2026-2027学年人教版八年级数学上册期中学情自测(B)（第13，14，15章）

2026-2027学年八年级数学上学期期中学情自测(B) (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第15章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。)】 1.如图，在△ABC中，∠A=∠ACB,CD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，若 ∠DCE=39° ∠ECB ,则 的度数为() B A.21° B.22° C.230 D.24° 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和求∠A+∠ACD=51°，由题目条件∠A=∠ACB得∠A=34° 再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可· 【详解】解：CD是△ABC的角平分线 ·∠ACD= ∠ACB 2 :∠A=∠ACB ∴∠ACD=∠BCD= :CE是△MBCe 的高， ∴.∠E=90° 在△ACE中，∠E+∠A+∠ACE=180°， 即∠E+∠A+∠ACD+∠DCE=180° ∠DCE=39°∠E=90° ∴.∠ACD+∠A=180°-90°-39°=51° E2A+∠A=5 .∠A=34° :4cn-4= ∴.∠BCE=∠DCE-∠BCD=39°-17°=22° 2,如图，AD是△ABC的边BC上的中线，E,F分别是AB,AD的中点，若△ACD的面 积为12cn2 则△DEF的面积是(） A 1cm2 8.2cm2 C.3cm2 D. 4cm2 【答案】c 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可· 【详解】解：：MAD是△MBC的边BC上的中线，△MCD的面积为 2cm2 Sm=S.4o=12(cm）; E为AB的中点， 8m=m=6lam） 又F为AD的中点 e-号m-3lam） 3·如图，在R1aABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、 MB于点pQ又分别以pQ为圆心，大于2PO为半径画弧交于点M,连接4M交 BC 于点D.已知 B=5CD=2,则ABD 的面积是（) A.2 B.3 C.4 D.5 I答案】D 【分析)】根据作图痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质可得点D到AB 的距离等于CD的长，再根据三角形面积公式求解即可， 【详解】解：由作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线， 过点D作DE⊥AB于点E, ,即 .∠ACB=90° DC⊥AC ∴DE=CD=2 ∴Sm=)AB-DE=x5x2=5 2 4.如图所示的画图仪"由两根有轨道槽的木条P,QR组成，两根木条在点Q处相连并 可绕点Q转动.另有长度与相等的两根木条Ms.MT,其中木条M的一端5固定在 os MS 木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位 ∠POR ∠PQR=40° 置可改变 的大小.若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足 时，下列判断正确的是() S ▣R M 4. OT=OM B.M平分 QMT C.∠PTM=120° D.∠RMT=120° I答案】D QS=MS=MT∠PQR=40° 【分析】由题意 先由等边对等角得∠0MS=∠S0M=40° 再由外角得∠MST=80°，结合M=MT推出∠SMT=20° 进而得<0M7=60° 最终推 出∠RMT=120°，即可验证得D选项正确· QS=MS=MT∠PQR=40° 【详解】解：由题意得， .OS=MS ∴.∠SQM=∠QMS=40° .∠MST=40°+40°=80° .MS=MT ∴.∠MST=∠MTS=80° .∠SMT=180°-80°-80°=20° ∠QMT=∠QMS+∠SMT=40°+20°=60° ∠QMT+≠∠QTM .QT≠QM,故A选项错误； ∠QMS=40°∠SMT=20° 两角不相等 MS」 ∠QMT 不平分 故B选项错误 '∠MTS+∠PTM=180°，且∠MTS=80° .∠PTM=100°≠120°，故C选项错误； :∠QMT+∠RMT=180°_∠QMT=60° 且 .∠RMT=180°-60°=120°，故D选项正确 5.如图，在△ABC中，∠C=45°，∠B=120°.BC的垂直平分线交BC,AC于点D,E, 的垂直平分线交BAC王 AB 1C于点F,”,若4=6 CE 则的长度是() B A H A.3 B.2 C.2 D.4 I答案】A 【分析】连接BH,BE,根据线段垂直平分线的性质可知AH=BH=6, ∠C=∠CBE=45 ∠BEC=90°BE⊥AC 故可得出 ,即 由三角形外角的性质求出 ∠BHE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论· 【详解】解：如图所示，连接BH,BE B 中 A :△ABC∠C=45°∠ABC=120° .∠A=180°-45°-120°=15° ~FH是MB； AH=6 的垂直平分线， ∴.AH=BH=6 .∠A=∠ABH=15° ∴.∠BHE=30° .DE BC 是的垂直平分线， ∴.BE=CE .∠C=∠CBE ∠C=45°， .∠C=∠CBE=45° .∠BEC=90° E⊥AC 即 在Rt△BEH中 :BH=6∠BHE=30° :.BE=IBH=3 2 .CE=3. 6.如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰△ACD,下列说法正确的是 () 甲 丙 A.甲、乙正确，丙错误 B.甲、丙正确，乙错误 C.乙、丙正确，甲错误 D.甲、乙、丙都正确 I答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图-圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三 角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键，根据圆、线段垂 直平分线、角的尺规作图进行分析即可· 【详解】解：甲图：以点A为圆心，AC为半径作弧，交AB于点D .AD=AC ∴.△ACD为等腰三角形 乙图：作AC的垂直平分线，交AB于点D .AD=DC .△ACD为等腰三角形 丙图：所作的∠A=∠DCA .AD=DC .△ADC是等腰三角形， .甲、乙、丙都正确· 故选：D 7.如图，等边△ABC的边长为8，点D在边AC上，AD=2,过点D作DE∥AB交BC于 点E,连接AE,点F在EC上，连接AF,AF=AE,则EF的长为() A.4 8.3 C.2 0.3 I答案】A 【分析】根据△ABC是等边三角形得AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60°，则CD=6,证 明△DEC是等边三角形得CE=CD=6, 则BE=2.再证明△1CF≌aABE(AMS) 得 CF=BE=2 EF=CE-CF=4 由此可得 【详解】解：等边△ABC的边长为8， .AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60° 点D在边AC上，AD=2 .CD=AC-AD=8-2=6 DEllAB .∠DEC=∠B=60° ∴.∠DEC=∠C=60° △DEC是等边三角形 ..CE=CD=6 .BE=BC-CE=8-6=2 ·AF=AE .∠AEF=∠AFE .∠AFC+∠AFE=180°，∠AEB+∠AEF=180° ∴.∠AFC=∠AEB 在△ACF和△ABE中， [∠AFC=∠AEB ∠C=∠B AF=AE △ACF≌2△ABE(AAS) .CF=BE=2 .EF=CE-CF=6-2=4 8,如图，点P是∠BAC平分线AD上的-点，AC=10,AB=5,PB=3,则PC的长可能 是() D B A.2 B.7 C.8 D.9 I答案】B 【分析】在AC上取AE=AB=5,然后证明△AEP≌△ABP,根据全等三角形对应边相等得 到PE=PB=3,再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】解：在AC上取AE=AB=5,连接PE A B :AC=10 .CE=AC-AE=10-5=5 :点P是∠BAC平分线AD上的一点 .∠CAP=∠BAP AE=AB ∠CAP=∠BAP 在 和 中 △APE△APB AP=AP △APE≌△APB(SAS) .PE=PB=3 …5-3<PC<5+3 解得2<PC<8 观察四个选项，PC的长可能是7 9.如图，BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，且AB∥CD,CE 平分∠4CB交BD于点连接AD下列结论：①∠BDC-3∠BAC;2 2 ∠BEC=90°+∠ABD；3∠CAB=∠CBA;④∠ADB+∠ABC=90°其中正确的为() A.①23 B.①2④ C.②3④ D. ①2③④ I答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质与判定、三角形外角的性质、平行线的性质等知识 的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的 关键。 由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BDC=)∠BAC,进而判定①；由角平分线 2 的定义及平角的定义可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②： 利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD为△ABC外角∠MAC的 平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明∠ADB=∠ACE,再利用平行 线的性质可得结论④. I详解】解：CD平分∠ACF,∠ACF=∠ABC+∠BAC ACD-DCF-CFCBC ·∠DCF=∠DBC+∠BDC= 1 ∠ABC+∠BDC ∠BAC=∠BDC,故①正确， :.2 ·CE平分∠ACB :∠ACE=∠ACB 2 ·∠ACB+∠ACF=180° ∴.∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90° .∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB .AB∥CD .∠CDB=∠ABD .∠BEC=90°+∠ABD,故②正确； BD平分∠CBA .∠CBA=2∠ABD=2∠CDB ·∠BAC=2∠BDC .∠CAB=∠CBA,故③正确； 如图：过D分别作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为G、HK, G M B C KF BD平分∠ABC,CD平分∠ACF .DG=DK,DK=DH, .DG=DH .AD为△ABC外角∠MAC的平分线， .∠MAC=2∠MAD ·∠MAC=∠ABC+∠ACB,∠MAD=∠ABD+∠ADB, ∠ABC=2∠ABD .∠ACB=2∠ADB .∠ADB=∠ACE AB∥CD .∠ABC=∠DCF=∠ACD ·'∠ACE+∠ACD=90° .∠ADB+∠ABC=90°，故④正确 综上，正确的有①②③④. 故选：D 10.已知，在△ABC中，∠ABC=140°，D、E为AC边上的两个动点，其中点D靠近点 A,点A关于直线BD的对称点为点M、点C关于直线BE的对称点为点N,若射线BM 和BN恰好将∠DBE三等分，则∠DBE的度数为() A.105 B.84°或60° C.63°或45 D.84° 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得到对应角相等，结合角三等分的定义，分两种情况设未知数 根据∠ABC=140°列方程求解即可 【详解】解：如图，：射线BM和BN恰好将∠DBE三等分 ∴.设∠DBN=∠NBM=∠MBE=a 由轴对称可得：∠ABD=∠MBD=2a,∠CBE=∠NBE=2a ∠ABC=140° .2a+3a+2a=140° 解得：a=20° .∠DBE=3a=60° 如图， A M 射线BM和BN恰好将∠DBE三等分， ∴.设∠DBM=∠NBM=∠NBE=a 由轴对称可得：∠ABD=∠MBD=a,∠CBE=∠NBE=a ∠ABC=140° .a+3a+=140° 解得：a=28° .∠DBE=3a=84° 综上：∠DBE为84°或60° 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题4分，第16题6分，共26分.) 11.如图，△ABC≌△DCB,∠DBC=40°，则∠AOD= D B 【答案】100 【分析】根据全等三角形性质得出∠ACB=∠DBC=40°，进而求出∠AOD=∠BOC=100° 【详解】解：：△ABC2△DCB,∠DBC=40° .∠ACB=∠DBC=40° ∴.∠A0D=∠B0C=180°-40°-40°=100° 12.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直 两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住 她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m,∠BOC=90°，爸爸在 C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是m, E D 7777777777777777777 【答案】1.5 【详解】解：如图，分别过点B与点C作BM、CN垂直于地面，与地面的交点为点M、 N E B 777777 :∠B0C=90°，∠ODB=∠0EC=90° ∴.∠BOD+∠COE=∠BOD+∠OBD=∠COE+∠OCE=90° .∠OBD=∠COE 在△BOD和△OCE中， ∠OBD=∠COE ∠ODB=∠OEC=90° OB=OC △BOD≌AOCE(AAS) .BD=OE=1.4m OD=CE=1.9m .DE=0D-0E=1.9-1.4=0.5m, OA与地面垂直，即∠OAM=∠OAN=90° ∠ODB=∠OEC=90° 爸爸与妈妈站立时与地面垂直，即∠BMA=∠CNA=90° ∴.四边形ADBM与四边形AECN都是矩形 .AD=BM AE=CN 又妈妈在距地面lm高的B处接住小丽，即BM=lm .AD=Im .AE=AD+DE=1+0.5=1.5m .CN=1.5m 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度为1.5m 3.如图，在平面直角坐标系中，以点0为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点 M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心.大于2MW的长为半径画弧.两弧 在第一象限交于点H,画射线OH,若点H坐标为(2a-3,a+2),则a= M 【答案】5 【分析】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，根据角平分线的性质可得 2a-3=a+2 解方程即可· 【详解】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线 ∴点H到x轴，y轴的距离相等， .2a-3=la+2 '点H在第一象限 .2a-3>0,a+2>0 .2a-3=a+2 解得a=5 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D, 者CE=8 E AE 则线段的长度等于一· E D B 【答案】16 【分析】连接BE,由垂直平分线的性质证得AE=BE,从而证得∠CBE=30°，由含30° 角的直角三角形的性质求出BE的长，即求出了AE的长· 【详解】解：如图，连接BE E .·∠ACB=90°，∠A=30° .∠ABC=60° DE是线段AB的垂直平分线， .AE=BE .∠A=∠ABE=30° .∠CBE=∠ABC-∠ABE=30° 在RIACBE中，CE=8 ∠CBE=30° .BE=2CE=16 ∴.AE=BE=16. 15.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，∠A=32°，∠B=58°，点D在AB上运动，E是 AC BC、DE EF∥BC 上一定点，将三角形 沿所在直线折叠，点A的对应点为F当 时， ∠BDF的度数为 E D B 【答案】154°或26° 【分析】分两种情况：当点F在AC的右边时，当点F在AC的左边时，分别利用平行线 的性质求出∠AEF的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理求解即可： 【详解】解：①当点F在AC的右边时，如图所示， E EF∥BC,∠C=90° ∴.∠FEC=∠C=90° ∴.∠AEF=180°-∠FEC=90° 将△ABC DE】 ∠A=32° 沿所在直线折叠点”的对应点为点 ∠AED=∠FED ∠ADE=∠FDE∠F=∠A=32° ∴4ED=∠FED=X(60-∠AEF)=X(60-09=135 ∴.∠FDE=∠ADE=180°-∠A-∠AED=13 .∠ADF=∠FDE+∠ADE=26° .∠BDF=180°-∠ADF=154° ②当点F在AC的左边时，如图， B dC:EF∥BC∠C=90° ∴.∠AEF=∠C=90° 卷△1BCDE C沿DE所在直线折叠，点A的对应点为点 F ∠ABD=∠FED-ABF=45 ∠ADE=∠FDE .∠BDE=∠A+∠AED=77° .∠FDE=∠ADE=180°-∠BDE=103° .∴∠BDF=∠FDE-∠BDE=26° 综上所述.∠BDF为154°或26° 16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=116°，则∠ACB=°，若点D,E分别 为边AB,BC上的动点，且AD=BE,连接AE,CD,当AE+CD的值最小时，∠AEB的 大小是 D B E 【答案】 32 132° 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理 将△ADC拼接到△BEF,连接AF交BC于点G.推出AE+CD=AE+EF≥AF,当点E与 点G重合时，AE+CD的值最小，据此求解即可. 【详解】解：等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=1I6° ∠ABC=∠ACB=180-116=32 2 如图，将△ADC拼接到△BEF,连接AF交BC于点G, D B 则△ADC≌△BEF. .CD=EFAC=BF∠EBF=∠BAC=II6° .AE+CD=AE+EF≥AF AE+CD 当点E与点G重合时， 的值最小， ∠ABC=32° .∠ABF=∠ABC+∠EBF=32°+116°=148 AB=AC=BF ∠B4F=080p-∠ABr)-=2x080-1489)=16° ∴.∠AGB=180°-∠ABC-∠BAF=180°-32°-16°=132° 即当AE+CD的值最小时，∠AEB的大小是132° 故答案为：32,132° 三、解答题（本题共9小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C,且AC与BD交于点E,那么， (I)△ADE的边DE上的高为 边AE上的高为 9 2)若AB=5:ED=2 CD =5求AB的长， 【答案】(I)AB;DC (2)AB=4.5 【分析】(1)根据三角形高的定义进行判断即可； (2)根据等积法求出AB的长即可. 【详解】(1)解：：AB⊥BD,垂足为BAC⊥CD,垂足为C ·由图形可知：△ADE的边DE上的高为AB,边AE上的高为DC: 1 (2②)解：S0s=2×ExCD- -xDEx AB 1 91 *5 52 x2xAB .AB=4.5 18.如图，在平面直角坐标系中，△MBC各顶点的坐标分别为： A(-2,1)B(-4,5) C(-5,2) 2-1O12345x (1)在图中作△A'B'C',使△AB'C'和△ABC关于y轴对称； 2)写出点A、B'、C的坐标：A'(一，)B(一，)C（一·) (3)点P是轴上一个动点，请在图中画出点P,使得PB+PC最小. 【答案】(1)如图，△A'BC'即为所求 5 4 -3-2-1O12345x B (2)2,1；4,5;5,2 (③)如图，点P即为所求 B 4 3 012345 【分析】(1)分别作出三角形的三个顶点关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； (2)根据图形写出点A、B、C的坐标即可； (3)作出点B关于X轴的对称点B,再连接CB交X轴于点P根据两点之间线段最短求 解. 【详解】(1)略； (2)解：由图可知 A(2,1)B'(4,5)C"(5,2) (3)略 19.如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB,交BC于E;F为AB边上一点， 连接DF并延长，交CB的延长线于G,且∠DFA=∠A. B (1)求证：DE平分∠CDF: 2)若∠C=80°，∠ABC=60°，求∠G的度数 I答案】（①）证明：DE∥AB ∴.∠EDF=∠DFA,∠CDE=∠A 又∠DFA=∠A .∠EDF=∠CDE .DE平分∠CDF; (2)∠G=20° 【分析)(I)根据DEAB,得出∠EDF=∠DFA,∠CDE=∠A,结合∠DFA=∠A, 得出∠EDF=∠CDE,即可证明； (2)在△ABC中，根据三角形内角和为180°求出∠A,则∠DFA=∠A=40°，根据对顶角 相等，得∠BFG=∠DFA=40°，再根据三角形外角的性质求解即可· 【详解】(1)略 (2)解：在△ABC中，∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-80°-60°=40° ∴.∠DFA=∠A=40° ∴.∠BFG=∠DFA=40° .∠ABC=∠G+∠BFG .∠G=∠ABC-∠BFG=60°-40°=20°， 20.证明命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半， B 已知：如图△ABC中，∠ABC=90° 求证： 证明 请根据图形，补充完整：已知、求证，并写出详细证明过程· 【答案】已知：如图△ABC中，∠ABC=90°，点O为AC边的中点. 1 求证：BO=AC 2 证明：延长BO到D使BO=DO,连接AD,CD,则BD=2OB D 点O为AC边的中点 .A0=C0 .·BO=DO,∠AOB=∠COD △AOB≌ACOD(SAS) ∴.AB=CD,∠ABO=∠CDO .AB∥CD .∠ABC=∠BCD=90° ·BC=CB △ABC≌ADCB(SAS) .AC=BD .AC=BD=20B 2 【分析】延长BO到D使BO=DO,连接AD,CD,先证明 AOB≌aCOD(SAS) 得到 AB=CD.∠AB0=∠CD0再证明△MBC≌△DCB(SAS).得到4C=BD=20B 即可 得到B0=AC 2 【详解】解：略· 21.如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF (1)求证：DE=DF; (2)已知AC=12,BE=2,求AB的长. I答案】(I)证明：：DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠E=∠DFC=90° 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD=CD BE=CF .Rt△BED≌Rt△CFD(HL) ∴.DE=DF; (2)8 【分析)】(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出 Rt△BED≌Rt△CFD 推出DE=DF (2)根据全等三角形的性质得出AE=AF,由线段的和差关系求出答案， 【详解】(1)略 (2)解：AC=12,BE=2,BE=CF ∴.AF=AC-FC=AC-BE=10 在Rt△ADE和Rt△ADF中」 (DE=DF AD=AD ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) ..AE=AF=10 .AB=AE-BE=8 22.王晓想测量一棵树的高度AB,如图，树干AB上的C处开始有分枝长出，王晓在地面 上的点D处测得∠CDB=45°，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点P处时，恰好 测得PA=PE,PC=PD,且A、P、D三点在一条直线上，C、P、E三点在一条直线 上，点E在BD的延长线上，若BD=6米，DE=5米，AB⊥BE于点B,请你求出这棵树 的高度AB D 【答案】11米 【分析】先根据∠CDB=45°和AB⊥BE判定△CBD为等腰直角三角形，得到BC=BD; 再利用对顶角相等结合已知边相等，用SAS证明△PAC≌aPDE,推出AC=DE;最后由线 段和差关系得到AB=BE,代入线段长度计算出树高. 【详解】解：∠CDB=45°，∠CBD=90° .△CBD是等腰直角三角形 .BC=BD 在△PAC与△PDE中， PA=PE ∠APC=∠EPD PC=PD △PAC2△PED(SAS) .AC=DE .AC+CB=DE+BD,即AB=BE :BD=6米，DE=5米 .BE=BD+DE=6+5=11(米)， .AB=BE=11米， 答：这棵树的高度AB为11米. 23.如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动(D不与 C重合)，连接D,作4DE=50°，DE与MC交于E B C (1)当∠ADB=II0°时，∠BAD=°，∠DEC=;当点D从B向C运动时. ∠ADB逐渐变 (填大”或小") (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由· 【答案】(1)20,110°，小 (2)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为100°或115 【分析】(1)根据三角形内角和定理可求出∠BAD=20°，∠BAC=80°，根据角的和差关 系得出∠DAE=60°，利用三角形外角的性质可求出∠DEC=1I0°，根据三角形内角和定理 结合点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大，即可得出∠ADB逐渐变小； (2)分AE=AD、AE=DE及AD=DE三种情况，利用等腰三角形的性质及三角形外角 性质分别求解即可· 【详解】(1)解：：∠ADB=110°，∠B=50° .∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-110°=20° ·∠B=∠C=50° .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80° ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-20°=60° .∠ADE=50° ∴.∠DEC=∠DAE+∠ADE=60°+50°=110° 在△ADB中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-∠BAD=130°-∠BAD ,点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大， .∠ADB逐渐变小. (2)解：当AE=AD时， .∠ADE=50° .∠DAE=180°-2∠ADE=80° 由(1)可知，∠BAC=80° 点D、E分别与B、C重合，不符合题意，此种情况不存在 当AE=DE时，则∠DAE=∠ADE=50° .∠BDA=∠DAE+∠C=50°+50°=100° 当AD=DE时∠D1B=∠AED=080P-乙1Dg)=)x080-50=65 .∠BDA=∠DAE+∠C=65°+50°=115° 综上所述：△ADE的形状是等腰三角形，∠BDA的度数为100°或1I5°， 24.直线I经过等边△ABC的顶点A.作点B关于I的对称点B',直线CB与直线I交于点P B 图1 备用图 备用图 (1)当直线1在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出∠BAP与∠BCP的数量关系 ③连接PB,求证：PC=PA+PB, (2)若直线绕着点A转动，转动过程中与线段BC始终没有公共点，借助备用图探究并直接 写出∠BAP与∠BCP的数量关系，以及线段PA,PB,PC之间的数量关系 【答案】(1①如图 ② ③证明：证明：在 B ∠BAP=∠BCP PC 上截取PN=PB,连接BN,如图， A 由②得∠BPC=60° △PBN是等边三角形 .PB=BN,∠PBN=60° △ABC是等边三角形， AB=BC,∠ABC=60° ∴.∠CBN=∠ABC-∠PBC=6O°-∠PBC,∠ABP=∠PBN-∠PBC=6O°-∠PBC .∠ABP=∠CBN 在△ABP和△CBN中， AB=BC ∠ABP=∠CBN PB=BN △ABP≌ACBN(SAS) .PA=NC .·PC=PW+NC .PC=PB+PA: (2)当直线/能与线段CB的延长线相交时，∠BAP=∠BCP,PC=PB+PA;当直线/能与 线段BC的延长线相交时，∠BAP+∠BCP=18O°，PB=PC+PA. 【分析】(1)①按照作点B关于/的对称点B',连接CB与/交于P的步骤补全图形， ②利用对称性质和等边三角形性质，结合角的运算推导∠BAP与∠BCP的数量关系； ③采用截长补短法，在C上截取一段等于PB,构造等边三角形.再利用全等三角形证明 线段关系； (2)类似(1)的思路，结合对称和等边三角形性质，分析转动时角和线段的关系即可· 【详解】(1)解：①略 ②∠BAP=∠BCP,理由如下： 连接AB',连接BP并延长BP交AB于点H,AB交PC于O, A B' B 点B与B关于直线/对称 .AB'=AB,∠ABP=∠AB'P,B'P=BP,∠B'AP=∠BAP △ABC是等边三角形 .∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=AB' .∠ACB'=∠AB'P=∠ABP ·∠BPO+∠ABP+∠BOP=∠ACB'+∠AOC+∠BAC=180°，且∠AOC=∠BOP .∠BPO=∠BAC=60° .∠OPH=180°-∠BPO=120° 在△AB'O和△ABH中， ∠AB'O=∠ABH AB'=AB ∠B'AO=∠BAH' △AB'O≌△ABH(ASA) .AH=AO,∠AOP=∠AHP ·.∠PAH=∠PAO 在△PAH和△PAO中 [∠AHP=∠AOP AH=A0 ∠PAH=∠PAO △PAH≌△PAO(ASA) 1 .∠APH=∠APO=5∠OPH=60°=∠ABC :∠ABC+∠BOC+∠BCP=∠APO+∠AOP+∠BAP=180°，且∠AOP=∠BOC .∠BAP=∠BCP: ③略 (2)解：当直线/能与线段CB的延长线相交时，∠BAP=∠BCP,PC=PB+PA;当直线 /能与线段BC的延长线相交时，∠BAP+∠BCP=18O°，PB=PC+PA.理由如下： 当直线/与线段BC平行时，由(1)可得点A,P重合，∠BAP及PA不存在，不符合题意： 当直线/能与线段CB的延长线相交时，如图， 由(1)得∠BAP=∠BCP,PC=PB+PA: 当直线/能与线段BC的延长线相交时，如图，连接AB,AC交BP于O, B' A ò 点B与B关于直线/对称 .AB'=AB,∠ABP=∠AB'P,B'P=BP,∠B'AP=∠BAP,∠B'PA=∠BPA ·△ABC是等边三角形 .∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=AB .∠ACB'=∠AB'P=∠ABP ·∠BAO+∠ABP+∠BOA=∠ACB+∠BPC+∠POC=180°，且∠AOB=∠COP .∠BAC=∠BPC=60° .∠BPB=180°-∠BPC=120° 、∠APB=∠APB=∠BPB=60° .∠APC+∠ABC=∠APB+∠BPC+∠ABC=60°+60°+60°=180° .∠BAP+∠BCP=360°-∠APC-∠ABC=180°； 在PB上截取PW=PC,连接CN,如图， B .·∠BPC=60° ∴.△PCN是等边三角形， .PC=CN,∠PCN=60° :△ABC是等边三角形 .AC=BC,∠ACB=60° .∠BCN=∠ACB-∠NCA=60°-∠NCA,∠ACP=∠PCN-∠ACN=60°-∠NCA .∠ACP=∠BCN 在△ACP和△BC中， AC=BC ∠ACP=∠BCN PC=CN △ACP≌ABCN(SAS) ..PA=NB ·PB=PN+NB .PB=PC+PA; 25.探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 B ● D B B E 图① 图② 图③ 问题探究 (1)如图①，在直线/的同侧有A,B两点，在直线/上画出一点P,使得PA+PB的值最小； (2)如图②，已知在等边△ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且满足 DE=EF ∠DEF=60 BE=CF ,求证： 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖△ABC,如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道 点D、E分别在边AB、BC上，满足AD=2BE;以DE为边作等边△DEF,点F在△ABC 内部；计划在AF和FG处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到AC的距离为15 米，灯带每米造价180元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的 最少费用是多少元？ 【答案】（①）如图，点P为所求 B 图① (2)证明：△ABC是等边三角形 .∠DBE=∠ECF=60° ∴.∠BED+∠BDE=120° :∠DEF=60° .∴.∠BED+∠CEF=120° ∴.∠BDE=∠CEF 在△BDE和△CEF中 ∠DBE=∠ECF ∠BDE=∠CEF DE=EF ∴.△BDE≌aCEF(AAS) ∴.BE=CF; 3)2700元. 【分析】(1)过点A作关于直线/的对称点A'(过点A作关于直线/的垂线，以垂足为圆 心，垂足到点A的距离长为半径在直线/的另一侧画弧，交垂线于点A'),连接A'B交直 线/于点P,即可使得PA+PB的值最小； (2)由∠BED+∠BDE=120°和∠BED+∠CEF=120°可得LBDE=LCEF,从而 ABDE≌ACEF(AAS) 故BE=CF: (3)延长CF交AB于点H,连接BF,过点F作FM∥AC交BC于点M,连接BG,故 ∠EMF=∠BCA=6O°∠MFC=∠FCGL∠BED+∠BDE=120°∠BED+∠MEF=1209 ,由 和 得∠BDE=∠MEF,故△DBE≌△EMF(AMS).故BB=MF,DB=EM,由AB=BC和 AD-2BE BE-MC. MF=MC∠MCF=30° ∠BHC=90° 得 而 ,故 ,从而 因此 CH⊥AB A CH AF+FG 故点作关于H的对称点为B,由(1)得 BG G 的最小值为，由点 是AC的中点得BG⊥AC,BG=15米计算可得安装灯带的最少费用， 【详解】(1)略； (2)略； (3)解：如图③，延长CF交AB于点H,连接BF,过点F作FM∥AC交BC于点M, 连接BG H F G D B EM 图② ∴.∠EMF=∠BCA=60°∠MFC=∠FCG △ABC 是等边三角形 .∠DBE=∠EMF=6O°AB=BC ∴.∠BED+∠BDE=120° :△DEF是等边三角形 .∠DEF=6O°，DE=EF ∴.∠BED+∠MEF=120° ∴.∠BDE=∠MEF 在△DBE和△EMF中 ∠DBE=∠EMF ∠BDE=∠MEF DE=EF ∴.△DBE≌△EMF(AAS) ∴.BE=MF,DB=EM, 又：AB=BC,AD=2BE .AD+DB=BE+EM+MC 2BE+EM=BE+EM+MC 即 ..BE=MC ..MF=MC ∴.∠MFC=∠MCF ∠MCF=∠FCG= 2∠BCA=30 ∴.∠BHC=180°-60°-30°=90° ∴.CH⊥AB ∴.AH=BH ·点A作关于CH的对称点为B :点F在CH上， 在△FHA和△FHB中 AH BH ∠FHA=∠FHB=90° FH-FH :∴.△FHA≌△FHB(SAS) ∴AF=BF ∴.AF+FG=BF+FG≥BG B、F、G 当且仅当点 三点共线时，取等号 点是 的中点， .BG⊥AC ..BG AC 15 为边上的高，长度为米 ∴.安装灯带最短为15米 15×180=2700 元 答：安装灯带的最少费用是2700元. 2026-2027学年八年级数学上学期期中学情自测(B) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第15章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条，组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动，另有长度与相等的两根木条，，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足时，下列判断正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 5．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 6．如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 7．如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点P是平分线上的一点，，则的长可能是（     ） A．2 B．7 C．8 D．9 9．如图，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．已知，在中，，、为边上的两个动点，其中点靠近点，点关于直线的对称点为点、点关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则的度数为（     ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题4分，第16题6分，共26分．） 11．如图，，，则_________． 12．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 13．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若点坐标为，则_______． 14．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 15．如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 16．如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本题8分)如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 18．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 19．(本题8分)如图，中，为边上一点，过作，交于为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 20．(本题10分)证明命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半．    已知：如图中，，___________． 求证：___________ 证明： 请根据图形，补充完整：已知、求证，并写出详细证明过程． 21．(本题10分)如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 22．(本题10分)王晓想测量一棵树的高度，如图，树干上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 23．(本题13分)如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 24．(本题13分)直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 25．(本题14分)探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期期中学情自测(B) 一、 选择题 题号 3 4 6 8 9 10 答案 B C D D D A B D B 填空题 题号 11 12 13 14 15 16 答案 100 1.5 5 16 154°或26° 32 132° 三、解答题 17.【详解】(1)解：AB⊥BD,垂足为BAC⊥CD, 垂足为C, 由图形可知：△ADE的边DE上的高为AB,边AE上的高为DC (2)解：“S。4D= xAEXCD=1xDEXAB 1 1 91 二×5x-=二x2×AB 52 .AB=4.5 18.【答案】(1)如图，△AB'C即为所求 3 012345 2)解：由图可知 A(2,1)B'(4,5)C"(5,2) (3)如图，点P即为所求 B 3 2- 012345 19.【详解】(I)证明：·DE∥AB,.∠EDF=∠DFA,∠CDE=∠A 又∠DFA=∠A .∠EDF=∠CDE .DE平分∠CDF; (2)解：在△ABC中，∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-80°-60°=40° ∴.∠DFA=∠A=40° .∠BFG=∠DFA=40° :∠ABC=∠G+∠BFG .∠G=∠ABC-∠BFG=60°-40°=20°. 20.【答案】已知：如图△ABC中，∠ABC=90°，点O为AC边的中点. 求证：BO= 证明：延长BO到D使BO=DO,连接AD,CD,则BD=2OB 点O为AC边的中点 ..A0=CO ·BO=DO,∠AOB=∠COD △AOB≌ACOD(SAS) .AB=CD,∠ABO=∠CDO .AB∥CD .∠ABC=∠BCD=90° BC=CB △ABC≌ADCB(SAS) .AC=BD .AC=BD=20B :.8O=TAC 2 21.【答案】(1)证明：：DE⊥AB,DF⊥AC ∠E=∠DFC=90° 在Rt△BED和Rt△CFD中， (BD=CD BE=CF ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(HL) :DE=DF; (2)解：AC=12,BE=2,BE=CF ..AF=AC-FC=AC-BE=10 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (DE=DF AD=AD ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) ..AE=AF=10 ∴.AB=AE-BE=8 22.【详解】解：：∠CDB=45°，∠CBD=90° .△CBD是等腰直角三角形 .BC=BD 在△PAC与APDE中 PA=PE ∠APC=∠EPD PC=PD △PAC≌△PED(SAS) .AC=DE .AC+CB=DE+BD,即AB=BE BD=6米，DE=5米 .BE=BD+DE=6+5=11(米)， .AB=BE=11米 答：这棵树的高度AB为11米 23.【详解】(1)解：·∠ADB=110°，∠B=50° .∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-110°=20° ∠B=∠C=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80° ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-20°=60° :∠ADE=50° .∠DEC=∠DAE+∠ADE=60°+50°=110° 在△ADB中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-∠BAD=130-∠BAD 点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大， .∠ADB逐渐变小. (2)解：当AE=AD时， :∠ADE=50° .∠DAE=180°-2∠ADE=80° 由(1)可知，∠BAC=80° .点D、E分别与B、C重合，不符合题意，此种情况不存在 当AE=DE时，则∠DAE=∠ADE=50° ∴.∠BDA=∠DAE+∠C=50°+50°=100° 当AD=DB时.∠DME=∠ABD=030°-乙1D9)=)x080°-50m=65 .∠BDA=∠DAE+∠C=65°+50°=115° 综上所述：△ADE的形状是等腰三角形，∠BDA的度数为100°或115° 24. B 【答案】(1①如图 ②∠BAP=∠BCP理由如下： 连接AB',连接BP并延长BP交AB于点H,AB交PC于O, A H B B C 点B与B关于直线/对称 .AB'=AB,∠ABP=∠AB'P,B'P=BP,∠BAP=∠BAP ·△ABC是等边三角形 .∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=AB .∠ACB'=∠AB'P=∠ABP :∠BPO+∠ABP+∠BOP=∠ACB'+∠AOC+∠BAC=18O°，且∠AOC=∠BOP, .∠BPO=∠BAC=60° .∠OPH=180°-∠BP0=120° 在△AB'O和△ABH中 [∠AB'O=∠ABH AB'=AB ∠BAO=∠BAH' △AB'O≌△ABH(ASA) ∴.AH=AO,∠AOP=∠AHP ∠PAH=∠PAO 在△PAH和△PAO中 [∠AHP=∠AOP AH=A0 ∠PAH=∠PAO △PAH≌APAO(ASA) 1 .∠APH=∠APO=5∠OPH=60°=∠ABC ·:∠ABC+∠BOC+∠BCP=∠APO+∠AOP+∠BAP=180°，且∠AOP=∠BOC .∠BAP=∠BCP: ③证明：证明：在PC上截取PN=PB,连接BN,如图， 力 B 由2得∠BPC=60° .△PBW是等边三角形 .PB=BN,∠PBN=60° ·△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=60° .∠CBN=∠ABC-∠PBC=6O°-∠PBC,∠ABP=∠PBN-∠PBC=6O°-∠PBC .∠ABP=∠CBN 在△ABP和△CBN中， AB=BC ∠ABP=∠CBN PB=BN △ABP≌ACBN(SAS) ..PA=NC ·PC=PW+NC .PC=PB+PA; (2)解：当直线/能与线段CB的延长线相交时，∠BAP=∠BCP,PC=PB+PA;当直线 /能与线段BC的延长线相交时，∠BAP+∠BCP=180°，PB=PC+PA.理由如下： 当直线/与线段BC平行时，由(1)可得点A,P重合，∠BAP及PA不存在，不符合题意： 当直线/能与线段CB的延长线相交时，如图， B 力 B 由(1)得∠BAP=∠BCP,PC=PB+PA: 当直线/能与线段BC的延长线相交时，如图，连接AB,AC交BP于O, B 点B与B关于直线/对称 .AB'=AB,∠ABP=∠AB'P,B'P=BP,∠B'AP=∠BAP,∠B'PA=∠BPA ·△ABC是等边三角形 ∴.∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=AB' .∠ACB'=∠AB'P=∠ABP :∠BAO+∠ABP+∠BOA=∠ACB'+∠BPC+∠POC=I80°，且∠AOB=LCOP .∠BAC=∠BPC=60° .∠BPB=180°-∠BPC=120° ·∠APB=∠APB= 2∠BPB'=60 .∠APC+∠ABC=∠APB+∠BPC+∠ABC=60°+60°+60°=180° .∠BAP+∠BCP=360°-∠APC-∠ABC=180°： 在PB上截取PN=PC,连接CN,如图， B D ·∠BPC=60° .△PCN是等边三角形 .PC=CN,∠PCN=60° △ABC是等边三角形 .AC=BC,∠ACB=60° ∴∠BCN=∠ACB-∠NCA=60°-∠NCA,∠ACP=∠PCN-∠ACNW=60°-∠NCA .∠ACP=∠BCN 在△ACP和△BCN中， AC=BC ∠ACP=∠BCN PC=CN △ACP≌ABCN(SAS) .PA=NB ·PB=PN+NB .PB=PC+PA; 25.【答案】(1)如图，点P为所求； 图① (2)证明：：△ABC是等边三角形 .∠DBE=∠ECF=60° ∴.∠BED+∠BDE=120° :∠DEF=60° :.∠BED+∠CEF=120° ∴.∠BDE=∠CEF 在ABDE和△CEF中， ∠DBE=∠ECF ∠BDE=∠CEF DE=EF ∴.ABDE≌ACEF(AAS) ..BE=CF; (3)如图，延长CF交AB于点H,连接BF,过点F作FM∥AC交BC于点M,连接BG H G D B EM 图② .∠EMF=∠BCA=60°∠MFC=∠FCG △ABC 是等边三角形 ∴.∠DBE=∠EMF=6O°AB=BC ∴.∠BED+∠BDE=120° :△DEF是等边三角形 ∴∠DEF=6O°，DE=EF, ∴.∠BED+∠MEF=120° ∴.∠BDE=∠MEF 在△DBE和△EMF中， '∠DBE=∠EMF ∠BDE=∠MEF DE=EF ∴.△DBE≌△EMF(AAS) .BE=MF DB=EM 又：AB=BC,AD=2BE .AD+DB=BE+EM+MC 2BE+EM BE+EM+MC 即 ..BE=MC ..MF=MC ∴.∠MFC=∠MCF ∠MCF=∠FCG-2∠BCA=30 ∴.∠BHC=180°-60°-30°=90° ∴.CH⊥AB :.AH=BH, ∴·点A作关于CH的对称点为B, ~点F在CH上 在△FHA和△FHB中 AH=BH ∠FHA=∠FHB=90° FH=FH :∴.△FHA≌△FHB(SAS) ∴.AF=BF ∴.AF+FG=BF+FG≥BG B、F、G 当且仅当点 三点共线时，取等号 AC 点是 的中点， .BG⊥AC ,∴.BG,AC 15 为“边上的高，长度为米 ∴安装灯带最短为15米， 15×180=2700 元 答：安装灯带的最少费用是2700元