hz）与有效弦长y（单位：cm）的函数关系式为，把代入得到， 解得， ∴ 当时， 答：中音区D的频率为． ②根据题意，从中音区C到E共有个半音， 设相邻两个半音的频率之比为，则，即， 设中音区E的频率为，弦长为，中音区C的频率为，弦长为， ∵，且， ∴， ∴， ∵ ∴     答：中音区E的有效弦长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 4.1 函数 课标要点 1.理解函数的概念，明确自变量、因变量、函数值的含义，掌握“唯一确定对应”的函数本质。 2.掌握函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法，能读懂三种形式的函数信息。 3.能根据实际问题判断两个变量是否构成函数关系，能求出简单函数的函数值。 4.能结合实际情境，分析、确定自变量的取值范围，具备初步的数学建模能力。 5.结合具体实例，认识现实生活中的变量与常量，感受世间万物的变化规律，建立变化的数学观念。 学习重难点 重点： 1.能够准确区分实际问题中的常量与变量。 2.掌握函数的定义，理解自变量与因变量的对应关系。 3.熟记函数三种表示方法，并能识别、读取每种方式中的数学信息。 4.能根据函数关系式、表格准确求出对应函数值。 难点： 1.深刻理解函数核心本质：自变量每一个确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应。 2.区分“多对一、一对一（函数）”与“一对多（非函数）”，突破学生判断易错点。 3.从复杂生活情境中抽象出变量关系与函数模型，完成从具象思维到抽象思维的转化。 4.根据实际生活意义正确限定自变量的取值范围，避免只算数学范围、忽略实际意义。 知识点 常量与变量 定义：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量；数值可以发生变化的量叫做变量。变量分为自变量和因变量，自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而变化的量。 特别提醒 。 易错提醒 容易误认为常量一定是常见的数字。例如圆的面积，是常量，不是变量；不要把字母一概当成变量。 教材延伸 在实际问题中，有时变量的变化不是连续的，比如购买物品的数量，只能取正整数。 随学随练 1．在火箭升空过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，上述过程中，自变量是（    ） A．火箭质量 B．燃料的体积 C．火箭 D．火箭飞行高度 2．把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 3．如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，变量是（     ） A．单价 B．质量 C．金额 D．质量和金额 4．某顺风车司机每月的支出为6000元，每月的利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，自变量是________，因变量是________． 5．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化的情况如表格所示：    碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 碗的高度（） 4 … 上述两个变量之间的关系中，自变量是_______________ ，因变量是_______________ 知识点 函数的概念 基本概念：在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对 应，那么就称是的函数，其中叫做自变量。 特别提醒 易错提醒 “一对多”不属于函数。例如，一个会对应两个，因此不是的函数。 教材延伸 随学随练 1．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列曲线中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各曲线中不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 7．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 8．小华和爸爸在公园里荡秋千，在爸爸的助推下，秋千离地面的高度h（单位：m）与摆动时间t（单位：s）之间的关系如图所示，根据图象，判断秋千离地面的高度h______（填“是”或“不是”）摆动时间t的函数． 知识点 函数值 定义：当自变量取一个确定的值时，对应的因变量的值，叫做当自变量取该值时的函数值。 特别提醒 函数值是一个数值，不是变量；给定自变量的值，代入关系式就能求出对应的函数值。 易错提醒 区分“求函数值”和“求自变量”。已知求是代入计算；已知求，是解方程，二者不要混淆。 教材延伸 函数值可以通过三种方式获取：关系式代入计算、读取表格数据、从函数图象上读取对应点纵坐标。 随学随练 1．下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．变量x与y的关系式为，当时，y的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．当时，函数的值是（     ） A． B． C．0 D．1 4．当时，函数的值为（     ） A． B． C． D． 5．在中，如果，那么________． 6．在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 知识点 自变量的取值范围 概念：使得函数有意义的自变量的所有值的全体，叫做自变量的取值范围。需要同时满足代数式有意义、实际情境合理两个条件。 特别提醒 分两类限制条件 ①代数式：整式取全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数≥0； ②实际情境：长度、时间大于0；人数、物品个数为正整数。 易错提醒 做实际应用题时，只考虑代数式有意义，忽略现实意义，导致取值范围出错。例如人数不能取小数、负数。教材延伸 多个限制条件叠加时，取公共解集；实际问题中即使代数式允许，不符合现实的数值必须舍去。 随学随练 1．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．函数中，自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 3．函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数中，自变量x的取值范围是（    ）． A． B． C． D．一切实数 5．函数中自变量x的取值范围是______． 6．函数的自变量x的取值范围是__________． 知识点 函数的三种表示方法 定义：1.列表法：把自变量的一系列值和对应的函数值列成表格，来表示函数关系； 2.关系式法（解析式法）：用含有自变量的代数式表示函数的方法； 3.图象法：用平面直角坐标系中的图象表示函数关系。 特别提醒 三种表示方法可以互相转化，只是表达形式不同，描述的是同一个函数。 易错提醒 列表法只能体现有限组对应值，不能完整代表全部函数关系；图象读数会存在微小误差。 教材延伸 后续一次函数学习，就是以关系式、图象为重点，三种表示方法互相转化是数形结合思想的基础。 随学随练 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 2．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 5．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 知识点 函数简单实际建模 定义：从生活、几何、行程等实际问题中，找到两个变量，分析变量之间的对应关系，建立函数模型，用 函数解决简单实际问题。 特别提醒 建模第一步，先找准变化过程，区分常量、变量，确定自变量、因变量。 易错提醒 写函数关系式后，忘记标注自变量取值范围，解答不完整，容易丢分。 教材延伸 函数建模是初中数学模型观念的核心，后面一次函数、反比例函数都会延续这套建模思路。 随学随练 1．如图是某地区学生的平均体重随年龄（岁）变化的图象． (1)在哪个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重？ (2)从哪个年龄开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重？ 2．汽车在行驶过程中，速度往往是变化的．如图表示的是一辆汽车某次行程中内的速度情况，据图回答下列问题： (1)这辆汽车第一次保持匀速行驶的时间段是第______到______，此时的速度是______； (2)这辆汽车出发后第到之间可能发生了什么情况？ (3)请用自己的语言大致描述这辆汽车第到的行驶情况． 3．阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即 、 、 ． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)将“阅读理解”补充完整； (2)用表格表示： 时间/h 路程/ 利用表格我们可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为 ． (3)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为，行驶的路程为．则 ． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间 ． (4)用图象表示： 为更好的研究随的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时， ．②图中点表示的意义是什么？ 拓展 函数实际问题与模型观念 依托生活实例、几何问题，识别变化过程中的常量与变量，提炼两个变量之间的对应关系，抽象出函数模型。感受函数是刻画现实世界变化规律的数学工具，能将实际问题转化为函数问题，利用函数对应关系分析、解释变量变化，初步建立用数学模型描述变化现象的思维。 素养拓展要点 1.能在真实情境中区分常量、变量，准确识别自变量与因变量。 2.理解函数模型本质是“唯一对应”关系，会用表格、式子表达变量关系。 3.建立建模意识：遇到动态变化问题，主动寻找变量，尝试用函数描述变化。 4.结合实际背景判断自变量取值范围，检验模型结果是否符合现实意义。 活学活用 1．扎西同学利用周末时间锻炼身体，他周六从家出发，骑自行车匀速行驶15分钟后到达离家5千米的篮球馆打篮球，骑车匀速行驶25分钟回到家．下列图中折线能正确表示扎西离家的距离与时刻的关系的是（     ） A． B． C． D． 2．小王骑摩托车从甲地去乙地，小李开汽车从乙地去甲地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，两人间的距离与小王行驶的时间之间的关系如图所示． (1)以下是点、点、点所代表的实际意义，请选择、、填入对应的横线上． ①两人相遇________，②小李到达终点________； (2)甲乙两地之间的路程为________千米； (3)求小王、小李各自的速度； (4)求两人相距千米时的值． 拓展 函数问题中的几何直观素养（数形结合思想） 结合函数的三种表示方式，体会“数”（关系式、表格）与“形”（图像）之间的相互转化。借助竖线检验法，通过图像直观判断变量是否构成函数关系；学会从图像读取变量信息，由关系式想象变化趋势，打通代数与图形之间的联系，发展数形转化的思维能力。 素养拓展要点 1.掌握竖线检验法，借助图像直观判断y是否为x的函数。 2.能实现三种函数表达形式的互相转化：表格、关系式、图像。 3.会从图像中读取自变量与函数值，直观感受变量增减变化。 4.利用图形辅助理解抽象的函数概念，降低代数概念理解难度。 活学活用 1．如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 3．如图1，四边形是一个长方形，一动点在长方形边上运动，设点运动的路程为，的面积为，与的关系图象如图所示．动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为． (1)根据图可知，________； (2)求出点由点运动到点的总时间； (3)当的值为时，求点的运动时间． 题型 识别是否是函数 解题贴士 1.唯一判定方法：竖线检验法，作垂直于x轴的直线，与图象至多一个交点即为函数图象。 2.排除一对多对应，只要出现一个x对应两个y值，直接判定不是函数。 3.区分函数图象与普通几何曲线，只看变量对应关系，不看图象形状。 ▌例1 下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． ▌例2 下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列曲线中，表示与的函数关系的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．下列关于变量、的关系，其中不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数． ▌对点练1-3．下列四个图象中，能表示y 是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 题型 用图象法表示函数 解题贴士 1.三步绘图：列表取值→描坐标点→平滑连线（离散实际问题不连线）。 2.实际情境函数，只绘制符合自变量取值范围的图象部分，不画多余延伸。 3.图象趋势对应变化规律：上升递增、下降递减、水平不变。 ▌例1一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1.“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”意思是一群孩子在庭院里玩耍，一个孩子爬上了水缸，不小心脚滑掉进了水里．其他孩子都被吓跑了，只有司马光拿着石头砸破了水缸，水涌了出来，那个孩子得救了．——《司马光砸缸》出自《宋史》．下面哪幅图较符合故事情节（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的长度与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间之间的关系可以用下图近似的刻画的是（  　  ） A． B． C． D． ▌对点练1-3.下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 题型 用列表法表示函数 解题贴士 1.自变量取值遵循均匀、简洁、有代表性原则，优先取整数、易计算数值。 2.表格必须一一对应，一个自变量值只对应唯一一组函数值。 3.取值兼顾首尾区间，能完整体现变量整体变化规律，不遗漏关键节点。 ▌例1酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 ▌对点练1-1一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t ▌对点练1-2声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 __． ▌对点练1-3 一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为______． 注水时间 … 水的深度 … 题型 用关系式法表示函数 解题贴士 1.找准题目等量关系，固定“自变量主动变、因变量被动变”。 2.整理式子为y关于x的表达式，统一书写规范。 3.列出关系式后，必须标注自变量取值范围（实际题型必写）。 4.几何、生活问题，优先套用公式、固定规则建立等式。 ▌例1小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． ▌对点练1-2某超市进了一批优质水果，出售时在进价（进货的价格）的基础上加上一定的利润，其销售数量与售价（元）的关系如表： 销售数量 … 售价（元） … 下列用表示的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是______． 题型 根据函数的图象获取信息 解题贴士 1.看点坐标：横坐标找自变量，纵坐标找对应函数值。 2.看走势：图象上升——y随x增大而增大，图象下降——y随x增大而减小。 3.看交点、端点：端点对应取值边界，交点对应变量相等的特殊时刻。 4.结合实际题意解读图象，不盲目套用数形规律。 ▌例1园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积与工作时间的函数关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)休息前，园林队绿化面积是多少？ (2)园林队中间休息了多长时间？ ▌对点练1-1周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． ▌对点练1-2 某港某天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示．请观察图象，解答下列各题： (1)潮高 是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ ▌对点练1-3 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离与离开A地的时间之间的关系如图所示．根据下图提供的信息，回答下列问题： (1)A地到B地的路程为多少? (2)哪位同学先到达B地？提前了多长时间？ (3)求乙同学的骑行速度； (4)请描述甲从A地到B地的运动状态，并求出每种状态中的骑行速度． 题型 求函数值或自变量的值 解题贴士 1.已知自变量求函数值：直接代入关系式，按运算顺序计算。 2.已知函数值求自变量：列方程求解，算出结果后检验是否符合取值范围。 3.表格、图象求值：精准定位对应点位，避免看错行列、坐标。 4.多解情况需舍去不符合题意、超出取值范围的解。 ▌例1 变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌例2 变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-1根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． ▌对点练1-2在函数中，当时，y的值为__________． ▌对点练1-3 小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． ▌对点练1-4 填空： （1）已知函数，当_________时，函数值为0； （2）已知函数，当时， _________；当_________时，． 题型7 动点问题的函数图象 解题贴士 1.分段分析：根据动点运动路径、速度、区间，拆分多段变化过程。 2.判断每一段变量变化趋势：增大、减小、不变三种情况。 3.抓关键临界点：动点到达拐点、端点的位置，对应图象转折节点。 4.根据几何长度、面积变化快慢，判断图象倾斜程度，排除错误选项。 ▌例1如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． ▌例2 如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 ▌对点练1-1如图1，在中，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，在点运动的过程中（全程），的长与运动时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 如图，在长方形中，厘米，厘米，点P，Q都从点出发，点P沿线段运动，点Q沿线段AD运动其中一点停止运动，另一点也随之停止设厘米，在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y厘米也随之变化． (1)求y与x之间的关系式； (2)当厘米时，图中阴影部分的面积 ______ 厘米． ▌对点练1-4 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 基础通关 1．亮亮从西安给远在北京的爷爷打电话，电话费随着通话时间的变化而变化，在这个过程中，自变量是（     ） A．电话费 B．通话时间 C．西安 D．亮亮 2．下列曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．气温随海拔高度的变化而变化，下列说法正确的是（　　　　　） A．是自变量，是因变量 B．都是自变量 C．是自变量，是因变量 D．都是常量 4．某起重机匀速、竖直向上提升一个在地面的重物，重物的上升高度与提升时间的函数关系如图所示，则重物上升时所用时间为（     ） A． B． C． D． 5．为了探究树高度（单位：）与月份之间的关系，收集到1月份至5月份的数据，绘制出如图所示的散点图，根据趋势图预测6月份树的高度约是（     ） A． B． C． D． 6．某水库的水位在最近内持续上涨，水位高度y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系式为，下列对于这个变化过程中的常量0.3和3的意义解释正确的是（   ） A．0.3表示水位上升的高度 B．0.3表示水位上升的高度 C．3表示后水位的高度 D．3表示后水位的高度 7．已知等腰三角形的周长为20，则它的底边长关于腰长的函数解析式是_______________（不要求写自变量的取值范围）． 8．已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 9．正方形的周长关于它的边长的函数表达式为__________． 10．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______元． 11．兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为__________． 12．党的十八大以来，通过推进城乡人居环境整治等系列工程，我国城乡人居环境明显改善，美丽中国建设成效显著．下表是2014年至2020年我国城市绿地面积的统计情况： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 城市绿地面积/万公顷 252.80 266.96 278.61 292.13 304.71 315.29 331.22 (1)其中有哪些变量？ (2)可以把其中的哪个变量看作另一个变量的函数？ 13．下表给出的是一出租车司机某年4月24日至5月7日两周时间内每天的收入情况： 日期 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日 4月30日 收入/元 225 280 254 261 303 322 266 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 5月6日 5月7日 收入/元 387 276 381 263 270 338 259 表中反映的两个量之间是否具有函数关系？如果具有函数关系，那么我们可将其中哪个变量看作另一个变量的函数？ 14． 一辆长途汽车以的平均速度从甲地驶往乙地．已知甲、乙两地之间的路程为，求汽车距乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 15．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． (1)改变正方形的边长，正方形的面积随的变化而变化； (2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化； (3)某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化；   (4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化． 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 降水量 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24 素养提升 1．下列说法正确的是（     ） A．变量x，y满足，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足，则y是x的函数 D．变量x，y满足，则y是x的函数 2．如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(　 　)    A．体育场离张强家 B．体育场离早餐店 C．张强在体育场锻炼了 D．张强从早餐店散步回家用了 3．在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 6．爸爸去上班，8分钟走了一部分路程，这时接到公司电话，叫他尽快赶去公司，于是他马上改乘出租车赶往公司，他的整个行程与时间关系如图所示．爸爸到达公司所花的时间比一直步行提前了（     ） A．18分钟 B．26分钟 C．24分钟 D．20分钟 7．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的有几个（     ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流） ①电阻的初始阻值为 ②当的阻值为时，报警器会报警 ③传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 ④定值电阻的阻值为 A．0 B．1 C．2 D．3 8．某饮品店售卖自制冰粉，销售利润（元）与售出份数（份）的关系如表所示： /份 0 10 20 30 40 … /元 0 … 由表可知，与的关系式为__________． 9．如图1，乒乓球从高处自由落下，落在平整坚硬的地面上，在碰撞过程中，乒乓球发生非完全弹性反弹．已知乒乓球每次反弹的最大高度是前一次反弹最大高度的倍（其中称为反弹系数）．小华用一个乒乓球进行实验，将乒乓球所在的高度看做时间的函数，收集到部分函数的数据，绘制了如图2所示的函数图象． 根据上述信息，回答下列问题： （1）小华实验的乒乓球的反弹系数约为________（精确到0.1）； （2）在（1）的条件下，该乒乓球在下落及反弹的过程中，其高度会有________次为． 10．某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 11．如图①，在四边形中，，，，动点从点出发，沿→→→的方向运动，到达点停止．设点运动的路程为（），的面积为（），如果与之间的关系图象如图②所示，那么四边形的面积为__________． 12．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是________米，甲起飞________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若乙起飞后，两架无人机所在的高度相差米，请直接写出的值． 13．如图，矩形长为3，宽为2．若长和宽各增加，则矩形面积增加． (1)补全表格； 1 2 3 4 6 14 36 (2)求出关于的函数解析式． 14．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 … 15 20 25 30 35 40 45 50 … 刹车距离 … 3.75 5.00 6.25 7.50 8.75 10.00 11.25 12.50 … 请根据上表，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，因变量是___________，当刹车时车速为时，刹车距离为___________； (2)该型号汽车在某段限速为的道路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测该型号汽车刹车时的车速是多少？并说明事故发生时，汽车是否超速行驶； (3)请简略描述汽车刹车时车速与刹车距离之间是如何变化的． 15．如图，梯形下底的长是，高是，当梯形的上底由小到大变化时，梯形的面积也随之发生了变化．梯形的面积与梯形的上底之间的关系如下表： 梯形的上底 1 2 3 4 5 梯形的面积 64 68 72 76 80 (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)当x每增加1，y如何变化？说说你的理由； (3)写出梯形的面积y与梯形的上底x之间的关系式； (4)当梯形的面积为时，梯形的上底是多少？ 迁移创新 1．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A．小数比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小数和小文最远相距 2．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示． 下列结论中，正确的有____________．（填序号） ①甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；②乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；③点的坐标为；④甲款机器人到达终点用了 3．小明利用生活材料制作了一支简易密度计，装置如图所示：以均匀实心塑料杆为标度杆，杆中部套一个泡沫塑料球作为浮子，杆下端绕有铜丝作为配重，确保装置能竖直漂浮在液体中．他用这支密度计开展了如下实验： 【实验一】 将密度计放入密度为的某种液体中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；根据物体的漂浮条件：漂浮在液体中的物体，所受浮力等于自身重力，得；又根据阿基米德原理：物体在液体中所受的浮力等于它排开液体的重力，得． (1)设密度计的总质量为（单位：），密度计在点以下的总体积为，请用含的代数式表示； 【实验二】 再将这支密度计放入密度为的水中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；用刻度尺测得，两点在杆上的间距为，且点在点的上方． (2)设塑料杆的横截面积为，用含的代数式表示； (3)将该密度计放入密度为的液体中，稳定后液面与杆的交点在点上方，与点的距离为．根据实验数据，推导与之间的函数关系式； 【实验三】 将该密度计放入某种未知密度的液体中，发现稳定后液面与杆的交点恰好位于，两条刻度线的正中间． (4) 请直接写出的值（结果保留两位小数）．根据以上实验，请用一句话说明该密度计的密度刻度分布有何规律？ 4．【知识背景】 音乐是声音的艺术，通过音高、音量、节奏的有序组合形成动人的旋律．我国古代运用数学创制“三分损益法”确定音律，明代律学家朱载堉首创的“十二平均律”理论为现代钢琴等键盘乐器的音律设计奠定了基础． “三分损益法”是用比例和作为制定音阶的依据，由此形成五个音阶，具体制定如下：以“宫”作为基准音，先“三分益一”，即弦长乘以，得到“徵”音弦长；再对“徵”音“三分损一”，即弦长乘以，得到“商”音弦长……，以此损益交替规律，依次得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶． “十二平均律”将一个纯八度音程平均分成12个半音，相邻两个半音的频率之比相等，且最后一个半音的频率是最初的2倍．采用这一理论的钢琴一个八度内的核心音区为：中央C（1-do）高音C，相邻两个音之间所含的半音数分别为“”． 【知识应用】 (1)在“三分损益法”中，若“宫”的弦长为81，则“商”的弦长为______；在“十二平均律”中，若相邻两个半音后者与前者的频率之比为r，第一个半音的频率为a，则第六个半音的频率为______（用含a，r的代数式表示） 【迁移应用】 (2)音高与琴弦振动频率、有效弦长密切相关；演奏者通过改变有效弦长，演奏出高低各异的音符．已知以十二平均律为理论依据的钢琴中音区中各个音的频率x（单位：）与有效弦长y（单位：）成反比例关系，某小组同学通过搜索发现，中音区C（1-do）的有效弦长为，频率为；中音区D的有效弦长为． ①求中音区D的频率．（结果保留两位小数） ②求中音区E的有效弦长．（结果保留整数） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $