上海市市西中学2026-2027学年第一学期学科调研高三数学试题

市西中学2026学年第一学期学科调研 高三数学 2026.10 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，每题只要求直接填写结果，第1到6题填对得4分，第7到12题填对得5分，否则一律得零分． 1．集合，，则________． 2．不等式的解集为________ 3．向量，，则在方向上的数量投影为________． 4．已知复数（是虚数单位），则________． 5．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是________ 6．已知数列的前项和为，且满足，，则________． 7．在的二项展开式中，项的系数为________．（用数字作答） 8．已知，，且，则的最小值为________； 9．从正五棱柱的15条棱中任意选取2条棱，若这两条棱异面，则不同选法的种数为________． 10．如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，现计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，在上）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，________度．（结果精确到0.1度） 11．在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点．若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为________． 12．已知集合．将的子集中的元素按从小到大排列为．若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”．规定空集也是“好子集”．记是的“好子集”的个数，则________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13到14题选对得4分，第15到16选对得5分，否则一律得零分． 13．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．函数在上是严格减函数 B．函数在处取得最大值 C．函数在上是严格减函数 D．在区间内的函数值恒为负 15．甲、乙两个转盘均标有数字1，2，3，甲转盘指向1的概率为，指向2，3的概率相等；乙转盘指向1的概率为，指向2，3的概率相等，其中，．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则（ ） A． B． C． D． 16．设是定义在上的连续函数，且满足．令．若是奇函数，则称为“平方奇差函数”．已知为“平方奇差函数”，令．给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个． 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且， ，． （1）求二面角的大小； （2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 18．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 某校举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）学校拟根据成绩划分一二三等奖，现规定分数在前30%的为一等奖，求频率分布直方图中的值，并估计一等奖的分数线（一等奖的分数线四舍五入到0.01）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了10名学生，现从已抽取的10名学生中随机抽取4名，求至多有2名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛结束）．已知每一局比赛中，甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数，，，函数的定义域为． （1）当时，若函数在区间上存在最小值，求的取值范围，并求出该最小值； （2）若函数的图像经过点，且函数的图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点． （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，，求的值； （3）如图，，过作圆的切线，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点、．设，求实数的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设是定义在上的函数．若对任意，，当时，均有，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若分段函数具有性质，且，，求实数，，，的值； （3）已知在上连续且值域为．证明：“是奇函数”的充要条件是“具有性质”． 学科网（北京）股份有限公司 $