7.2025年长春市-【中考123】备战2027年中考数学模拟试题精编（吉林专版）

7.将直角三角形纸片ABC(∠C=90)按如图方式折 ZHONGKAO BIBEI 叠两次再展开，下列结论错误的是 7.2025年长春市 A XUESHENG 折叠 再折叠 展开D O试卷研究报告O… 试题难度 适中 难度系数 0.59 易错题14、23、24 较难题 23、24 7题图 A.MN∥DE∥PQ B.BC =2DE =4MN (满分：120分时间：120分钟) c.AN-mQ-jN0 D.MN=DE_PO 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在 DE PO BC 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 8.在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间 求的。 t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所 1.中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的 示.当25≤t≤40时，P的值可以为 ↑PW 国家.如果水位下降2m记作-2m,那么水位上升 A.24 3m记作 ( B.27 20 A.-3m B.+3mC.-5m D.+5m C.45 0 60 动s 2.下面几何体中为圆锥的是 D.50 8题图 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.8的立方根是 10.写出ab的一个同类项： A 11.已知x2+2x=4,则代数式7-x2-2x的值 3.下列计算一定正确的是 为 A.a+2a=3a B.a·a2=a2 12.若扇形的面积是它所在圆的面积的子，则这个扇形 C.a+a=a2 D.(2a)2=2a2 的圆心角的大小是 度 4.下列不等式组无解的是 13.图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边 4/>2, 「x>2, 形，图②是其表面展开图，则∠α为 度 B. x>-1 x<-1 D.2, lx>-1 5.如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到 13题图① 13题图② 达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰 14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、 角为，则A、B两点之间的距离为 BD相交于点O.点E在线段OA上，连结BE,作CF⊥ BE于点F,交OB于点P.给出下面四个结论： ①LOCP=LOBE; D ②0E=OP; E 海平面 ③当CE=CB时，BP=EF; 5题图 ④点A与点F之间的距离的最小值 A.(m-n)sina米 B.m-P米 为2√5-2. 14题图 sin o 上述结论中，正确结论的序号有 C.(m-n)cosa米 D.m-n米 三、解答题：本题共10小题，共78分。 coS a 15.(6分)先化简，再求值：(1+x)2-2x,其中x=√3. 6.已知点A(-3,y1)、B(3,y2)在同一正比例函数y= x(k<0)的图象上，则下列结论正确的是（) A.y1=-y2 B.y1=y2 C.y2>0 D.y1<0 16.(6分)长春市人民广场是中心景观类环岛型交通 a.20名男生的臂展与身高数据如下表： 广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而 编号 1 2345678910 驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶人人民 身高/cm 166169169171172173173173174174 广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一 个出口驶出.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙 臂展/cm161162164166164165169169169170 两辆车从同一出口驶出的概率. 编号 1112 1314151617181920 身高/cm175176177177178179180180181183 臂展/cm169167173176174170177174176185 b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众 数如下表： 人民大街 平均数 中位数 16题图 众数 身高/cm 175 m 173 17.(6分)如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点 臂展/cm 170 169 n 0,AB=5,0A=4,OB=3.求证：□ABCD是菱形. D c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂 展数据分成5组：160≤a<165,165≤a<170, 170≤a<175,175≤a<180,180≤a≤185) ↑频数 B 17题图 160165170175180185展臂/cm 18.(7分)小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉 20题图① 的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少 展臂/cm 190 用40秒到达终点.求小林跑步的平均速度. 185 180 175 170 ● 165 160 15 19.(7分)图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每 55160165170175180185190身高/cm 20题图② 个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格 d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小 点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下 组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长 列要求作△ABC,使△ABC的顶点均在格点上 带形区域内.他们利用计算机和简单统计软件得 (1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； 到了描述臂展y(cm)与身高x(cm)之间关联关 (2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； 系的直线l. (3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三 根据以上信息，回答下列问题： 角形. (1)写出表中m、n的值：m= ,n (2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于 或等于170cm的男生人数； 19题图① 19题图② 19题图③ (3)图②中直线l近似的函数关系式为y=1.2x- 20.(7分)某校综合实践活动中，数学活动小组要研究 40,根据直线l反映的趋势，估计身高为185cm 九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之 男生的臂展长度 间的距离)与身高的关系.小组成员在本校九年级 男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身 高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面 给出了部分信息： 21.（8分)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转 两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它 化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题.这样就可 们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同 以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆， 时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养， 再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直 保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两 角三角形的最小覆盖圆。 台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工 如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙0是以AB 作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示 为直径的圆. (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟，m 请你判断点C与⊙0的位置关系，并说明理由， 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的 (2)求AB所在直线对应的函数表达式； 最小覆盖圆， (3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件， 所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆， 则乙机器人工作时间为 分钟. 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 y/件 如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm. (1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD 2700 2200--- 的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹，作图 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)； (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 406080x/分钟 cm; 21题图 (3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的 两个等圆的最小直径为 cm 22题图① 22题图② 22题图③ 22.(9分)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该 平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图 形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的 圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆。 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的 圆是其最小覆盖圆」 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点 A、点B.如图①，以AB为直径作⊙O,再过A、B两 ●】 点作⊙0'(0'与0不重合)，连结0'A、0'B. 在△O'AB中，有O'A+0'B>AB( ▲) .·O'A=O'B .2O'A>AB,即⊙0'的直径大于⊙0的直径 ∴.⊙O是线段AB的最小覆盖圆. “▲”处应填写的推理依据为 23.(10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4, 24.(12分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛 点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连结 物线y=x2+bx经过点(3,3)，点A、B是该抛物线 DE,将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线 ◆】 上的两点，横坐标分别为m、m+1,已知点M(1, 段EF 1),作点A关于点M的对称点C,作点B关于点M (1)线段AB的长为 的对称点D,构造四边形ABCD. (2)当EF∥AC时，求AE的长； (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF; (2)当A、B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求 (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍 点C的坐标； 时，直接写出AE的长 (3)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两 C 点)为图象G,当0<m<1时，若图象G的最高 点与最低点的纵坐标之差为2，求m的值； (4)连结OA、OB,当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直 A E 23题图 接写出m的取值范围（这里∠AOB、∠OAD、 ∠0BC均是大于0°且小于180°的角) 24题图②当点F在BC的上方时，如答图③，延长OF交BC于点G. 0 H 23题答图③ 同理可得/DE,-码。 FG、2 525G=1, .0F=0G-FG=5-1, ∴.DE=20F=25-2. 综上所述，DE的长为25+2或25-2. 24.解：(1)(-1-2,0)(-1+√2,0)(0，-1) [解析]令y=0,则x2+2x-1=0. 解得x1=-1-√2,2=-1+V2, 点A在点的B左侧， ∴.点A的坐标为(-1-2,0)，点B的坐标为(-1+√2,0). 令x=0,得y=-1, ∴.点C的坐标为(0，-1) (2):点N的横坐标为m+1,且在直线y=-2x上， ∴.点N的坐标为(m+1,-2m-2). 将点N的坐标代入抛物线，得 -2m-2=(m+1)2+2(m+1)-1, 整理，得m2+6m+4=0, 解得m1=-3+√5，m2=-3-√5. (3)①过点N作NE⊥x轴于点E,过点P作PF⊥x轴于点F, 如答图①， 24题答图① 由旋转的性质，得MN=MP,∠NMP=90°， ∴.∠NME+∠FMP=90°. .PF⊥x轴，.∠MPF+∠FMP=90°， ∴.∠MPF=∠NME. 又：NE⊥x轴，PF⊥x轴， .∠NEM=∠MFP=90°. .'.△NME≌△MPF, .'NE =MF,ME=PF. N(m+1,-2m-2),且m<-1, .∴.NE=MF=-2m-2, 0E=-(m+1)=-m-1. .M(m,0),∴.OM=-m, .ME=PF=OM-OE=-m-（-m-1)=1, 0F=MF-0M=-2m-2-(-m)=-m-2, .P(-m-2,-1). 设线段MP与直线y=-2x交于点Q. :△MNP的面积被直线y=-2x分成1：2两部分， .S△w0S△NPn=1:2或SANw0:SaNP0=2:1. ..MQ:PQ=1:2 MQ:PO=2:1. 过点Q作QH⊥x轴于点H,.QH∥PF, ·阳器或器器子 ∴0n=子，Mm=3(-2m-2)或 QH=号，M=(-2m-2), 0m=0;2或0m=g4, 点Q的坐标为(”，子，-号)成（四4，-子）} 将点Q的坐标（子，-号）代入直线y=-2x, 得-2×2- 解得m=弓（舍去）： 将点Q的坐标肾兰，-号）}代人直线y=-2x 得-2x二仍4。-子，解得m=-5, 3 .m的值为-5. ②：y=x2+2x-1=(x+1)2-2, ∴.抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1. 当x>-1时，y随x的增大而增大. 当点P在抛物线上时，如答图②. -m-2=0,解得m=-2; 当点M与点A重合时，如答图③ 16.解：列表如下： m=-√2-1， A B C .m的取值范围是-1-√2≤m<-2. (A,A) (A,B) (A,C) (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) (0 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的 结果数有3种， 24题答图② 24题答图③ “甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为号=3 31 7.2025年长春市 17.证明：.AB=5,0A=4,0B=3, 1.B2.C3.A4.B5.B6.A7.D .AB2=25=9+16=0B2+0A2, 8.C[解析]设功率P(W)与做功时间t(s)的函数表达式为P= .∴.∠A0B=90°， 60,解得k= 车（(k≠0)，起i=60,P=20代入表达式，得20= .AC⊥BD 1200,∴.功率P(W)与做功的时间t(s)的函数表达式为P= .四边形ABCD是平行四边形， 1200:反比例画数的图象在第一象限内，P随1的增大而减 .四边形ABCD是菱形 18.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为 小，当≥25时，P≤20=4：当≤0时，P≥100=30， 40 1.25x米/秒 .30≤P≤48.故选C. 9.210.2ab(答案不唯一）11.312.24013.36 由愿意，得四器=0， 14.①②④[解析].·四边形ABCD为正方形，.AB=BC=CD= 解得x=4, AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC⊥BD,OA=OB 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意 =OC=OD..CF⊥BE,∴.∠COP=90°=∠BFP..∠CP0= 答：小林跑步的平均速度为4米/秒， ∠BPF,.∠OCP=∠OBE,故①符合题意；·∠COP=90°= 19.解：(1)如答图①，△ABC即为所求.（答案不唯一） ∠B0E,OC=OB,.△C0P≌△BOE,∴.OP=OE,故②符合题 意；当CE=CB时，CF⊥BE,∴.EF=BF,∠BFP=90°，∴.BP> BF=EF,故③不符合题意；如答图，取BC的中点R,连结AF、 RF.∠CFB=90°，.F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当 19题答图① 19题答图② 19题答图③ A、F、R共线时，AF最小.AB=BC=4,∴.RF=RB=2,∴.AR= (2)如答图②，△ABC即为所求.（答案不唯一） √42+22=25，.AF=25-2,.点A与点F之间的距离的 (3)如答图③，△ABC即为所求.（答案不唯一） 最小值为25-2，故④符合题意.故答案为①②④， 20.解：(1)174.5169 D (2)该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的 男生人数为240×易-108（人）. (3).·y=1.2x-40, 14题答图 当x=185时，y=1.2×185-40=182, 15.解：原式=1+2x+x2-2x=x2+1. .身高为185cm男生的臂展长度约为182cm. 当x=√3时，原式=(3)2+1=4： 21.解：(1)203800 (2)设AB所在直线对应的函数表达式为y=x+b(k≠0)， 代人A(60,2700),B(80,3800) 2700=60k+b, rk=55, 得{ 解得 3800=80k+b, b=-600, .AB所在直线对应的函数表达式为y=55x-600 (3)110 22.解：【探究一】三角形的任意两边之和大于第三边 【探究二】点C在⊙O上.理由如下： .·∠ACB=90°，O为AB的中点， .OC=OA=OB .点C在⊙0上 【拓展应用】(1)如答图①，⊙O即为矩形ABCD的最小覆 盖圆. 22题答图① (2)5 (3)2 [解析]如答图②，作AD的垂直平分线J,交AD于点L,交BC 于点J,.四边形ABJL、DCJL是两个全等的矩形，.AL=DL= 1cm=BJ=CJ.,·用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,∴.两圆一 定过点L、J.连结AJ、BL、CL、DJ,交点分别为Q、K,同理可得， 这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL或CL或DJ,.最小直 径为√2+1严=√2(cm).如答图③，作AB的垂直平分线交 AB、CD于点V、W,同法作⊙Q、⊙K,此时不是直径最小的等 圆.综上所述，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的两个 等圆的最小直径为√2cm. 22题答图② 22题答图③ 23.（1)解：42 (2)解：如答图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为 边AC的中点， ∴.∠A=∠B=45°，AD=CD=2. 23题答图① EF∥AC, .∠FEB=∠A=45. .∠DEF=45° ∴.∠DEB=90°=∠AED, AE=AD,c0s450=2×5=2. 2 (3)证明：将线段DE绕点E顺时针旋转45得到线段EF, .DE=DF,∠DEF=45° 如答图②. ·,:∠DEF+∠BEF=∠DEB=∠A+∠ADE, ∠DEF=∠A=45° ∴.∠BEF=∠ADE, 23题答图② .∠A=∠B=45°，DE=FE, .·.△ADE≌△BEF (4)解：AE的长为4,2-4或4万-子 [解析]如答图③，当点F在BC的左边时，结合题意可得EG⊥ BC,FQ⊥BC,EG=2FQ,过点D作DH⊥AB于点H,过点F作 FK⊥EG于点K,∴.四边形FKGQ为矩形，∴.FQ=GK=EK.结 合(1)可得DH=AH=2.EG⊥BC,∠B=45°，.∠GEB= ∠B=45°，.GB=GE=2GK=2EK.∠DEF=45°，.∴.∠DEF+ ∠GEB=90°，.∠DEH+∠FEK=90°.：∠DHE=90°= ∠HDE+∠HED,∴，∠HDE=∠KEF.,DE=EF,∴.△DHE≌ △EKF,EK=DH=√2，EG=BG=2√2，·BE= √EG+BG=4,.AE=42-4;如答图④，当，点F在BC的 右边时，过点D作DH LAB于点H,过点F作FK⊥EG于点K 当≤m<1时，最高点纵坐标为m2-1,最低点为-1， 同理可得EK=DH=√2..·四边形FKGQ为矩形，∴.FQ=GK .m2-1+1= 1 2 6=2P06=2K,BG=2号6k=F0=号同理可 解得m2或m=(令) 得G=G-29,版=29x2=号服=42-号旅上 参上所述m的值为≥皮号 所送，A5的长为4-4或4，-手 (4)；<m<4 0 [解析]点A、C关于点M对称，点B、D关于点M对称，MA D =MC,MB=MD,∴.四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. B 如答图，过，点O作直线EF∥BC,∴.EF∥AD.,∠AOB=∠OAD 23题答图③ 23题答图④ +LOBC,∠OBC=∠B0F,∠OAD=∠FOA.A(m,m2- 24.解：(1)将点(3,3)代人y=x2+bx,得9+3b=3, 2m),B(m+1,m2-1),.C(2-m,2-m2+2m),D(1-m,3- 解得b=-2, m2),∴.直线OA的表达式为y=（m-2)x,直线OB的表达式 .该抛物线所对应的函数表达式为y=x2-2x。 为y=(m-1)x,直线4D的表达式为y=2m2-2m-3+m 2m-1 (2)点A、B的横坐标分别为m、m+1, .A(m,m2-2m),B(m+1,m2-1). 223》直线c的来达式为y-22三 2m-1 y=x2-2x=(x-1)2-1, +m2-1-m+)2m2-2m-3】.当0A与AD重合时， 2m-1 .对称轴为直线x=1. 5 :A、B两点关于该抛物线的对称轴对称， 2m-2m-3=m-2,解得m=子；当0B与BC重合时， 2m-1 .∴.2m+1=2, 2m2-2m-3=m-1,解得m=4.综上所述，当LA0B=∠0AD 2m-1 解得m=分， +∠0BC时，亭<m<4 4分，) 点A、C关于点M对称，设C(x,y), 分+=2，-子+y=2 解得=是y=4, 24题答图 …c3) 8.2024年长春市 1.D2.B3.D4.C5.A6.A7.D (3)由(2)知，抛物线的顶点坐标为(1，-1)，开口向上， 8.B[解析]如答图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E,过点C 当m=之时，点A,B关于对称轴对称 作y轴的垂线交y轴于点D,则AE∥y轴. 当0<m<2时，最高点纵坐标为m-2m,最低点为-1， ∴.m -2m+1=2 解得m 2-或 2 2+五（舍） 0 2 8题答图