28.2024年长春市中考真题-【中考123·中考必备】2025年黑龙江地区专用数学试题精编

∴∠CEA=∠3. ∵∠ECO=90°, ∴ ∠3=∠CEA=92°=45°. ∵BD=AC, ∴∠DOB=∠3=45°, ∴.BD的长为45×80X?=2m 22.(1)证明：如答图①所示. A B E 61 C D 22题答图① 由题意，得CA=CD,∠ACD=90°, ∴∠1+∠2=90°. ∵ DE⊥BC, ∴∠DEC=90°, ∴∠1+∠D=90°, ∴∠2=∠D. ∵∠ABC=90°, ∴∠ABC=∠DEC, ∴△ABC≌△CED. (2)解：猜想：PC=PD.证明如下： ∵∠ABC=90°,∠ACB=α, ∴∠A=90°-α. ∵CF平分∠ACD, ∴∠ACF=∠DCF. ∵CA=CD,CF=CF, ∴△ACF≌△DCF, ∴∠CDF=∠A=90°-α. ∵∠ACD=90°,∠ACB=α, ∴∠BCD=90°-α, ∴∠BCD=∠CDF, ∴PC=PD. (3)①证明：由题意，得FP=FE, ∴∠P=∠FEP. ∵∠DEC=90°, ∴∠PED=90°, ∴∠P+∠FDE=90°,∠FEP+∠FED=90°, ∴∠FED=∠FDE, ∴ FE=FD, ∴ FP=FD,即点F是PD的中点. ②解：过点F作 FM//CP交CD于点M,连接 EM,如答图② 所示. P A B F E略 C M 22题答图② D ∵△ABC≌△CED, ∴CB=DE. 设CE=m,DE=CB=n, ∴ BE=CB-CE=n-m. 由翻折，得PB=BE=n-m, ∴PE=2n-2m, ∴PC=PE+CE =2n-m=PD 在Rt△PDE中，由勾股定理得PD2=PE2+DE2, 得(2n-m)2=(2n-2m)2+n2, 整理，得3m2-4mn+n2=0, 解得n=3m或n=m(舍，此时α=45°). 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE2+DE2=CD2, 得m2+(3m)2=202, 解得m2=40, ∴Scm=2CE·DE=2m×3m=2m2=60. ∵ FM//CP, PF=CM=1,Scw=Scm, ∴点M为CD中点， ∴S△c=2sacm=30, ∴ S△CEp=30. 23.解：(1)根据题意，得y?=xy=x·2x=_2, 故y?的函数表达式为y?=22 (2)设点A(a,3),则B(a,3). ∵AB=2,点B在点A上方， ∴.AB=3-3=2,解得a=3, ∴A(3,1). (3)①根据题意，得A(m,-m+4),则B(m,-m2+4m). ∵点B与点A重合， ∴-m+4= -m2+4m,解得m=1或m=4. ②根据题意，得y?= -x2+4x=-(x-2)2+4, ∴.y?对称轴为x=2,B,C关于对称轴对称. ∵A(m,-m+4),B(m,-m2+4m), 2m=2,,解得x=4-m, ∴C(4-m,-m2+4m),D(4-m,-m+4). ∵点B在点A的上方， ∴-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4>0, 解得1<m<4, ∴.AB=-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4. 当2<m<4,点B在点C右侧时， BC=m-(4-m)=2m-4, y=2(AB+BC)=2(-m2+5m-4+2m-4)= -2m2+14m-16; 当1<m<2,点B在点C左侧时， BC=4-m-m=4-2m, y=2(AB+BC)=2(-m2+5m-4+4-2m)=-2m2+6m. ,y={-2m2+414m-16(2<m<4).综上所述， ③t?-t?=4或t?-t?=3-2√2. [解析] y Q R p o 而 23题答图① 8(3,2),(2,) 当m=1时，y=-2×l2+6×1=4; 当m=2时，y= -2×22+14×2-16=4; 当m=4时，y=-2×42+14×4-16=8. ∴ R(1,4),P(2,4),Q(4,8). 当 4<t?<一时，直线y=t?与函数y的图象有3个交点， 当8<t?<2或t?=2时，直线y=t?与函数y的图象有2个 交点. y M= G ——y=t?EFp 23题答图② I.如答图②,直线y=t?与函数y交于E,F两点，-2m2+6m =t?,即2m2-6m+t?=0, ∴x?+x?=-2?=3,xx2=2, ∴ EF =Ix?-x?I=√(x?+x)2-4x;x=√32-4×2 =√9-2t?. 直线y=t?与函数y交于M,N两点，-2m2+14m-16=t?,即 2m2-14m+16+t?=0, +x=--2?=7,=8+2, ∴.MN=1x-x?I=√(g+x)2-4ys=√2-4×(8+2) =√17-2t?. 9=24=√7-2z, 整理，得t?-t?=4. M N y=t2 y=t?cE F P 23题答图③ =2时，-2m2+14m-16=2,Ⅱ.如答图③,当t 解得m=2-(2或m=2+2(合), ∴ EF=MN=2-2-2=2-√2, ∴. EF=√9-2t?=2-√2, 解得t?=2+2√2, ∴2-?=2-2-2√2=3-2√2. 综上所述，t?-t?=4或t?-t?=3-2√2. 28.2024年长春市 1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B [解析]如答图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E,过点C 作y轴的垂线交y轴于点D,则AE//y轴。 y 年 c A |0 E 8题答图 000 见此图标品微信扫码 领取真题实战指南 ∵A(4,2), ∴OE=4,0A=√22+42=2√5, 2sinLOAB=94-245=55 ∵A(4,2)在反比例函数的图象上， ∴k=4×2=8. ∴将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC, ∴0A//BC, ∴∠0AE=∠BOA. ∵AE//y轴， ∴∠DBC=∠BOA, ∴∠DBC=∠0AE, : sinLDBC=C=inLOAE=25, “=2-5,,解得CD=2,即点C的横坐标为2. 将x=2代入y=8,得y=4, ∴点C的坐标为(2,4), ∴CD=2,0D=4, ∴BD=√BC2-CD2=1, ∴OB=0D-BD=4-1=3, ∴B(0,3).故选B. 9.3 10.J3 11.c>4 12.2(答案不唯一，b>1即可) 13.8π 14.①②③ [解析]如答图①,连结DC. C D C 下 Ak BE 14题答图① ∵D是AC的中点， ∴.AD=DC, ∴∠ABD=∠DAC,即①正确； ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°, ∴∠DAC+∠AGD=90°. ∵DE⊥AB, ∴∠BDE+∠ABD=90°. ∵∠ABD=∠DAC, ∴∠BDE=∠AGD, ∴ DF=FG. ∵∠BDE+∠ABD=90°,∠BDE+∠ADE=90°, ∴∠ADE=∠ABD. ∵∠ABD=∠DAC, ∴∠ADE=∠DAC, ∴. AF=FD, ∴AF=FG,即②正确； 在△ADG和△BDA中， ∠ADG=∠BDA=90°,∠DAG=∠DBA, ∴△ADG∽△BDA, 0=G,即DG+BG=O 2+3=4,即AD=√10, ∴.AG=√AD2+DG2=√14. ∵AF=FG, FG= AG=24,,即③正确； 862见此图标8品微信扫码 领取真题实战指南 如答图②,假设半圆的圆心为0,连结OD、CO、CD. D C G 死 A BE 0 14题答图② ∵BD=2AD,AB=6,D是AC的中点， : AD=DC=3AB, ∴∠AOD=∠DOC=60°. ∵OA=OD=0C, ∴△AOD、△ODC是等边三角形， ∴.OA=AD=CD=0C=OD=3,即 ADCO是菱形， ∴ ∠DAC=∠0AC=2∠DAO=30° ∵∠ADB=90°, 2 tmnLDAC=tan30=AG,即s=Pg,解得DG=13, ∴.SAo=-AD·DG=2×3×√3=323 ∵AF=FG, ∴ SAomc=2samc=343,,即④错误.故答案为①②③. 15.解：原式=x-2-2X-2)=2 当x=√2时，原式=(√2)2=2. 16.解：画树状图如答图所示， 开始 姐 A B C 妹A C A B 16题答图 B CA B C )=9=3所以P(这对双胞胎姐妹被分到同一个班) 17.解：设合伙人数为x人，根据题意， 得400x-3400=300x-100, 解得x=33, ∴400x-3400=9 800. 答：合伙人数为33人，金价为9 800钱. 18.证明：∵0是边AB的中点， ∴.AO=BO. 又∵∠A=∠B,∠AOD=∠BOC, ∴△AOD≌△BOC, ∴.AD=BC. ∵∠A=∠B=90°, ∴∠A+∠B=180°, ∴AD//BC, ∴四边形 ABCD是平行四边形. 又∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 19.解：(1)8.3 (2)①> ②800×90=360(名). 答：高中部对食堂“非常满意”的学生约为360名. 20.解：(1)如答图①所示. (2)如答图②所示. (3)如答图③所示. 4 A A D DB B B DC ℃ 20题答图② C 20题答图③20题答图① 21.解:(1)号 (2)设2≤x≤号时，y=hx+b(k≠0), 把(6,17),(-,20)代入，-解得{8=2,得 当≤“≤号时，y=90+2. (3)当x=2时,y=90×1+2= 2÷1=114(千米/时).减速前车速 ∵114<120,∴该辆汽车减速前未超速. 22.【问题解决】 (1)证明：∵ CP//MN,MP//NC, ∴四边形 CPMN是平行四边形，∴ MP=NC. 又∵AM=CN,∴. AM=MP. (2)解：30 2 [解析]∵ AM=MP, ∴∠CAP=∠MPA. ∵∠PMC=∠ACB=60°, ∴∠CAP=∠MPA=30°. ∵MN=PC,∴ MN最小值即PC最小值。 ∵∠CAP=30°, ∴点P的轨迹为“AP”. 2Ac=2当CP⊥AP时，PC最小，最小值为 【方法应用】解：√6 [解析]如答图，连结AD,过M、D分别作ED、MN的平行线， 得MNDP是平行四边形， ∴.MN=DP,∠PMC=∠ACB=30°, ∴∠PAM=∠APM=15°% 点P轨迹为“AP”, ∴当DP⊥AP时，DP最小，如答图， ∴∠ACD=120°,∠CAD=∠CDA=30°% ∵AC=CD=2米，∴在△ACD中，易求AD=2√3米. ∵∠PAD=∠PDA=45°, . PD=PA==6米，即MN长度的最小值为6米. A P B E N 22题答图 D 23.解：(1)AD的长为4. (2)5 [[解析]如答图①,过点D作DH⊥AC于点H,过点A 作AK⊥BC于点K, :.DH=CDA×4k=2×4=5 A A N 4 H pk M B- C B4 CK D 2 DK 23题答图②23题答图① (3)如答图②,易得当 PN⊥AC时，点M落在AC上， ∴AC×DH=DC×AK. 设AP=a,则BD=a,CD=6-a, ∴5DH=4(6-a), ∴.AH=DH=5(6-a),CH=5(6-a), ∴Ac=号(6-a)=5,解得a=号，即AP=. 2正方形APMN的边长为号. (4)2或5 tanLADH=4[解析]如答图③,通过“弦图”易得1 设CD=5m,则CH=3m,DH=4m,AH=3m, :.6m=5,m=6, ∴.CD=5m=265; A NA N CpK XH HM Mpk BZ C BD D C 23题答图③ 23题答图④ 如答图④,易得tan∠ADH=2 设CD=5m,则CH=3m,DH=4m,AH=6m, ∴.6m+3m=5,解得m=5, ..5m=9. 25或综上所述，CD的长为 24.(1)解：将(-2,-2)代入y=x2+2x+c, 得-2=4-4+c,c=-2, ∴y=x2+2x-2. (2)证明：∵A(m, m2+2m-2),B(-m,m2-2m-2), C(-5m,m2+2m-2). ∴当m>0时，如答图①,过点B作BH⊥AC于点H. tnZCAB=-m2+2m-2-(-m-2m-2)=4m=2; 当m<0时，如答图②. lanLCAB=A=m2-2m-2-m2+2m-2)=-2m=2. y 6 4 C- -5 H 2 A -2K 4 24题答图①x 5x 4 2 B -5 5 -3 A H C 24题答图② 故当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2. (3)①解：如答图③,对称轴直线x=-1, m25"=-1,m=2, ∴x=2, ∴AM=2 ∵ tan∠CAB=2,∴ DM=3, ∴ SEoc=2×AC×DE=2×3×6=9 4 k2 -5 M YAc -2 B 4 24题答图③ ②解：m≤-3或-1≤m<0或0<m≤4-√13. 29.2024年武汉市 1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D [解析]∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1, 0.1+1.9=0.2+1.8=⋯=0.9+1.1=1.又∵该函数图象 关于点(1,0)中心对称，∴ y?+y?+y?+⋯+y?+yn+⋯+Y?9 =0,∴ y?+y?+y?+⋯+y?9+Y2o=y1o+y?o.易知 A?o(1,0),即 y1o=0.把x=2代入 y=x3-3x2+3x-1,得y=1,∴ y2o=1, ∴yi+y?+y?+⋯+yi9+Y2o=yio+Y2o=0+1=1. 11.-2 12.1(答案不唯一，满足k>0即可) (k-1)213.x=-3 14.51 15. 里世星相皮器博日丽装取真星实域招南 众204年5月29日16时2分.”长春净月一号”星 烧迪程婚和故酸.使点G的对位点心落在直载 18.17分1们图.在因边形D中，∠A=∠B=,0 幕乘谷神星一号火篇在黄海零城厦功发目，当火薇 「上，则直A经过的路径长至少为 m《站 是边A食的中点.∠制M三∠风C求证：四边 28.2024年长泰市 上升到点A时，于得平育R处的霄沾测得点是到 果保留可) A以D是E用： 点本的作离为摩千零，电角为9，期此时火首情半 面的高度A从为 O试卷研究服告0 双起本迎 适中 新型化分 是卫 42 口范调 14题 清分：2分时风：1司分钟1 14.如图A唇是率同的在径.C是一条线.D是C的中 ,选择星：本量共8小题.每小里3分，共24分。在 6划国 点，馆⊥AN于点E,室AG下点F,溶交G于点 每小题给出的国个量项中，只有一顷暴料合置日图 L进n我千米 G,连站A收的出下面四个结论： 末的 19,(7分1某粒为两研学生计木整食空的请意度.从初 D∠ABD=∠AC 1,复据有理数达达期.计算2+《-3)过程正确的是 C4=g千关 Lf米 中体杆确中各陷机箱取0名学中对套进行满 子AF=r: 童度评分请分0分)，将农第到的评登数据进行 A.+〈32 B.+13-2) 3,知图，在AC中：：是迹AN的中点，按下%要求作 望理、精走和分所.下面哈出了常分信息： -（3+27 h-(3-2) 圆：①以点B为厕心、适当长为中轻衡翼，交线段 d2.用3,6 山.高中第四名学生所年分数的奥数分有直方图如 2陶湖公园是卡春市著名旅醉原点之一，周是公园 于点D,交C于成E:2以点0为周心，BD长为半 下0-2D,4B=6时，△D时g的面是5， 下图（数据分成4组6运<7,7≤8,6《9 中“图角亭”景观约屏片，图是其航拍片，则图 径新溪.交线段两于点F:以点F为同心，E长 上述错论中。正确精论的序号有 下是四角”量的 为半径画面交俄一养氧于点公.点G与点C在直线 三、解答是：本题共0小慧，共7%分 B测：4作直线OG,交AC于点(.下列情论不一 2 定域立的是 A.∠R=∠月 焦∠UC+2C=13的 2 C =C R.OM-48 .主规 人用低函对中，小龙同学想用一张矩形：片第出一个 1饭(6分22山年有林省普酒商中开的施行襄高等这 正五边形，其中正五边形的一条边与见期的边重金。 科根式，比履式有若干种学科细合，得位离中生可 A高中军的名学生所评分数在等运：<9这一组 妇图所示，瑞∠红的大小羽 限摆白己的实际情进择一种一对程密首如铁考 的星： .08.182R1R48.58.6k7R6 人司一精商中且远择了相问州合，碳校要将断有记 里这种组合的学升分成A,.C三个且其中餐位 G朝中落，高中常各2的名字生请理分数的半均数 学生被分列这三个提的机公均等，用树状图《观 中位数恒下 .围，在平面直角坐标系中。点山是坐怀标跟点.点 列表)的方达，求这对双随驻组非载分再同个用 羊均数中数 3 A4.2在函数y-点(0>0)们图象上将直线 的慢序 . D.T2" 朝中年k3长手 4下列运意一定正确的是 川沿，轴向上平移，半移后的直线与输交干点章， 12a·与= · 与函登y=≥，>的闲象定于点（若化= 根探以上信息，国答下列延： C( D.ia'F=a 天不等美系在生话中亚存在，如用，。，6分别表示两 5,则点H的生标是 1门，(6分}（九章算术）是我国第一部白成体暴的数学 (1)表中知的值为 收同学的身高，表乐白阶的高度.图中有人的对 A.(0.w3) &(0.3) 专著，式中“益不足术”记致：今有元买金.人出四 2》银据利查们制定的调直度等观对分标难，浮计 4 不其于8,5分为“含闲危” 体观的数学原里是 百，题三干国百：人出己百，益一直利人数，金论各 610.4} L40.25 儿间？译文：令有人合伏买金，每人出0线，解 1在作鞋离春的学生中，量初中部，高中韩对食常 好证是光礼 二，填空温：本题共6小超，每小题3分，共8分。 )D钱：每人出线.剩余D钱问介休人慧 “丰常端意”的人数分刚为，，期 生.单项式-2.6的次数为 和金价各是多少？请幅等这个问圈 :{填>-《”重”=") 什算：√/万-E= 2高中都共有国名学生在食家或管，估计其 1,若抛物线于=-g+(0是宫数1与x轴设有交点 中对食度”事育离意“的学生人数 曙：的取机税明是 12已恒直或=如+（本是摩数）经适点(1,1门，且 焦着a>6,4》,单2 ,随：的销大成减小.期4的值可以是 C若a>6,20,渊w> (写出一个即可) 13一块含3角的直角三角板A加按霄所乐的方式 以放，边AB与直级重介，B■2n浅奶该二角 保世■脑风图酒日所领章汽塞实线教南 .(7分)丽D,丽2.图1均是3x3的正方形材格 2(要分)[同题显规】小解在数学光尾小5味满 23.(0登)丽，在△AC中.AN.G5,C点 24:(12分》在平面宜角华际系中，点0是坐标原点，箱 每个小正方后的边长均为1。每个小正：方张的鼠息 风一个几间问国：如图C,在等边△A中，B=3, D是边上的一点（点P不与点“，G重合1，作材 没y=x+2红+(e是霜数)处过应(-2，-2 你为格点，点A雪均在相点上，只用无判度的直民 点"N分月边A比，C上，且是=N,试闲究线 线AD,在射线AB取虚P,使AP=D,星P为边 点4B是线箱物线上不重合的两点，线学标分调为 分渊在给定的样格中按下气壁术作边港记 夜作长度的量小鹤 作正方B APMV,使点N机点C在直或AP同侧 ,-n,点C的情坐标为-5，点G以坐松与南 使儿是轴时序闲彩且点GP均在格点上 【同题分析！小用道过鸭造平行四边形，将发道点可 ()当点B是边的中点时，求A山的长： A的队多5相同，直结ABAC (1}在周中，边形D育积为2 赠转化为单动点问赠，再话过定角发魔这个动点的 (2)背D=4时，点D到直我AC的爬离 1)象通抛物线对应的函数表达式！ 【2》在周2中，边形A0GD角积为3 运动济枪，进自解决上述几，匀间愿 (2求簧：当时取不为零势任意实数时，如上C4旧 3》在图3中，四功形40面队为A 【同颤解决！如图2，甘点G,r分别作NG的平 ())逢结N,S以⊥G时.求正方形AY的 的情始修为2： 行线，并必于巡P,作时线AP在【网是星现！约表 山长 3)作的意直平分液交直议A格千点D,以D 行下，宽成下列问递 (4)若点N阀直气AC的距离是点M到直线AC距 为边AC为对角线作菱形DE,莲站DE (1)证明：AraP 内的3结，则0的长为 工当地与北抛物找的对释箱重合针.求菱图 《)∠AP的大小为 度.线段N长度的 可) AE约直积： 11 2L.(8分)区间测速是物雀某一痛段信后致置两个重 最小值为 2当此抛物线在菱形A官内富的点的篇坐标 控点，根据车辆动过西个密控点的时问来计算车情 【方法虫用！某种简易房候在整体运偏雨有用钢能 ,随。的增大图植大时，直接可出用的取们 过行国处理，如小收电了该的相 在谈路夏上的平均行装塘度，小香驾健一辆小想汽 关散据，并判出了示意司，如阴①，△A以是等鞭国 车在高速公路上行驶，其可处过一具长度为面干 米的风闲测速铸段，从该路段起点开命.他先匀走 角形，边电E是更形，AB=C▣D2米， ，作一条背点位置胸长均可调 行装分小做，再之即减迷以另一锋度匀速行数（诚 书的钢按南，点在G上，点、在原上在圆图 请时问望略不计》，车佳达路取终点时.测率望 钢批阅确点位置时，其长度也随之改变，们雪静阅 置男得辆汽车在整个路反行授的平)速度为们 A=.时作长皮的量小植为 干米/时汽有在区闻满随路段行典的拜程方（干 米)占在此路度行健的时问《时)之可的函数图象 商所示 1和的值为 24 (2}当后《《时，术)与：之间的两数关聚式 : (3通过计算说明在此区同测速路段内，该辆汽车 减淘用是否超沫，（尤降程夏求小型汽军行融 度不蒋显过12如千米/时) T有 2想用 56