精品解析：2025年吉林省长春七十二中中考数学二模试卷

2025年吉林省长春七十二中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图为某地连续4天的天气预报图，其中日最低气温中最高的为（ ） A. B. C. D. 2. 近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（　　） A. 0.75×10﹣4 B. 7.5×10﹣4 C. 75×10﹣6 D. 7.5×10﹣5 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 6. 如图，、为 的半径，过点作于点，交 于点 ，连结，若 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 小明去学校的路，前一半是上坡路，速度较慢，后一半是下坡路，速度较快，且两段路程长度相等，下列图象能大致反应小明上学时间和他离家距离的变化情况的是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）． A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当 时， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式_____________． 10. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 12. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人．可列方程组为：_______． 13. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在B上，若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是___．（结果保留π） 14. 如图，中， ，的平分线与边的垂直平分线 相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是______． ①；②；③平分；④；⑤． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 17. 有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，某学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲车多少辆？ 18. 如图，在中，，射线． （1）请利用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点D，过点D作交 于E； （2）连接 ，求证：四边形 是矩形． 19. 图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹． （1）在图①中，画一个面积为3钝角． （2）在图②中，画一个面积为5的等腰直角． （3）在图③中，画一个面积为6.5的四边形 ，且为． 20. 学校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．学校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了他们的身高（单位：cm），数据整理如下： a．18名学生的身高：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186 ． b．18名学生身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 178 m n （1）写出表中m，n的值； （2）国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组： 甲组学生的身高 176 177 177 178 179 182 乙组学生的身高 174 175 177 178 179 183 如果同一组学生身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好，据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； （3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为176，177，178，179．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的平均身高增大但方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）分别求，关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 22. 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足 的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求 最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似 ． 第三步：计算 的长度，由 可得，即 ． 第四步： ，如图③，当A、P、M三点共线时 最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形 中， ，点P为扇形上一动点，则 的最小值为______． 23. 如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结 ，过点C作射线 于点Q．设点P的运动时间为t． （1） ______（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在内部时，求t的取值范围； （3）连结，则的最小值为______； （4）当时，直接写出t的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是______； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连接、 ，以、 为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年吉林省长春七十二中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图为某地连续4天的天气预报图，其中日最低气温中最高的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴日最低气温中最高的为， 故选：C． 2. 近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（　　） A. 0.75×10﹣4 B. 7.5×10﹣4 C. 75×10﹣6 D. 7.5×10﹣5 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10-5． 故选D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：由图知，该几何体主视图为上底短，下底长的梯形，又从俯视图可知该几何体为上小下大的棱台， 该几何体可能是 故选：A． 4. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ，故ABC成立，不符合题意； 当 时，，当 时，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 5. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 6. 如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．由圆周角定理求得，再利用余角的性质求解即可． 【详解】解：∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 小明去学校的路，前一半是上坡路，速度较慢，后一半是下坡路，速度较快，且两段路程长度相等，下列图象能大致反应小明上学时间 和他离家距离 的变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，上下坡阶段，离家距离 都随时间上学时间 的增大而增大，但是下坡阶段 的增长速度比上坡阶段的快，据此可得答案． 【详解】解：上坡路速度慢，那么上坡阶段随着时间的推移，s逐渐变大， 下坡路速度较快，那么下坡阶段随着时间的推移，s逐渐变大，且变大的速度比上坡阶段的快，即对应的函数图象更陡， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）． A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当 时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即 时，； 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出 的值． 根据是关于的一元二次方程的解，可以得到 的值，然后代入代数式，即可求得所求式子的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程的解， ， ， ， ， 故答案为：21． 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 12. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人．可列方程组为：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中等量关系：一房七客多七客，一房九客一房空，得出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程组是关键． 13. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在B上，若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是___．（结果保留π） 【答案】25π-48． 【解析】 【分析】连接OC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC=90°．根据勾股定理得到OC=10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OC， ∵∠AOB=90°，四边形ODCE是平行四边形， ∴▱ODCE是矩形， ∴∠ODC=90°． ∵OD=8，OE=6， ∴OC=10， ∴阴影部分图形的面积． 故答案为：25π-48． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，中， ，的平分线 与边的垂直平分线 相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是______． ①；②；③平分；④；⑤． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，由直角三角形的性质可证，由可证，可得， ，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示：连接、 ． 平分，，， ，故①符合题意； ， 平分， ， ， ， ， ， ， 同理：， ，故②符合题意； 由题意可知：， 假设 平分，则， 又， ． ． 是否等于不知道， 不能判定 平分，故③不符合题意； 在 和中， ， ∴， ， 垂直平分， ， 在和 中， ， ∴， ，故⑤不符合题意； ，故④符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再把除数的分子分母分别分解因式，接着把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两种样本溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果有： ， ，共2种， 两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 17. 有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，某学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲车多少辆？ 【答案】至少需要甲车4辆 【解析】 【分析】设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8－x)辆，根据8辆客车的总载客量不少于300人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设需要甲车辆，则乙车辆，由题意可得 ， 解得： ， 答：至少需要甲车4辆． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18. 如图，在中，，射线． （1）请利用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点D，过点D作交 于E； （2）连接，求证：四边形 是矩形． 【答案】（1） 由题意，画图如下： （2） 证明：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 平分， ∴ ， ， ∴， 又， ∴四边形 为平行四边形 又， ∴四边形 为矩形． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹． （1）在图①中，画一个面积为3钝角． （2）在图②中，画一个面积为5的等腰直角． （3）在图③中，画一个面积为6.5的四边形 ，且为． 【答案】（1） 如图①中，即为所求； （2） 如图②中，即为所求； （3） 如图③中，四边形 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图 应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）作一个底为2，高为3的钝角，； （2）作一个腰的等腰直角，； （3）利用数形结合的思想，取格点A、B、E、F，使，， ，，再顺次连接这四个格点，得四边形 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图③中，四边形 即为所求． 由图可知的中点即为格点G，连接， ，如图， 由图可得，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 20. 学校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．学校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了他们的身高（单位：cm），数据整理如下： a．18名学生的身高：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186 ． b．18名学生身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 178 m n （1）写出表中m，n的值； （2）国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组： 甲组学生的身高 176 177 177 178 179 182 乙组学生的身高 174 175 177 178 179 183 如果同一组学生身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好，据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； （3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为176，177，178，179．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的平均身高增大但方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 【答案】（1）178，179 （2）甲组 （3）178，179 【解析】 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． （1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答； （3）根据平均身高增大且方差最小的原则，需结合乙组数据进行计算和比较，最终确定所选学生的身高． 【小问1详解】 解：将18名学生的身高从小到大排列为：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186， 从中可以看出第9个数据和第10个数据分别是178，178，所以这组数据的中位数为， 故， 其中，179出现的次数最多，所以这组数据的众数为179， 故n=179； 【小问2详解】 解：甲组学生的身高分布于176～182，乙组学生的身高分布于174～183， 据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小， 所以执旗效果更好的是甲组． 故答案为：甲组； 【小问3详解】 解：已确定四名学生身高的平均值为 ．设新选的两名学生身高为 x，y，要使六名学生的平均身高增大，则有 ，解得．从乙组中选取两人，满足 的组合有 和及所有包含的组合．为使方差最小，数据应尽可能集中。包含的组合会使数据过于分散，故不予考虑． 比较组合和： 组合1： 组合2： 组合2的数据更集中（更对称地分布在均值附近），因此方差更小。 故应选择身高为和的两名学生． 根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在176厘米～179厘米， 从乙组的数据可以知道，在176厘米～179厘米的身高有3个，分别是177，178、179，为保证这六名执旗手身高的平均身高增大但方差最小，应选身高为178、179这2个． 故答案为：178，179． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）分别求，关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】（1）， （2）A （3）5或40 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． （1）用待定系数法即可求解； （2）①先分段求出关于的函数解析式，再根据“时间 路程 速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； ②分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，， 设， 将点代入得，， 解得：， ， 关于的函数解析式为； 设当 时，， 将点，代入得，， 解得， 当时，， ； 【小问2详解】 由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； 故答案为：A； 【小问3详解】 当时，，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 22. 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足 的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求 最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似 ． 第三步：计算 的长度，由 可得，即 ． 第四步： ，如图③，当A、P、M三点共线时 最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形 中， ，点P为扇形上一动点，则 的最小值为______． 【答案】【模型认知】； 【模型探究】证明：∵， ∴ ∴， 又 ， ∴ ， ∴， ∴ ． 【模型应用】13 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似 ，利用相似三角形的判定与性质求得 ，则 当A、P、M三点共线时 最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使 ，连接 ，利用相似三角形的判定与性质得到 ，则 ，当点E，P，B在一条直线上时， 为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似 ，如图， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ． ∴ ， ∴当A、P、M三点共线时 最小，如图， ∵ ， 此时． 故答案为：； 模型探究：略 模型应用：解：延长至点E使 ，连接 ，如图， 则 ， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ． ∴当点E，P，B在一条直线上时， 最短为线段， ∴ 的最小值 ． ∴ 的最小值为13． 故答案为：13． 23. 如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结 ，过点C作射线于点Q．设点P的运动时间为t． （1） ______（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在内部时，求t的取值范围； （3）连结，则的最小值为______； （4）当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出答案； （2）当点Q在上时，与点P重合，此时 ，求出，则可得出答案； （3）取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小，由勾股定理可得出答案； （4）分两种情况，当点Q在三角形 内部时，当点Q在三角形 外部时，由相似三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点C匀速运动（P不与A、C重合）， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 当点Q在上时，与点P重合，此时 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在内部时，t的取值范围是； 【小问3详解】 ∵， ∴点Q在以为直径的半圆上运动， 取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小， ∵， ∴． ∴的最小值为； 故答案为：； 【小问4详解】 当点Q在三角形 内部时， 过点A作于点D， 则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在三角形 外部时， 过点A作于点N，同理可得， ∴． 综上所述，t的值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是______； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点M的坐标为，点 的坐标为，连接、 ，以、 为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，利用待定系数法，将交点坐标代入抛物线表达式建立方程组，求解系数和，即可得到函数表达式； （2）先将抛物线表达式化为顶点式，确定对称轴和开口方向，找到最大值点；再计算区间端点处的函数值，结合抛物线单调性确定该区间内的取值范围； （3）明确最值差的含义，结合抛物线顶点坐标和增减性讨论，不同范围内的最高点与最低点，求解的取值范围； （4）先求得点M、Q重合，点P、M重合时对应的m的值，然后根据点M和点P以及点M和点Q的位置关系，分类确定在什么取值范围下符合题意，即可解答． 【小问1详解】 解：把，代入抛物线方程得， ， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 观察函数图象可知，在范围内， 此时的函数值最大， 此时的函数值最小， 把代入抛物线表达式得， 把 代入抛物线表达式得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵ 又∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值为2， 由题意可知， ， ∴分两种情况， 当点P在点左侧时， 此时点在与之间时，符合， ∴当时，则 解得：（不合题意，舍去）， ∴； 当点P在点右侧时， 此时点在与之间时，符合， 当 时，则 解得：，， 当时， 解得：，， ∴， 综上所述，的范围为或； 【小问4详解】 解：，，， ∴由点M的坐标，即点M的轨迹为；点Q的坐标，即点Q的轨迹为 ； ①当，即时，此时点M、Q重合，矩形不存在，如图所示，且当 时，点Q在点M的右侧；当 时，点Q在点M的左侧； 则当 时，此时点M在点P的上方，点Q在点M的右侧，如图所示， ∴当点Q在对称轴的左侧或在对称轴上时，符合题意， 此时，即， ∴； ②当时，解得，此时点P、M重合，矩形不存在，如图所示， ∴如图，当时，此时点M在点P的上方，点Q在点M的左侧，不符合题意， 如图，当时，此时点M在点P的下方，点Q在点M的左侧，符合题意， 如图，当时，此时点M在点P的上方，点Q在点M的左侧，不符合题意， 综上所述，符合要求的m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $