上海市延安中学2026-2027学年第一学期十月质量调研高三年级数学试卷

上海市延安中学 2026 学年第一学期十月质量调研 高三年级数学试卷 (考试时间: 120 分钟 满分 150 分) 一、填空题 (本大题共 12 题, 满分 54 分, 第 1 至 6 题每题 4 分, 第 7 至 12 题每题 5 分) 1. 已知集合 ，则 _____. 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 _____. 3. 已知幂函数过点 ，则函数的解析式是_____. 4. 如果圆锥的底面圆半径为 1 , 母线长为 2 , 则该圆锥的侧面积为_____. 5. 若 ( 是虚数单位) 是方程 的一个根,则 _____. 6. 不等式 的解集为_____. 7. 设函数 ,若将 图像向左平移 个单位后, 所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合,则 _____. 8. 已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为_____. 9．如图，已知 、 分别是椭圆C: ( )的左、右焦点，M、N为椭圆上两点，满足 ，且 ，则椭圆C的离心率为_____ . 10. 已知 ,点 是圆 上的动点,则 的取值范围是_____. 11. 已知函数 ,如果 且 ,则 的取值范围为_____. 12.集合 ,函数的定义域为S,值域为S的子集,且满足 ,则这样的函数一共有_____ 个. 二、选择题 (本大题共 4 题, 满分 18 分, 第 13 至 14 题每题 4 分, 第 15 至 16 题 每题 5 分) 13. “ ” 是 “ ” 的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知 ，则下列不等式一定成立的是( ). A. B. C. D. 15. 已知 的内角 所对的边分别为 ,若 ，则 的大小为( ). A. B. C. D. 16. 将数列 中随机剔除两项 、 (其中 , i、 )，然后在原数列中添加一项 叫做数列 的一次变换，那么数列1、 、 、 、 、 经过2025次变换后数列中还剩下的一项为( ). A. 2025 B. 2027 C. 2024 D. 2026 三、解答题 (本大题共 5 题, 满分 78 分) 17. (本题满分 12 分: 第 (1) 小题 6 分, 第 (2) 小题 6 分) 设函数 . (1)当 时，解不等式 ; (2)若 ，且方程 在闭区间 上有实数解，求实数 的取值范围. 18.(本题满分 14 分:第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分) 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，D是棱AB上的一点. (1)若 ，求异面直线 与 所成的角的大小； (2)若 ，求点B到平面 的距离. 19.(本题满分 16 分: 第 (1) 小题 6 分, 第 (2) 小题 6 分, 第 (3) 小题 4 分) 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量, 更是食材烹饪方式简约, 保留食材本来的营养和味道, 近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热, 轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据, 对中国轻食消费者进行抽样调查. 统计其中 400 名中国轻食消费者(表中 4 个年龄段的人数各 100 人)食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 [25,38) [38,51) 51,64 偶尔 1 次 30 15 5 10 每周 次 40 40 30 50 每周 次 25 40 45 30 每天 1 次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在 的消费者称为青少年，年龄在 的消费者称为中老年, 每周食用轻食的频数不超过 3 次的称为食用轻食频率低, 不低于 4 次的称为食用轻食频率高,根据所给数据,完成 列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关; (2)从每天食用轻食 1 次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人. 记这 3 人中年龄在 25,38 )与 [51,64] 的人数分别为 . 求 的分布列与期望； (3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁 3 种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为 ,求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式: . 附: 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. (本题满分 18 分: 第 (1) 小题 4 分, 第 (2) 小题 6 分, 第 (3) 小题 8 分). 已知双曲线 的下焦点为 ,上焦点为 ,点 为 的上顶点. (1)设 为坐标原点， 为 上任意一点，求 的取值范围； (2)设点 ，过点 任意作一条不垂直 轴的直线 交 于两个不同点 、 ,求证: 是定值，并求出这个定值； (3)过 作直线 交 于两个不同点 、 ，若直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，是否存在直线 ，使得 、 面积相等？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由. 21. （本题满分18分。第一小题 4 分，第( 2 )小题 6 分，第( 3 )小题 8分) 定义:如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ，使得 ，则称 为“极值差比函数”，常数 为 的“极值差比系数”. (1)若函数 为“极值差比函数”且 在 上严格增，试判断本题 是否为“极值差比函数”，并说明理由: 是否存在实数 使 的“极值差比系数”为 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； (3)对于(2)中的函数 ，若 ，求: 的“极值差比系数”的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $