13.长春市2026年初中学业水平考试第二次模拟考试-【中考123】备战2027年中考数学模拟试题精编（吉林专版）

XUESHENG ZHONGKAO BIBE 列说法正确的是 13.长春市2026年初中学业水平考试 A.通过一次平移变换即可实现 第二次模拟考试 B.通过一次旋转变换即可实现 C.通过一次轴对称变换即可实现 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在 D.上述单一变换都无法实现 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.-2026的相反数是 A.2026 B.-2026 Cz06 D.-2026 7题图 8题图 2.长春市马拉松赛事定于2026年5月17日上午7：30 8.如图，一次函数y=x+b(b>0)的图象与反比例函 鸣枪开跑，本届马拉松赛事全程约42000米.其中 数y= (k>0)的图象交于A、B两点，C为线段AB 42000这个数用科学记数法表示为 x ( A.4.2×103 B.4.2×104 的中点.若点C的坐标为(m,n),则 C.4.2×10 D.42×10 A.m+n>0 B.m+n<0 C.m+n=0 3.《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得四千 D.m-n=0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 九十六.八人分之，人得…”将其大意用数式表示 为(8×8)×(8×8)÷8，其结果为 () 9.比较大小：2 √3.（填“>”“<”或“=”） A.23 B.26 C.28 D.29 10.分解因式：a2+a= 11.2x与1的和小于零，用不等式表示为 4.如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC,若∠1=35°， 12.六边形的外角和为 度 则∠BAF的度数为 ( 13.甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他 A.17.5° B.35° C.559 D.70° 们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如表： 学生 平均数 方差 Q.I: 甲 9.5 0.02 乙 9.5 0.05 Q 则测试成绩更稳定的学生是 .(填“甲”或 4题图 5题图 “乙”) 5.如图，山区公路管理处在山顶观景台P处架设了监 14.如图，⊙0为等边三角形ABC的外接圆，D为BA延 测设备，从P处测得山下公路上事故点Q的俯角为 长线上一点，连结DC与⊙O交于点E,连结EA, a.已知设备点P到事故点Q的直线距离PQ为 EB.给出下面四个结论： 800米，观景台正下方的山脚点为R,则事故点Q到 ①LAEB=∠BEC=60; 山脚点R的水平距离QR为 ②△DAC≌△DEB; A.800sina米 B米 ③△DAE∽△DCB; ④若BE是⊙0的直径，则∠D=30°. C.800cosa米 D.800tana米 上述结论中，正确结论的序号有 6.下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是( A.y=x+1 B.y=-x+1 C.y=x2+1 D.y=-x2+1 7.如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中 ①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角 形.要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下 14题图 三、解答题：本题共10小题，共78分。 18.(7分)在争创全国卫生城市的活动中，某市“青年 15.(6分)先化简，再求值：x2+(x+1)(x-1),其中 突击队”决定义务清除80吨的垃圾.开工后，附近 x=√2 邻居主动参加到义务劳动中，使清除垃圾的速度变 为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务.求 原计划平均每小时清除多少吨垃圾。 16.(6分)如图，两条完全相同的绳子AA1,BB1穿过一 19.(7分)如图，A、C是直线1同侧的两点，AB⊥1， 块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选 CD⊥L,垂足分别是点B,D,并且AB=CD.求证： 该边的一段绳子.已知每边每段绳子被选中的机会 AC∥u. 均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选 中同一条绳子的概率. 姐姐 妹妹 19题图 16题图 20.(7分)某校要了解学生平均每天上学路上所花费 的时间，从全校学生中随机抽取30名学生进行调 查，将收集到的数据制作成如下的条形统计图. 17.(6分)图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小 抽取的30名学生上学路上所花费时间的条形统计图 频数 正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格 10 点.点A在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定 8 的网格中按下列要求作图. (1)在图①中，画线段AB,使AB=√5，且点B在格 点上； 2 (2)在图②中，画等腰三角形ACD,点C、D在格点 0 1015202530时间/分钟 上，且三边长均为无理数 20题图 根据以上信息，回答下列问题： A (1)假如老师在抽取的30名学生中随机地问一名 学生上学路上所花费的时间，老师最可能得到 17题图① 17题图② 的回答是 分钟； (2)该校共有600名学生，估计其中平均每天上学 2 路上所花费的时间超过20分钟的学生人数； (3)从全校学生中再随机抽取一名学生.若该学生 平均每天上学路上所花费的时间为15分钟，将 这个数据加入到原数据中，得到一组新数据.下 列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的 是 (填序号). ①平均数②中位数③众数 21.(8分)清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前 往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后， 继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的 距离y(千米)与离开家的时间x(小时)之间的函数 关系如图所示 (1)小刚在服务区休息了 小时； (2)求BC所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离 开家 小时 +y/千米 280.. 80- A B 0 1 2 4x小时 21题图 2.(9分)【定义】对于给定的一个大于0°且小于180° 的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这 个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的 内切圆.例如：如图①，⊙01、⊙O2都与∠BAC的两 边相切，所以⊙O1、⊙O2都是∠BAC的内切圆. 【探究】已知⊙O是∠BAC的一个内切圆.求证：点 O在∠BAC的平分线上. 以下是小明的部分证明过程： 证明：因为⊙0是∠BAC的一个内切圆， 不妨设⊙0与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连结OA、OD、OE. 请你帮助小明完成上述证明过程。 【应用】如图③，⊙O是∠BAC的一个内切圆，连结 0A.若∠BAC=120°，0A=2,则⊙0的周长为 【拓展】如图④，∠BAC=60°，点N在边AB上，AN =8.若⊙O是∠BAC的一个内切圆，以点N为圆 心，N0的长为半径作圆，则⊙N面积的最小值为 B C 22题图① 22题图② B B N 22题图③ 22题图④ 23.(10分)如图①，直线a∥b∥c(直线b在直线a、c! 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原 之间)，直线l被这组平行线所截，与直线a、b、c分 点.点P在直线y=3上，其横坐标为m,作射线 别交于点A、E、B(点A在点B的右上方).点D是 OP,将射线OP绕点0顺时针旋转90°，旋转后的 直线b上不与点E重合的动点，连结AD并延长交 射线交抛物线y=-x2+2x+3于点Q,连结0Q,以 直线c于点C,连结BD.若直线I与直线c所成锐 OP、OQ为邻边作矩形OPMQ. 1 角为，cosQ=3,AB=4,BE=2, (1)求抛物线的对称轴及与y轴的交点坐标； (2)连结PQ,当PQ∥x轴时， (1)求识的值： ①点Q的坐标为 (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D,使 ②味6的值： BD=2CD(不写作法，保留作图痕迹，作图确定 (3)设矩形OPMQ的边与坐标轴相交于点C,连结 后必须用黑色的签字笔描黑)； OC.过点Q作0C的垂线与矩形OPMQ的边交 (3)当点C在点B右侧，且△ABD∽△ACB时，求线 于点D.连结QD,当QD=20C时，直接写出m 段AD的长； 的值 (4)作点B关于直线AC的对称点B',连结BB',设 线段BB'交直线b于点M.当点B'落在直线a 上时，直接写出线段BM的长， P y=3 y=-x2+2x+3 B/ 24题图 23题图① 23题图②如答图①，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF,连接DF, GB D 21题答图① .∠BAC=60°，AB=AC, .△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60° .将△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF, ∴.∠BAF=∠CAE,AF=AE ∠BAC=2∠DAE,∠BAC=60°， ∴.∠DAE=30°， .∠BAD+∠CAE=60°-30°=30°， ∴.∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=30°， ∴.∠DAF=∠DAE. 在△ADF和△ADE中， AF=AE, ∠DAF=∠DAE, AD =AD, .△ADF≌△ADE(SAS) 过点F作FG⊥CB交CB的延长线于点G,如答图①. .将△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF .∠C=∠ABF=60°， .∠DBF=∠ABC+∠ABF=60°+60°=120°， .∴.∠FBG=60° .∠BFG=30°. .△ADF≌△ADE, ∴.BF=CE=2,DF=DE, .BG-BF-1. 在Rt△BFG中，由勾股定理，得FG=√BF2-BGC=√22-12 =5, ∴.DG=BG+BD=2 在Rt△DGF中，由勾股定理，得DE=DF=√DG+FG= 22+(5)2=7 【思维拓展】解：DE=√6.理由如下： 如答图②，设∠BAC=a,将△ACE绕点A顺时针旋转α得 △ABF,连接DF. F GBD 21题答图② .AB=AC,LBAC=a, LaBc=∠c=2(180-）=90-2a 1 ·.将△ACE绕点A顺时针旋转a得△ABF, ∴.AF=AE,∠BAF=∠CAE. ∠BAC=2LDAE,LBAC=a, 1 :.LDAE=2, 1 1 LBAD+∠CME=a-2=2a, 六∠BAD+∠BAF=LBAD+LCAE= 2, ∴.∠DAF=∠DAE. 在△ADF和△ADE中， AF=AE, ∠DAF=∠DAE, LAD =AD, ∴.△ADF≌△ADE(SAS). 过点F作FG⊥CB交CB的延长线于点G,如答图②. .·将△ACE绕点A顺时针旋转a得△ABF, ∠C=∠ABF=90-2a,BF=CB=2, ∠DBF=∠Ac+∠hABF=90-2a+90-7a=180P-a, ∴.∠FBG=a .△ADF≌△ADE,.DF=DE. cos∠BMC=子，即asa=子 1 BG、1 BF=4, .BG=2 .在Rt△BFG中，由勾股定理，得FG= DG-BG+BD- 当0<n≤4时，L随n的增大而增大； ∴.在Rt△DGF中，由勾股定理，得DE=DF=√DG+FG= 当n>n即子<n<u时，l=(a-t+5)n-(-n+5n)=2n2- V3)+(y=6 m=2a-4）-5 22.解：(1)把(5,0)代人y=-x2+bx,得-52+5b=0, 解得b=5. ~2>0,对称轴为直线n=4, (2)由(1)知y=-x2+5x, 当；<n<:时，L随n的增大而增大， 当m=4时，∴y=-42+5×4=4, .A(4,4) 综上，当0<n≤或号<n<t时，L随n的增大而增大 设直线OA的函数解析式为y=x(k≠0)， 13.长春市2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 将A(4,4)代入，得4=4，解得k=1, 1.A2.B3.D4.B5.C6.B7.A .∴.直线OA的函数解析式为y=x. 8.C[解析]由题意，联立方程x+b=k y-6=,得+m 2 根据题意，得C(n,n),B(n,-n2+5n), k=0,y2-by-k=0,xA+xB=-b,yA+yB=b.C为线段AB 当n>4时，L=n-(-n2+5m)=n2-4n; 当0<n<4时，L=-n2+5n-n=-n2+4n. 的中点，且点C的坐标为(m,),m-产=-宁，n 2 -n2+4n(0<n<4), 综上，L= n2-4n(n>4). ”=之，m+n=0故选C 2 (3)当0<n<4时，L=-n2+4n=-(n-2)2+4. 9.>10.a(a+1)11.2x+1<012.36013.甲 :-1<0,对称轴为直线n=2, 14.①③④[解析]·△ABC是等边三角形，.∠ACB=∠BAC= ∴.当0<n≤2时，L随n的增大而增大； ∠ABC=60°，AB=AC,.∠AEB=∠ACB=60°，∠BEC= 当n>4时，L=n2-4n=(n-2)2-4. ∠BAC=60°，∴.∠AEB=∠BEC=60°，故①正确；，∠ACB≠ ,1>0,对称轴为直线n=2, ∠BCE,∴.BE≠AB,∴.BE≠AC,,△DAC≌△DEB不成立，故 ∴.当n>4时，L随n的增大而增大 ②错误；四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴.∠BAE+ 综上，当0<n≤2或n>4时，L随n的增大而增大. ∠BCE=180°.又.∠BAE+∠DAE=180°，∴.∠DAE=∠BCE. (4)由(1)知，y=-x2+5x, 又∠D=∠D,∴.△DAE∽△DCB,故③正确；当BE是⊙O的 ∴.A(m,-m2+5m). 直径时，∠BCE=90°.又.·∠ABC=60°，∴.∠D=90°-∠ABC= 设直线OA的函数解析式为y=x(k≠0)， 30°，故④正确；∴.正确的有①③④. 将A(m,-m2+5m)代人，得mk=-m2+5m, 15.解：原式=x2+x2-1=2x2-1. 解得k=-m+5. 当x=2时，原式=2×(2)2-1=3. .'m+n=t,∴.k=n-t+5, 16.解：画树状图如答图。 .直线OA的函数解析式为y=(n-t+5)x. 开始 根据题意，得B(n,-n2+5n),C(n,(n-t+5)n). 姐姐 B 当0<n<m即0<n<分时，l=-+5n-(n-t+5)n= 妹妹 B 16题答图 由树状图知，共有4种等可能的结果，其中姐妹两人选中同一 -2<0,对称轴为直线n=4, 条绳子的结果有2种， :姐妹两人选中同一条绳子的概率为子-之 17.解：(1)如答图①，线段AB即为所求（答案不唯一） 17题答图① 17题答图② (2)如答图②，△ACD即为所求（答案不唯一）. 18.解：原计划平均每小时清除x吨垃圾， 由题意，得80-0=4， 2x 解得x=10, 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意. 答：原计划平均每小时清除10吨垃圾 19.证明：.AB⊥l,CD⊥l, ∴.AB∥CD,∠ABD=90° .·AB=CD .四边形ABDC是平行四边形， AC∥1. 20.解：(1)20 (2)600×50=20(人). 答：估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的 学生人数为200人. (3)① 21.解：(1)1 (2)设BC所在直线对应的函数表达式为y=x+b(k≠0)， .直线BC经过点B(2,80),C(4,280), r2k+b=80, rk=100, 解得 4k+b=280, Lb=-120 .BC所在直线对应的函数表达式为y=100x-120. (3)3.2 22.【探究】证明：因为⊙0是∠BAC的一个内切圆， 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E, 如题图②，连结OA、OD、OE, .OD⊥AB,OE⊥AC,OD=OE, ∴.点O在∠BAC的平分线上 【应用】解：2√3π[解析]如答图①，设⊙O与AB相切于 点D, D 22题答图① 由(1)可得OA平分∠BAC, ∴.∠DM0=60°， 0D=0A·sin60°=2×号=B .⊙0的周长为25m 【拓展】解：16π[解析]如答图②，连结AO、ON, C 22题答图② 由(1)可得OA平分∠BAC, .∠NA0=30 当ON⊥A0时，ON最小， 此时ON=AN·sinNA0=8×2=4, .⊙N面积的最小值为T×42=16π. 23.解：(1)：直线a∥b∥c, AD AE ·CD=BE AE=4,BE=2, (2)如答图①，点D即为所求. - e-.D -b 23题答图① (3),AE=4,BE=2, ∴.AB=AE+BE=6. 由(1)得品-2， AC 号，即AC=D =ME-B=专 .·△ABD∽△ACB, BM BT TM43 31 是器即 6 2 综上所途，侧的长为支5 .AD=26或AD=-2√6（舍去） 24,解：(1)抛物线的对称轴为直线x=-2 21, (4)如答图②，当点C在点B右侧时，过点B作BT⊥b于点T 当x=0时，y=3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3). (2)①(2,3) ②如答图①，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为AB, y B 23题答图② 由轴对称的性质可得AB=AB', .∠ABB'=∠AB'B. B a∥c, 24题答图① .∠CBB'=∠AB'B, Q(2,3), .∴.∠CBB'=∠AB'B=∠ABB′=2∠ABC .0B=2. b∥c, 由题可知AP=3. .∴.∠EMB=∠CBM,∠BET=∠ABC, 0P⊥0Q, .∠EBM=∠EMB, .∠P00=90°， .∴.EM=BE=2. .∠A0P+∠B0Q=90° ..cos=3, .PA⊥x轴，QB⊥x轴， ∴.∠0AP=∠QB0=90°， 即cas∠ABC=分， .∠AP0+∠AOP=90°， .oT= .∠AP0=∠Q0B, .△AOP△BQ0, ·TE=BE·c0s∠BET=2 OP AP 3 000B=2 √BETe42TM=7B+M, (3),·点P在直线y=3上，其横坐标为m,∴.P(m,3). 设Q(t,-t2+2t+3), BM=BT+TM 4/6 31 当点C在y轴上时，如答图②，过点P、Q分别作x轴的垂线， 垂足分别为A、B. 当点C在点B左侧时，过点B作BT⊥b于点T,如答图③. y=3 C ® 23题答图③ 同理可证明ME=2,1B=号，7：4h x242x43 3 24题答图② 同(2)②可得∠AP0=∠QOB. 0C⊥DQ, DQ∥AB, ∴.∠OQD=∠Q0B 设∠AP0=∠QOB=∠OQD=a. 当DQ=20C时， .四边形OPMQ是矩形， ∴.MQ=OP,MP∥Q0, .∠MDQ=∠OQD=a, :D0=M0,c0=02 sin a sin a .DQ =20C, ∴.MQ=20Q,即0P=20Q, 同(2)②可得△AOP∽△BQO Q(t,-2+2t+3),P(m,3), 49-A=0=2, QB0B-001 -m -2+21+3 =3=2, t 解得1=子m=2-41-6=- 2 当m>0时，如答图③， y=3 0 y=-x2+2+3 24题答图③ 同理可得△A0P∽△BQ0,20P=0Q. Q(t,-2+2t+3),P(m,3), :40=P4-P0.1 “QB0B-00=2, m 31 -（-f+2+3)=2 解得1=6，m=2(-21-3)- 21 综上所述，m=一或m子 2 14.2026年四平市九年级第二次模拟考试 1.B2.C3.B4.C5.A6.D 7.(b-5)28.3.829.(2,1)10.12 1l.号m[解析]知答图，连接AC,0C0A=0C=AC,∠0AC= 60°，一共需要篱岂分×Tx4+6002-号(m）. 180 11题答图 12.解：原式=(9x2-6xy+y2+x2-y2)÷5x=(10x2-6xy)÷5x= 2s-5 当x=1,y=5时，原式=2×1-号×5=2-6=-4 13.解：根据题意，画树状图如答图. 开始 I\ B C D AC D A B D A BC 13题答图 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中符合条件的结 果是AC,CA,共2种， .抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任 务标识的概率为号-石 14.解：设购买一个甲种机器人需要x万元，则购买一个乙种机器 人需要(x+5)万元 根据题意，得120=2×650 x+5 解得x=60, 经检验，当x=60时，x(x+5)≠0， ∴.x=60是原分式方程的解，且符合题意， 则x+5=60+5=65. 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需 65万元. 15.证明：点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE, .AD BD BE+BD...AB DE ∠A=∠EDF, 19.解：(1)AB=AC=4W5cm,BC=16cm,AD⊥BC, 在△ACB和△DFE中 AB=DE, BD=CD=7BC=8 cm, I∠ABC=∠E, ∴.△ACB≌△DFE(ASA) .AD=√AB2-BD=√(4√5)2-82=4(cm). 由题意，得BE=4tcm. 16.解：(1)如答图①，△ACD即为所求（答案不唯一）. 当0≤t≤4时，E在线段BC上，CE=(16-4t)cm,点F在AC 上，CF=√5tcm; 当4<t≤8时，E在线段BC外，CE=4t-16,点F在AB上， D: BF=(85-√5t)cm. 16题答图① 16题答图② 16题答图③ (2)如答图②，AJ即为所求， ①若△BCF△4CD,如答图①，则形-品。 (3)如答图③，点M即为所求， 1解得器 45 17.解：任务1：12 补全频数分布直方图如答图. ②若△CE△40D,知答图2，则瓷-二 ↑频数18 1 5=16,,解得1=8 4√5 8 Γ3 16 12 10 10 综上所述，当：的值为号安号时，△BC和△ACD相似 8以 6 64 0 5060708090100分数 17题答图 19题答图① 19题答图② 任务2：80.543.2° (2)过点F作FG⊥BC于点G,如答图③， 任务3：学生在心理健康课后的测试成绩在E组有20%，即50 当0≤t≤4时，△FCG∽△ACD, ×20%=10(人)， .FGCF AD AC' 2000×16+10=1040(人). 50 FG=AD CF-4x/5t=t cm, AC 45 答：估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀有 1040人. 5=2cE,PG=2（(16-40t=-2+8; 18.解：(1)A 如答图④，当4<t≤8时，△BFG∽△BAD, (2)设CC'=xcm,由题意，得DC'⊥AB,C'D=CC'+CD=(x+ FG、BF ADAB 32)cm. FG=4D:BF_4(85-5=(8-0cm, .∠C'AD=45 AB 45 .△AC'D是等腰直角三角形， 8=2CBFG=7(41-16)(8-0=-22+241-64, .'AC'=C'D=(x+32)cm 「-2t2+8t(0≤t≤4)， 在Rt△C'AC中，∠C'AC=12°， .S={ -2t2+24t-64(4<t≤8). .an12°=ACx+32≈02 解得x=8. B E D G C GD 答：此时水桶下降的高度CC为8cm 19题答图③ 19题答图④