4.1 函数（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.1函数 知识归纳与题型总结 考点01 函数 1．定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量． 2．表示方法：表格法、关系式法、图象法． 3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值． 考向01 函数的概念 【例1】神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【详解】解：由题意，燃料的体积随飞船飞行高度的增加而减少，即燃料体积随飞行高度的变化而变化．主动发生变化的量是飞船的飞行高度，即自变量是飞船的飞行高度． 考向02 求自变量的取值范围 【例2】一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式可得，的关系，再根据，即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据长方形的周长公式可得：， ∴， ∴， ∵且，即且， ∴， 综上：． 考向03 求自变量的值或函数值 【例3】天安门广场升旗仪式，震撼着每一个中国人的心，其中一个重要环节是国旗护卫队从天安门城楼拥护五星红旗齐步走至金水桥南侧，改为正步行进96步（代表着960万平方公里步幅可以测量），来到升降国旗区．这一段路程中要求正步的步幅不多不少，每一步都必须高度精确．护旗手离升降国旗区的距离与所走正步数（步）之间有下表所示的关系： (1)求护旗手每一步的步幅和金水桥南侧到升降国旗区的距离； (2)当护旗手正步行进至第16步时，护旗手距离升降国旗区的距离是多少？ 【答案】(1)护旗手每一步的步幅为，金水桥南侧到升降国旗区的距离 (2)当护旗手正步行进至第步时，护旗手距离升降国旗区的距离是 【分析】（1）先计算出每一步的步幅，结合题意即可得出金水桥南侧到升降国旗区的距离； （2）根据表格数据得出与的关系，代入，即可求解． 【详解】（1）解：每一步的步幅为， 金水桥南侧到升降国旗区的距离为， 所以护旗手每一步的步幅为，金水桥南侧到升降国旗区的距离． （2）解：由（1）可得与的关系， 当时， 所以当护旗手正步行进至第步时，护旗手距离升降国旗区的距离是． 考向04 函数的三种表示方法 【例4】下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，列表法表示y是x的函数； B选项，解析法表示y是x的函数； C选项，图像法表示y是x的函数； D选项，变量x的每一个值，变量y大部分情况下有2个值与它对应，不能表示y是x的函数． 考向05 函数解析式 【例5】长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 【答案】 【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为36cm，其中一边长为， ∴另一边长为， ∵面积为， ∴． 考向06 函数图象识别 【例6】下列各曲线中不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一个图像，任意作一条垂直于x轴的直线，如果直线与图像最多只有1个交点，则y是x的函数；若存在某条竖线和图像有2个及以上交点，则y不是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：选项A：任意竖线只和曲线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意； 选项B：任意竖线只和直线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意； 选项C：取的一条竖直线，会同时交上、下两条曲线于两点，即一个x的值对应两个y的值，y不是x的函数，该选项符合题意； 选项D：任意竖线只和波浪曲线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意． 考向07 从函数的图象获取信息 【例7】A，B两地相距，甲由A地出发骑摩托车去往B地，乙在甲出发后，由A地出发沿同一路线乘汽车去往B地，甲，乙两人的速度均保持不变，如图是甲、乙两人各自行驶的路程y（单位：）与甲的行驶时间x（单位：h）的函数图象． (1)甲的行驶速度为________； (2)求乙到达B地所用的时间． 【答案】(1)40 (2) 【分析】（1）根据速度路程时间，求出甲的速度即可； （2）先求出乙的行驶速度，再根据A，B两地相距求出乙行驶的时间即可． 【详解】（1）解：甲的行驶速度为：； （2）解：乙的行驶速度为：， 乙到达B地所用的时间为：． 考向08 动点问题的函数图象 【例8】如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据点的运动路线及函数图象得出点在上运动，在上运动，在上运动，根据运动速度得出，，，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止， ∴点在上时，随的增大而增大， 点在上时，随的增大，先减小，后增大， 点在上时，随的增大而减小， ∴由图象可知，点在上运动，在上运动，在上运动， ∵点的运动速度为， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 解得：． ∴当时，的值是． 【对点1】周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 【答案】(1)自变量是时间，因变量是离家距离 (2)分钟 (3)小明的家距离体育馆1500米 (4)小明在等红绿灯前的速度为120米/分 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，小明等待红绿灯花了（分钟）； （3）略 （4）解：（米/分）， 答：小明在等红绿灯前的速度为120米/分． 【对点2】如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，将代入，可得到关于的一元一次不等式组，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 ， 将代入，得 ， 解不等式组，得 ． 【对点3】下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】解：A、当时，，∴点不在函数图象上； B、当时，，∴点不在函数图象上； C、当时，，∴点不在函数图象上； D、当时，，∴点在函数图象上． 【对点4】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义是在一个变化过程中有两个变量，对于每一个变量取一个值，有唯一值与其对应，就说是的函数，判断即可． 【详解】解：∵C选项的图象显示对于一个有两个值与其对应， ∴C选项不能表示是的函数． 【对点5】某种苹果的批发价为每千克元，一水果商准备了元用于采购此种苹果．剩余的钱（元）随采购量的变化而变化． (1)是的函数吗？若是，请写出关于的函数解析式（无需写出自变量的取值范围），若不是，请说明理由； (2)当该水果商采购此种苹果时，他剩余的钱是多少元？ 【答案】(1)是的函数，关于的函数解析式为 (2)他剩余的钱是元 【分析】（1）根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中存在两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数．进行判断是的函数,再根据题意得到关于的函数解析式即可； （2）把代入（1）中的解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，剩余的钱（元）随采购量的变化而变化，且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是关于x的函数． 所以关于的函数解析式为； （2）解：当时，， 答：他剩余的钱是1000元． 【对点6】某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有油，到乙地后发现油箱中还剩油．则油箱中所剩油（）与时间（）之间的函数图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】将行程分为行驶、休息、行驶三段，分析每段油量随时间的变化趋势，并结合终点剩余油量确定图象特征． 【详解】解：∵某人驾车匀速从甲地前往乙地， ∴出发后油箱中的油量随时间的增加而均匀减少，图象为下降的线段； ∵中途停车休息了一段时间， ∴休息期间时间增加，但油量不变，图象为平行于轴的线段； ∵休息后继续前往乙地， ∴油量继续随时间的增加而减少，图象为下降的线段，且与休息前的线段平行； ∵ 到乙地后发现油箱中还剩油， ∴ 图象终点的纵坐标为，即终点在直线上； 观察选项，只有C选项符合题意． 【对点7】适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小林的心率（次／分）与运动时间（分）之间的变化关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)图中点表示的实际意义是______； (2)在运动开始的前10分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？ (3)小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次／分～175次／分之间能达到最佳运动效果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 【答案】(1)小林的运动时间在第40分钟时，心率为160次／分 (2)在运动开始的前10分钟内，小林的心率增加得较快，这一阶段可能在快跑（说法合理即可） (3)本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟 【分析】（1）根据横坐标和纵坐标的意义，即可求解． （2）根据函数图象，即可求解． （3）找出纵坐标在120～175之间对应的横坐标范围，即可求解． 【详解】（1）解：小林的运动时间在第40分钟时，心率为160次／分． （2）略 （3）（分钟）， 答：本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟． 【对点8】如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为（     ） A．12 B．8 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在的顶点A处，运动到点B处时，图1中的，当点P运动到中点时，此时，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得，根据勾股定理可得，再根据等腰三角形三线合一可得的长． 【详解】解：根据题图②可知： 当点P在点A处时，， 当点P到达点B时，， ∴为等腰三角形，当点P在上运动且最小时，时，， ∴的边的高为12， 如解图，当时，， 在中，， ∴． 一、选择题 1．下列说法正确的是（     ） A．变量x，y满足，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足，则y是x的函数 D．变量x，y满足，则y是x的函数 【答案】A 【分析】判断y是否为x的函数，核心是看对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，据此逐项判断即可． 【详解】解：对各选项逐一分析： A选项：对于x的每一个确定值，都有唯一确定的y值与之对应，该说法正确，符合题意； B选项： 二次根式无意义，不存在对应关系，该说法错误； C、D选项：当x取正值时，与均对应y有两个互为相反数的值，不满足唯一对应，说法均错误． 2．一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察函数图像，根据函数图像求解即可． 【详解】解：根据图像知，共升温（）， 则每小时升温（）， 则在时的温度为（）． 3．小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 【答案】C 【分析】观察函数图象，获取两人出发时间、到达时间及总路程，再结合速度公式逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图象可知，小明从时出发，小斌从时出发， ∴小斌比小明晚走小时，故A正确，不符合题意； 小明的速度为（千米/时），小斌的速度为（千米/时）， 又∵， ∴小斌的速度是小明速度的倍，故B正确，不符合题意； 当小斌到达目的地时，，此时小明行驶的路程为（千米）， ∴小明距离目的地还有（千米），故C错误，符合题意； 小斌走了一半的路程即千米，用时小时，此时时刻为时， 小明行驶路程为（千米）， ∴两人相遇，即小斌走了一半的路程时追上小明，故D正确，不符合题意． 4．一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度与注水时间的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法错误的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.2米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.6小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.2米 【答案】C 【详解】解：注水前，蓄水池水的初始深度为米，故A选项正确，不符合题意； 水泵报警前的注水速度是每小时米，故B选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，即注水时间为小时时水泵报警，故C选项错误，符合题意； 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时米，故D选项正确，不符合题意． 5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面上升越快，容器越细，据此分析判断即可． 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 6．随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距的工厂．汽车显示的可用里程数（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（     ） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【分析】根据图象信息，先求出汽车的行驶速度，再求出行驶所需时间，最后求出总时长，即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时充电结束，此时可用里程为，随后开始行驶，当时，， 汽车行驶速度为（）， 工厂相距， 行驶所需时间为（h）， 到达工厂时经过的总时间为（h）， 出发时间为早晨， 到达时间为上午． 7．如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 8．爸爸去上班，8分钟走了一部分路程，这时接到公司电话，叫他尽快赶去公司，于是他马上改乘出租车赶往公司，他的整个行程与时间关系如图所示．爸爸到达公司所花的时间比一直步行提前了（     ） A．18分钟 B．26分钟 C．24分钟 D．20分钟 【答案】A 【分析】首先从图像中提取8分钟步行的路程，所以可据此求出步行速度，再提取乘出租车阶段的时间和对应行驶路程，所以可据此求出出租车速度，接着计算剩余路程乘坐出租车需要的时间，加上已经花费的时间，得到实际到达公司的总时间，再根据总路程和步行速度，求出全程步行需要的总时间，最后将全程步行的总时间减去实际花费的总时间，即可得到提前的时间． 【详解】解： 把总路程看作单位“1”，由图可知：爸爸步行8分钟走了总路程的， 因此步行速度为： （路程/分钟）， 如果一直步行走完全程的总时间为： 分钟， 改乘出租车后，从8分钟到分钟，共2分钟，出租车走了总路程， 因此出租车速度为： （路程/分钟） ， 还剩余路程， 坐出租车需要的时间为： 分钟， 因此走完全程总时间为：分钟， 分钟， 即提前了分钟． 9．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 10．如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为．图2是点运动时，关于的函数图象，当点从点移动到点时，的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图像与函数图像解题即可． 【详解】解：∵点沿方向从点移动到点， ∴点在上运动对应的值为， ， 当点从点移动到点时，值先减小，后增大， 在时取得最小值， 此时，且， ∴在中，， ∴当点从点移动到点时，的最小值为． 二、填空题 11．观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 【答案】（的整数） 【分析】观察所给的式子，得出规律即可． 【详解】解：∵，，， ∴设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为（的整数）． 12．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 【答案】 8 26 【分析】根据图象可知，，根据三角形的面积公式求出的长，再根据梯形的面积公式求出梯形的面积即可. 【详解】解：由题意和图象可知，当点运动到点时， ， ∴， 当点在上运动时，的面积保持不变， 由图象可知，， ∴梯形的面积为. 13．如图1，正方形的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中所在的直线关系式为 _____． 【答案】 【分析】本题考查函数图象，读懂图意，分析动点P的运动情况及的面积变化情况是解题关键． 【详解】解：由点P的运动可知，图2中段，对应了点P在上运动，如图所示， 此时，则， ∴． 14．某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 【答案】丁乙丙甲 【详解】解：甲物质的密度为（千克/立方米）； 乙物质的密度为（千克/立方米）； 丙物质的密度为（千克/立方米）； 丁物质的密度为（千克/立方米）； ， 四种物质中密度按照从小到大的顺序为丁乙丙甲． 15．如图①，在四边形中，，，点从点出发，沿运动到点．图②是点运动时，的面积与点运动的路程之间的关系图象，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据面积变化分段确定、总运动路程，利用三角形面积公式求出，再作垂线构造矩形与直角三角形，结合勾股定理建立方程，进而求出的长． 【详解】解：点沿运动： 当时，在上运动，的高随路程增大而升高，面积持续变大； 当时，到达点，面积达到最大值， ， 此时，的高为，底为，面积， ， 解得：， 过点作于点， ，，， 四边形是矩形， ，， 点从到的总路程为，即， 代入， 得：，即， 在中，， ， ， 展开得，， 整理得：， 解得：， 代入． 三、解答题 16．赛龙舟是我国端午节的习俗．今年南京玄武湖举行了1000米龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时路程与时间之间的关系如图．根据下图回答问题： (1)当2分钟时， 龙舟队处于领先位置． (2)在这次龙舟比赛中， 龙舟队先到达终点，用时 分钟． (3)4分钟时，甲龙舟队所划路程比乙龙舟队所划路程领先多少？ 【答案】(1)乙 (2)甲，4 (3)领先200米 【分析】（1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）4分钟时，甲龙舟队所划路程是1000米，根据“路程速度时间”求出乙龙舟队所划路程，计算两者之差即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当2分钟时，乙龙舟队处于领先位置． （2）解：由图象可知，在这次龙舟比赛中，甲龙舟队先到达终点，用时4分钟． （3）解：4分钟时，甲龙舟队所划路程是1000米，乙龙舟队所划路程是（米）， （米）， ∴4分钟时，甲龙舟队所划路程比乙龙舟队所划路程领先200米． 17．小明一家人周末驾车去某景点游玩，出发前汽车油箱内有升汽油，从家出发后，每行驶千米，耗油升．设油箱内剩余的油量为（升），行驶的路程为（千米），且随的变化而变化． (1)上述两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)用函数解析式表示与之间的对应关系，并求出的取值范围； (3)当到达景点时汽车共行驶了千米，求油箱内剩余的油量是多少升？ 【答案】(1)行驶的路程x，油箱内剩余的油量y (2)，的取值范围为 (3)油箱内剩余的油量是升 【详解】（1）解：上述两个变量中，自变量是行驶的路程x，因变量是油箱内剩余的油量y； （2）解：根据题意得，， 令，即，解得； ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，（升）， 即油箱内剩余的油量是升． 18．周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青． 从家出发小时后到达A地，游玩一段时间后再前往B地． 小明和爸爸离家小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B地，如图是他们离家的路程y（千米）与离家时间t（小时）的函数图像． (1)根据函数图像写出小明和爸爸在A地游玩的时间； (2)分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度； (3)妈妈出发时，小明和爸爸距离B地有多远？ 【答案】(1)小时 (2)小明和爸爸骑车的速度为千米/时；妈妈的驾车速度为千米/时 (3)千米 【分析】（1）由函数图像可以直接得出小明和爸爸在A地游玩的时间为小时； （2）根据速度、路程、时间之间的关系就可以分别求出骑车的速度和驾车的速度； （3）根据题意可以知道妈妈出发时小明和爸爸在路上行驶的时间，由路程、速度、时间之间的关系可以得出结论． 【详解】（1）解：根据函数图像可知：小明和爸爸在A地游玩的时间为：（小时）； （2）解：小明和爸爸骑车的速度为：（千米/时）； 妈妈的驾车速度为：（千米/时）； （3）解：妈妈出发时，小明和爸爸距离B地： （千米）． 19．现在是信息时代，人们对云存储空间的需求日益增加．某云存储间实行阶梯收费，若云存储数据量在及以下，则每月收费单价为元，超出的部分，每月收费单价为元，每月云存储费用（元）与云存储数据量的函数图象如图所示． (1)求，的值； (2)若锦凌公司当月支付云存储费用元，求该公司当月云存储数据量为多少． 【答案】(1)； (2)该公司当月云存储数据量为 【分析】（1）结合图像给出的两组对应数值分别建立关于、的一元一次方程，解方程即可得与的值； （2）先对比费用判定存储量超过，根据阶梯收费规则列出方程，求解即可得出存储数据量． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， ∴，解得； 由函数图象可知，当时，， ∴，解得； （2）解：， ∴存储量大于， 设数据量为， ， 解得， 答：该公司当月云存储数据量为． 20．天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 【答案】(1)电动艇的速度为 (2) 皮划艇在整个过程中共用了，补全图形如下： (3)或 【分析】（1）由图可知，至段，两船之间的距离增长较快，结合题意可知，这个时段为皮划艇休整的10分钟，根据速度、时间、路程之间关系即可求解； （2）由图可知，30分钟时电动艇到达码头，皮划艇行驶了20分钟，结合（1）中结论可得皮划艇的速度，进而即可求解； （3）先根据两船速度求出、和汇合时的时间，再分段讨论，根据两船行驶路程的倍数关系列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 即电动艇的速度为； （2）解：皮划艇的速度为：， ， 即皮划艇在整个过程中共用了， 补全图形略； （3）解：由题意知， ， 两船汇合时所用时间为：， 设时间为时，电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍， 分情况讨论： 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 综上可得，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.1函数 知识归纳与题型总结 考点01 函数 1．定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量． 2．表示方法：表格法、关系式法、图象法． 3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值． 考向01 函数的概念 【例1】神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 考向02 求自变量的取值范围 【例2】一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 考向03 求自变量的值或函数值 【例3】天安门广场升旗仪式，震撼着每一个中国人的心，其中一个重要环节是国旗护卫队从天安门城楼拥护五星红旗齐步走至金水桥南侧，改为正步行进96步（代表着960万平方公里步幅可以测量），来到升降国旗区．这一段路程中要求正步的步幅不多不少，每一步都必须高度精确．护旗手离升降国旗区的距离与所走正步数（步）之间有下表所示的关系： (1)求护旗手每一步的步幅和金水桥南侧到升降国旗区的距离； (2)当护旗手正步行进至第16步时，护旗手距离升降国旗区的距离是多少？ 考向04 函数的三种表示方法 【例4】下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   考向05 函数解析式 【例5】长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 考向06 函数图象识别 【例6】下列各曲线中不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 考向07 从函数的图象获取信息 【例7】A，B两地相距，甲由A地出发骑摩托车去往B地，乙在甲出发后，由A地出发沿同一路线乘汽车去往B地，甲，乙两人的速度均保持不变，如图是甲、乙两人各自行驶的路程y（单位：）与甲的行驶时间x（单位：h）的函数图象． (1)甲的行驶速度为________； (2)求乙到达B地所用的时间． 乙到达B地所用的时间为：． 考向08 动点问题的函数图象 【例8】如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 【对点1】周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 【对点2】如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 【对点3】下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【对点4】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【对点5】某种苹果的批发价为每千克元，一水果商准备了元用于采购此种苹果．剩余的钱（元）随采购量的变化而变化． (1)是的函数吗？若是，请写出关于的函数解析式（无需写出自变量的取值范围），若不是，请说明理由； (2)当该水果商采购此种苹果时，他剩余的钱是多少元？ 【对点6】某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有油，到乙地后发现油箱中还剩油．则油箱中所剩油（）与时间（）之间的函数图象大致是（     ） A．B．C．D． 【对点7】适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小林的心率（次／分）与运动时间（分）之间的变化关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)图中点表示的实际意义是______； (2)在运动开始的前10分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？ (3)小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次／分～175次／分之间能达到最佳运动效果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 【对点8】如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为（     ） A．12 B．8 C．10 D．13 一、选择题 1．下列说法正确的是（     ） A．变量x，y满足，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足，则y是x的函数 D．变量x，y满足，则y是x的函数 2．一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 3．小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 4．一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度与注水时间的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法错误的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.2米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.6小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.2米 5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 6．随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距的工厂．汽车显示的可用里程数（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（     ） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 7．如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 8．爸爸去上班，8分钟走了一部分路程，这时接到公司电话，叫他尽快赶去公司，于是他马上改乘出租车赶往公司，他的整个行程与时间关系如图所示．爸爸到达公司所花的时间比一直步行提前了（     ） A．18分钟 B．26分钟 C．24分钟 D．20分钟 9．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 10．如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为．图2是点运动时，关于的函数图象，当点从点移动到点时，的最小值为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 12．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 13．如图1，正方形的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中所在的直线关系式为 _____． 14．某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 15．如图①，在四边形中，，，点从点出发，沿运动到点．图②是点运动时，的面积与点运动的路程之间的关系图象，则的长为__________． 三、解答题 16．赛龙舟是我国端午节的习俗．今年南京玄武湖举行了1000米龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时路程与时间之间的关系如图．根据下图回答问题： (1)当2分钟时， 龙舟队处于领先位置． (2)在这次龙舟比赛中， 龙舟队先到达终点，用时 分钟． (3)4分钟时，甲龙舟队所划路程比乙龙舟队所划路程领先多少？ 17．小明一家人周末驾车去某景点游玩，出发前汽车油箱内有升汽油，从家出发后，每行驶千米，耗油升．设油箱内剩余的油量为（升），行驶的路程为（千米），且随的变化而变化． (1)上述两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)用函数解析式表示与之间的对应关系，并求出的取值范围； (3)当到达景点时汽车共行驶了千米，求油箱内剩余的油量是多少升？ 18．周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青． 从家出发小时后到达A地，游玩一段时间后再前往B地． 小明和爸爸离家小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B地，如图是他们离家的路程y（千米）与离家时间t（小时）的函数图像． (1)根据函数图像写出小明和爸爸在A地游玩的时间； (2)分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度； (3)妈妈出发时，小明和爸爸距离B地有多远？ 19．现在是信息时代，人们对云存储空间的需求日益增加．某云存储间实行阶梯收费，若云存储数据量在及以下，则每月收费单价为元，超出的部分，每月收费单价为元，每月云存储费用（元）与云存储数据量的函数图象如图所示． (1)求，的值； (2)若锦凌公司当月支付云存储费用元，求该公司当月云存储数据量为多少． 20．天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $