专题02 简谐运动与振动图像（期中知识清单）高二物理上学期粤教版

专题02 简谐运动与振动图像 目 录 识记类 思维导图 知识清单 考点清单 辨析清单 题型类 高频题型清单 易错题型清单 重难题型清单 答题类 解题模型清单 答题技巧清单 知识点01 振动与平衡位置 1．振动是物体在平衡位置附近的往复运动。描述振动位移时以平衡位置为参考点，位移的正负反映位置所在的方向。 2．平衡位置处沿振动方向的合力为零；振动物体经过这一位置时仍可能有速度，不能由合力瞬时为零断言此后匀速。 知识点02 简谐运动与回复力 1．物体沿振动方向受到的回复力与偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，即，这种运动为简谐运动。 2．回复力是按作用效果命名的力，应由实际受力分析确定；它不一定是单独的一种力，不能在已有受力之外再多画一个回复力。 知识点03 加速度与位移 1．由简谐运动条件可得，加速度方向指向平衡位置，其大小与位移绝对值成正比。 2．同一位置的回复力和加速度确定，但经过该位置时速度方向可不同；应结合运动过程或图像斜率判断。 知识点04 振幅与位移 1．振幅A是振动位移绝对值的最大值，表示振动范围；振幅为非负量，不能与某一时刻的带符号位移混同。 2．理想简谐运动中振幅保持不变；阻尼振动中振幅随时间减小。振幅较大并不意味着周期一定较大。 知识点05 周期与频率 1．周期T是完成一次完整振动的时间；频率f是单位时间内完成完整振动的次数，关系为。 2．确定周期要比较位置和运动方向都相同的重复状态，不能只比较相同位置；理想线性弹簧振子的周期与振幅无关。 知识点06 速度与能量变化 1．物体向平衡位置运动时，速率增大、加速度大小减小；离开平衡位置时，速率减小、加速度大小增大。 2．理想振子不计阻力时机械能守恒：平衡位置处速率和动能最大，端点处速率为零。这里的势能应按具体振子模型的整体能量分析。 知识点07 振动图像 1．振动图像的横轴是时间、纵轴是位移；纵坐标给出位置，曲线的切线斜率反映速度方向与大小。 2．斜率为正表示沿正方向运动，斜率为负表示沿负方向运动；端点斜率为零。图像的曲线不是物体在空间中的运动轨迹。 知识点08 时间、位移与路程 1．任意完整周期的路程为4A，任意半周期的路程为2A；位移则由初、末位置的代数差确定。 2．从平衡位置到相邻端点或从端点到相邻平衡位置需四分之一周期，路程为A；任意四分之一周期的路程不能一律取A。非整周期过程应按经过的端点分段。 考点一 状态与回复规律 考点内容：区分位移、速度、加速度和回复力的方向及变化。 （1）先判断物体在平衡位置哪一侧，再判定正向靠近还是离开；位置决定回复力和加速度，运动方向需另判。 考点二 振动图像读取 考点内容：从横纵坐标和重复状态读出振幅、周期、位移与运动方向。 （1）先看坐标含义和单位，再读纵坐标与斜率；两个相同位移点若运动方向不同，不能直接当作一个周期。 考点三 分段计时与路程 考点内容：将整周期规律与不足一周期的实际路径分别处理。 （1）先提取完整周期或半周期，再对余下时间按经过的端点分段求路程；不要用位移绝对值代替往复路程。 辨析一 位移与运动方向 误区：位移为正就表示向正方向运动。辨析：位移表示位置，速度表示运动方向；在图像上分别看纵坐标和斜率。 辨析二 速度与加速度 误区：速度大时加速度必定大。辨析：简谐运动中平衡位置速率最大、加速度为零，端点速率为零、加速度大小最大。 辨析三 图像与运动轨迹 误区：振动图像是物体在空间里走过的轨迹。辨析：横轴是时间，曲线描述位移随时间的变化，不能据曲线形状画空间轨迹。 辨析四 四分之一周期的路程 误区：任何四分之一周期路程都等于振幅。辨析：只在端点与相邻平衡位置之间等特定阶段成立，其他起始状态需分段分析。 【题型一】简谐运动判定 【方法梳理】根据沿振动方向的合力是否与位移成正比且反向，判断运动条件。 【例1】（21-22高二下·广东江门·期中）下列运动属于机械振动的是(　　) A．说话时声带的运动 B．弹簧振子在竖直方向的上下运动 C．体育课上同学进行25米折返跑 D．竖直向上抛出的物体的运动 【答案】AB 【详解】AB．物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动；说话时声带的运动、弹簧振子在竖直方向的上下运动，均是在其平衡位置附近的振动，故AB正确； CD．体育课上同学进行25米折返跑、竖直向上抛出的物体的运动都不是在其平衡位置附近的振动，故CD错误。 故选AB。 【变式1-1】（24-25高二下·广东河源·开学考试）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．回复力方向总是指向平衡位置 B．加速度方向总是与位移方向相同 C．速度方向总是与位移方向相同 D．位移方向总是与回复力方向相同 【答案】A 【详解】AD．回复力由F=-kx决定，方向总指向平衡位置，回复力方向与位移方向相反，故A正确，D错误； B．加速度，方向总与位移x相反，故B错误； C．速度方向在远离平衡位置时与位移同向，靠近时反向，故C错误； 故选A。 【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期末）如图所示，底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上，静止时浮筒水面以下部分的长度为3l，已知水的密度为，重力加速度为g，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l）后由静止释放，浮筒开始上下振动，忽略水对浮筒的粘滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动，分析回答以下问题： （1）由哪些力提供浮筒振动的回复力？ （2）浮筒是否做简谐运动？并进行证明； （3）若按压长度x值减小，浮筒的振动频率怎么改变？ 【答案】（1）浮力和重力 （2）浮筒做简谐运动 浮筒的平衡位置就在原来静止的位置，浮筒漂浮（静止）时由力平衡可得 现在以浮筒振动到平衡位置下方情形为例来证明，取向下为正方向，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l），其偏离平衡位置的位移大小为x，所受到的浮力变为 回复力为 显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，同理可证，浮筒振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，分析浮筒在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知，回复力恒指向平衡位置，所以浮筒此时做简谐运动。 （3）不变 【详解】（1）浮筒受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力，浮力和重力提供浮筒振动的回复力。 （2）略； （3）简谐运动的频率由自身物理性质决定，若按压长度x值减小，自身物理性质未改变，浮筒的振动频率不会改变。 【题型二】回复力与加速度 【方法梳理】以平衡位置为位移原点，先确定位移符号，再由反向关系判断力和加速度。 【例2】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力也可以是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 【答案】B 【详解】A．简谐运动的回复力满足公式，其中是物体相对平衡位置的位移，随运动过程大小和方向不断变化，因此回复力是变力，故A错误； B．根据牛顿第二定律，简谐运动的加速度 式中负号表明加速度方向与位移方向始终相反，故B正确； C．公式中的是比例系数，并不一定是弹簧的劲度系数（如单摆的回复力公式中就和劲度系数无关），是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧的长度，故C错误； D．简谐运动的物体经过平衡位置时回复力为零，但合力不一定为零，例如单摆经过最低点（平衡位置）时，合力需要提供向心力，合力不为零，故D错误。 故选B。 【变式2-1】（24-25高二下·广东江门·期末）做简谐振动的物体经过A点时，加速度的大小为2m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小为3m/s2，方向指向A点。A、B之间的距离是5cm，则它的平衡位置与A点的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【详解】简谐运动中，加速度方向总是指向平衡位置，且大小为，与位移x成正比。 A点加速度指向B，说明平衡位置在B方向（即A的右侧）；B点加速度指向A，说明平衡位置在A方向（即B的左侧）。 因此，平衡位置必在A、B之间。 设平衡位置到A的距离为x，到B的距离为y，则 加速度大小之比为，即 代入 解得， 综上，平衡位置到A点的距离为2cm。 故选A。 【变式2-2】（25-26高二上·广东东莞·期末）做简谐运动的弹簧振子，当它每次经过平衡位置时，可能不同的物理量是（    ） A．动量 B．动能 C．回复力 D．位移 【答案】A 【详解】A．动量是矢量，方向与速度方向相同。在平衡位置，速度大小相同但方向可能相反，因此动量方向可能不同，故动量可能不同，A正确； B．动能是标量，只取决于速度大小。在平衡位置，速度大小相同，因此动能一定相同，B错误； CD．弹簧振子的回复力 但在平衡位置位移为零，回复力恒为零，CD错误。 故选A。 【变式2-3】（25-26高二下·广东广州·期中）如图，水平放置的弹簧振子在、之间做简谐运动。是平衡位置，、是振动过程中关于对称的两个位置，则（　　） A．振子经过、两位置时，加速度相同 B．振子经过、两位置时，动能不相同 C．振子从到和从到的运动时间相等 D．振子从到过程中，所受回复力先增大后减小 【答案】C 【详解】A．、是振动过程中关于对称的两个位置，因此振子经过、两位置时，由加速度公式和对称性可知，加速度大小相同，方向不同，A错误； B．振子经过、两位置时，由对称性可知，速度大小相同，由动能计算公式可知，动能相同，B错误； C．、两点分别是两个最大位移点，由对称性可知，振子从到和从到所用时间各为，即运动时间相等，C正确； D．振子从到过程中，由弹簧振子所受回复力公式可知，所受回复力先减小后增大，D错误。 故选C。 【题型三】周期频率与振幅 【方法梳理】区分范围与快慢，读出最大位移绝对值和完整振动所用时间。 【例3】（24-25高二下·广东广州·期中）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（　　） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子具有最大动能 D．时，振子具有最大加速度 【答案】BD 【详解】A．MN间距离为2A=10cm 选项A错误； B．振子的运动周期是 选项B正确； CD．时，振子在位移最大的位置，速度为零，则具有最小动能，此时回复力最大，振子具有最大加速度，选项C错误，D正确。 故选BD。 【变式3-1】（24-25高二下·广东河源·开学考试）一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振幅为A=10cm，周期为T=2s，在t=0时刻从坐标原点沿x轴正向运动，求： (1)振子的振动频率； (2)振子在t=0.5s时的位移大小； (3)振子在t=0.5s时的速度大小。 【答案】(1)0.5Hz (2)10cm (3)0 【详解】（1）振子的振动频率 （2）振子在t=0.5s=时到达位移最大的位置，则此时的位移为10cm； （3）振子在t=0.5s=时到达位移最大的位置，则此时的速度为0。 【变式3-2】（23-24高二下·广东江门·期中）如图，一弹簧振子沿轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，时第一次到达点，已知振子经过、两点时的速度大小相等，内经过的路程为，该弹簧振子的周期和振幅分别为（　　） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【详解】根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为 从A到B经过了半个周期的振动，路程为，而一个完整的周期路程为0.8m，为4个振幅的路程，有 解得振幅为 故选C。 【题型四】振动图像读数 【方法梳理】先看横纵轴的物理量和单位，再依坐标读位置、依斜率判运动方向。 【例4】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图（甲）所示，弹簧一端固定，另一端连接一个小球，小球置于水平光滑地面上，O点为小球自然静止的位置。在O点给小球一个水平向右的瞬时速度，小球在A、B两点间做往复运动，若规定向右为正，图（乙）为小球运动的位置-时刻图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，小球的加速度为负向最大 B．在与两个时刻，小球的位移和速度均相同 C．从到时间内，小球做加速度增加的减速运动 D．在时，小球的速度最小 【答案】AC 【详解】A．由图乙可知，时，小球位于正向最大位移处，根据牛顿第二定律可得 可知，小球的加速度为负向最大，故A正确； B．由图乙可知，在与两个时刻，小球的位移相同，速度大小相等，方向相反，B错误； C．从到时间内，小球从平衡位置向最大位移处移动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，由于小球速度方向与加速度方向相反，小球的速度逐渐减小，因此从到时间内，小球做加速度增加的减速运动，故C正确； D．由图乙可知，在时，小球在平衡位置，此时小球的速度最大，故D错误。 故选AC。 【变式4-1】（23-24高二下·广东清远·期中）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．质点的振动频率为4Hz B．在0~10s内质点经过的路程是20cm C．在第5s末，质点速度为零，加速度也为零 D．在t=1.5s和t=3.5s两时刻质点速度相同 【答案】B 【详解】A．由题图可知周期为4s，则频率为 故A错误； B．质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在10s内经过的路程为 故B正确； C．在第5s末，质点位于正的最大位移处，速度为零，加速度最大，故C错误； D．根据简谐运动的对称性，由题图可以看出，在t=1.5s和t=3.5s两时刻质点的速度大小相等但方向相反，故D错误。 故选B。 【变式4-2】（24-25高二下·广东广州·阶段检测）如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．末和末，振子的速度方向相同 B．时，振子的位移为 C．振子做简谐运动的表达式为 D．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 【答案】C 【详解】A．由题可知，末和末，振子的速度方向相反，故A错误； C．由图可知，弹簧振子的振幅为，周期为，则振子做简谐运动的表达式为，故C正确； B．时，振子的位移为，故B错误； D．由图可知，在时间内，弹簧振子从B点向O点运动，弹簧振子的速度和加速度方向都指向平衡位置，始终相同，故D错误。 故选C。 【题型一】位移符号与速度方向 【方法梳理】位置由纵坐标决定，运动方向由斜率决定；两种符号不可互相替代。 【例1】（23-24高二下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离5cm后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动如图所示，则（　　） A．周期为 B．在0.3s时刻，小球的动能最小为0 C．在0.1s时刻，小球向上运动 D．小球在一个周期内的位移为20cm 【答案】C 【详解】A．由图知，周期为，故A错误； B．在0.3s时刻，小球处于平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误； C．由图知，在0.1s时刻，小球向上运动，故C正确； D．小球在一个周期内回到原出发点，位移为0，故D错误。 故选C。 【变式1-1】（24-25高二下·广东江门·期中）如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图乙所示，则试管（　　） A．振幅为2.0cm B．振动频率为2.5Hz C．在t=0.1s时速度为零 D．在t=0.2s时加速度方向竖直向上 【答案】BD 【详解】A．振幅为A=1.0cm，选项A错误； B．振动周期为0.4s，则频率为，选项B正确； C．在t=0.1s时在平衡位置，此时速度最大，选项C错误； D．在t=0.2s时位移为负向最大，则加速度方向竖直向上，选项D正确。 故选BD。 【变式1-2】（24-25高二上·广东中山·阶段检测）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置下方 C．从至，手机的动能增大 D．改变手机振动的振幅，加速度随时间的变化周期将发生改变 【答案】B 【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，即手机处于平衡状态，则弹簧弹力 A错误； B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，根据可知手机位于平衡位置下方，B正确； C．由题图乙知，从至，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误； D．对于同一个振子，其振动周期与振幅无关，改变手机振动的振幅，加速度随时间的变化周期不变，D错误。 故选B。 【题型二】平衡位置与端点状态 【方法梳理】将速度、加速度、回复力和能量逐项比较，不把瞬时速度为零当作受力为零。 【例2】（25-26高二下·广东茂名·期末）如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 【答案】C 【详解】A．质点做简谐运动，根据简谐运动回复力公式有 根据牛顿第二定律有 联立解得 由于质点的位移随时间不断变化，可知质点的加速度随时间不断变化，则该质点的运动为非匀变速运动，故A错误； B．质点到达点时，质点的位移方向向右，产生的回复力方向向左，根据牛顿第二定律可知质点具有向左的加速度，故B错误； C．点为平衡位置，质点在点时回复力为零，加速度为零，此时质点的速度达到最大值，故C正确； D．质点由往运动时，质点先靠近平衡位置后远离平衡位置，回复力先做正功后做负功，可知质点的速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 【变式2-1】（24-25高二下·广东·期中）如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座始终未离开地面，不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．头部在上下振动的过程中受到重力、弹力和回复力 B．头部从O点向A点运动过程中，速度逐渐减小 C．头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐减小 D．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒 【答案】B 【详解】A．头部在上下振动时，做简谐运动，重力和弹力的合力提供回复力，故A错误； BC．头部从O点向A点运动过程中，是从平衡位置向最大位移位置运动，速度减小，加速度增大，故B正确，C错误； D．在整个运动过程中，头部和弹簧组成的系统机械能守恒，故D错误。 故选B。 【变式2-2】（24-25高二下·广东江门·阶段检测）如图所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点。现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中（　　） A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同 B．小物块每次运动到N点时的加速度可能相反 C．小物块从O点向M点运动过程中加速度与位移方向相反 D．小物块从O点向N点运动过程中机械能增加 【答案】C 【详解】A．根据F=-kx可知小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，故A错误； B．根据可知小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，故B错误； C．根据可知小物块从O点向M点运动过程中加速度方向与位移方向相反，故C正确； D．小物块从O点向N点运动过程中弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减小，故D错误。 故选C。 【题型三】周期与半周期辨别 【方法梳理】比较位置和运动方向是否同时重复，再确定间隔是周期还是半周期。 【例3】（24-25高二下·广东肇庆·期末）海上养殖场的浮漂在风浪的作用下上下振动（可视为简谐振动），其振动周期为，振幅为A。某时刻浮漂正好经过平衡位置向上运动。忽略水的黏滞阻力，从该时刻起，下列说法正确的是（　　） A．经过时间，浮漂的速度达到最大 B．经过时间，浮漂的动能为零 C．经过时间，浮漂所受合力为零 D．风浪突然增大，浮漂的固有振动周期变大 【答案】C 【详解】A．某时刻浮漂正好经过平衡位置向上运动，经过时间，浮漂处于最大位移处，此时浮漂的速度为零，故A错误； B．经过时间，浮漂处于平衡位置向下运动，此时浮漂的速度最大，动能最大，故B错误； C．经过时间，浮漂处于平衡位置向上运动，此时浮漂所受合力为零，故C正确； D．固有周期由系统自身性质决定，风浪变化不影响固有周期，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（24-25高二上·广东广州·期中）如图甲所示为“弹簧公仔”玩具，由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，物块A在竖直方向上做简谐运动。物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块A的振动频率为0.8Hz B．0.5s时和0.7s时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．0.2~0.4s内，物块A的速度方向与加速度方向相反 D．物块A在任意0.4s内经过的路程一定为20cm 【答案】D 【详解】A．由图丙可知，物块A的振动周期为0.8s，所以频率为 故A错误； B．0.5s时和0.7s时，物块A处于同一位置，位移大小相等、方向相同，故B错误； C．0.2~0.4s内，物块A的速度增大，所以速度方向与加速度方向相同，故C错误； D．0.4s等于半个周期，所以物块A在0.4s内经过的路程为 故D正确。 故选D。 【变式3-2】（24-25高二下·广东河源·开学考试）一弹簧振子做简谐运动，振幅为A，周期为T，则振子在四分之一周期内通过的路程为（　　） A．A B．2A C． D．无法确定 【答案】D 【详解】弹簧振子做简谐运动时，路程的计算与起始位置有关。 若振子从平衡位置（最大速度处）出发，在四分之一周期内，振子从平衡位置运动到最大位移点，路程为A。 若振子从最大位移点（速度为零处）出发，在四分之一周期内，振子从最大位移点运动到平衡位置，路程也为A。 若振子从其他位置出发，四分之一周期内的路程可能为其他值，因此无法唯一确定。 故选D。 【题型一】往复运动的路程 【方法梳理】先列出经过的端点，按实际路径求和；位移只取初末位置之差。 【例1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。求5s内小球通过的路程及5s末小球相对平衡位置的位移（　　） A．0.1m和2m B．0.4m和0.1m C．2m和0.1m D．0.1m和0.4m 【答案】C 【详解】根据题意可知，该弹簧振子的振幅，周期，一个周期内通过的路程为，所以5s内小球通过的路程为 经过5s后，即小球经过5个周期仍回到初始位置B，位移为，即5s末小球相对平衡位置的位移。 故选C。 【变式1-1】（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式； (2)在第末到第末这段时间内，弹簧振子的加速度是怎样变化的？ (3)该振子在前的总位移是多少？路程是多少？ 【答案】(1)x=5sin（0.5πt）cm (2)加速度由零逐渐变大，直到最大值，方向沿正方向 (3)0；2m 【详解】（1）由图可以知道弹簧振子的周期为，， 故该振子简谐运动的表达式为 （2）由题图可知，在时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的持续，加速度逐渐变大，当时，加速度达到最大值，方向沿正方向。 （3）因 而振子在一个周期内通过的路程是，所以振子在前的总路程是 总位移为。 【变式1-2】（24-25高二下·广东清远·期中）如图所示为某弹簧振子做简谐运动的图像，下列描述正确的是（　　） A．该振子的周期为2s B．在1.5~2s时间内，振子的加速度不断增大 C．在2.5~3.5s时间内，振子位移为零 D．在3.5s时，振子的速度沿轴负方向，加速度沿轴正方向 【答案】C 【详解】A．图像可知该振子的周期为4s，故A错误； B．图像可知在1.5~2s时间内，振子的位移在减小，振子的加速度 可知振子的加速度不断减小，故B错误； C．对称性可知2.5s与3.5s时振子在同一位置，故该过程振子位移为零，故C正确； D．图像可知在3.5s时，振子的速度沿轴负方向，但位移沿轴正方向，根据 可知位移方向与加速度方向相反，故加速度沿轴负方向，故D错误。 故选C。 【题型二】图像与同位置不同状态 【方法梳理】同一位置加速度相同而速度可反向；需要把运动方向信息带入判断。 【例2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm B．该弹簧振子在时和时的速度相同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小不为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，该振动的振幅为15cm、周期为1.6s，故A错误； B．由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在时和时的速度相同，故B正确； C．因为周期为1.6s，根据简谐运动的周期性可知在时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C错误； D．在到的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。 故选B。 【变式2-1】（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）如图所示为某一质点做简谐运动的振动图像，，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为（     ） A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相同 D．，方向相反 【答案】AD 【详解】AB．由题图知，t1、t2两时刻，质点都在沿x轴负方向运动，越靠近平衡位置，速度越大，故，方向相同，故A正确，B错误； CD．由可知，方向相反。故C错误，D正确； 故选AD。 【变式2-2】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）图为0~1.5s范围内某物体做简谐运动的图像，下列选项正确的是（　　） A．1.2s时的回复力与0.4s时的回复力相同 B．1.0s时的速度与0.4s时的速度相同 C．1.3s时的动能与0.4s时的动能相同 D．0.6s~0.8s系统的势能在增大 【答案】AB 【详解】A．由图可知，该简谐运动的周期 1.2s与相差一个周期，根据简谐运动的周期性，两时刻物体的位移相同，由可知回复力相同，故A正确； B．1.0s与相差一个周期，状态相同。与关于平衡位置时刻对称。结合图像可知，关于平衡位置对称的两时刻速度大小相等、方向相同，故B正确； C．1.3s时物体位于波峰，速度为零，动能为零；时物体不在最大位移处，速度不为零，动能不为零，故C错误； D．0.6s~0.8s过程中，物体先从波峰向平衡位置运动，位移减小，势能减小；后从平衡位置向波谷运动，位移增大，势能增大。故系统的势能先减小后增大，故D错误。 故选AB。 【题型三】振子能量与过程 【方法梳理】理想模型按机械能守恒分析速度和势能变化，先明确势能属于哪一系统。 【例3】（24-25高二下·广东河源·开学考试）关于简谐运动的能量，下列说法正确的是（　　） A．动能和势能之和保持不变 B．动能最大时，势能最小 C．势能最大时，动能最小 D．动能和势能的变化周期相同 【答案】ABCD 【详解】ABC．在简谐振动中，动能和势能相互转化，且动能和势能之和保持不变；动能最大时，势能最小；势能最大时，动能最小，ABC正确； D．动能和势能的变化周期相同，D正确。 故选ABCD。 【变式3-1】（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）如图是某鱼漂的示意图，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好在点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面，鱼漂的运动可看成简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．每次点O到达水面时，鱼漂的速度相同 B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的位移 C．松手后，当鱼漂由下往上运动时，速度先变大后变小 D．若把鱼漂向下压得更深些，使点M在水面下，松手后鱼漂运动的周期不变 【答案】CD 【详解】A．每次点O到达水面时，速度大小相等，但方向可能不同，因此鱼漂的速度可能不同，A错误； B．点N到达水面时，鱼漂相对于平衡位置具有向上的位移，B错误； C．松手后，鱼漂从最低点向上运动，开始浮力和重力的合力向上，与速度方向相同，速度增大，到达平衡位置时，速度最大，过了平衡位置后，合力向下，鱼漂向上运动，速度减小，故鱼漂的速度先增大，后减小，C正确； D．简谐振动的周期只与系统本身性质有关，与振幅无关，把鱼漂向下压得更深，只是增大了振幅，鱼漂得周期并未改变，D正确。 故选CD。 【变式3-2】（24-25高二下·广东广州·阶段检测）如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一弹簧振子，并将其悬挂于教室内一体机白板的前方。使弹簧振子沿竖直方向上下自由振动，白板以速率v水平向左匀速运动，激光笔在白板上留下如图所示的书写印迹。图中相邻竖直虚线的间隔均为x0，印迹上P、Q两点的纵坐标分别为y0和-y0。忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该弹簧振子的振幅为y0 B．该弹簧振子的振动周期为 C．激光笔在留下P、Q两点时加速度相同 D．激光笔在留下P、Q段印迹的过程中，弹簧弹力对激光笔做功为 【答案】ABD 【详解】A．图中振子振动偏离平衡位置的最大位移大小为，故该弹簧振子的振幅为，故A正确； B． 从图中可以看出白板移动距离时，弹簧振子刚好振动一个周期，所以弹簧振子周期为，故B正确； C．做简谐运动的物体的加速度始终指向平衡位置，激光笔在留下P、Q两点时加速度大小相等，方向相反，故C错误； D．激光笔在留下P、Q段印迹的过程中，有弹簧弹力和重力对激光笔做功，而在P、Q两点时速度都为零，根据动能定理有 解得，故D正确。 故选ABD。 【题型一】弹簧振子的回复力模型 【模型解读】先找平衡位置，再用偏离平衡位置的形变量表达回复力，避免混用总伸长与振动位移。 【例1】（25-26高二下·广东汕头·阶段检测）图甲为名叫“弹簧公仔”的玩具，其底座固定在水平地面上，忽略空气阻力及轻弹簧的质量，可将玩具的头部与轻弹簧构建为图乙所示的竖直弹簧振子模型。现将物块A从弹簧处于原长的位置由静止释放，物块A将沿竖直方向做简谐运动。已知物块A的质量为m，轻弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．物块A的振动属于受迫振动 B．物块A做简谐运动的回复力由重力与弹力的合力提供 C．物块A运动到最低点时，加速度的大小为g D．物块A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为 【答案】BC 【详解】A．物块A的振动属于简谐运动,故A错误； B．物块A做简谐运动的回复力由重力与弹力的合力提供,故B正确； C．现将物块A从弹簧处于原长的位置由静止释放，此时物块所在位置为最高点，加速度大小为g，根据简谐运动的对称性，当物块A运动到最低点时，加速度的大小也为g，故C正确； D．物块A运动到最低点时，由 弹簧的弹性势能为 联立解得，故D错误。 故选BC 。 【变式1-1】（24-25高二上·广东深圳·期中）如图所示，倾角为的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，使物块在斜面上做简谐运动，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。求： (1)物块处于平衡位置时弹簧的长度； (2)物块做简谐运动的振幅； (3)求弹簧的最大伸长量； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块在斜面上平衡时，设弹簧伸长量为ΔL，根据受力平衡条件 解得 此时弹簧的长度为 （2）物块做简谐运动的振幅为 解得 （3）简谐运动关于平衡位置对称，最大伸长位置（另一端点）相对于平衡位置的距离也等于振幅 因此弹簧相对于原长的最大伸长量为 整理得 【点睛】 【变式1-2】（23-24高二下·广东汕头·阶段检测）如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量，弹簧劲度系数为，将振子滑块从平衡位置O向左移，由静止释放后在B、C间运动，设弹簧的弹性势能表达式为，问： (1)滑块的加速度的最大值为多少？ (2)滑块完成5次全振动时走过的路程s。 (3)求滑块的最大速度。 【答案】(1)16m/s2 (2)80cm (3)0.8m/s 【详解】（1）振子的振幅为A=4cm。滑块的加速度的最大值 （2）滑块完成5次全振动时走过的路程 （3）根据 解得 【题型二】时间轴上的重复状态 【模型解读】用同位置同方向的状态标记一个完整周期，再向前后延伸时间轴。 【例2】（23-24高二下·广东江门·期末）如图是用摄像机拍摄竖直弹簧振子的运动，再利用逐帧观察的方式得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置图像，以弹簧振子小球的平衡位置为原点建立图像，下列说法正确的是（　　） A．可以利用频闪照相、照相机连拍的方式得到类似的图像 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿水平方向移动的 C．小球密处说明其位置变化快 D．小球位移与时间的关系是正弦函数关系，弹簧振子小球的运动是简谐运动 【答案】AD 【详解】A．利用频闪照相、照相机连拍的方式可得到相等时间间隔的类似的图像，故A正确； B．从图像可得小球在x轴方向上做简谐运动，振子沿水平方向或竖直方向运动未知，故B错误； C．图像的疏密反映小球在x方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢，故C错误； D．若质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像是一条正弦曲线，这样的运动即简谐运动，故D正确。 故选AD。 【变式2-1】（25-26高二下·广东广州·期中）一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。求： (1)时质点的位移x； (2)写出质点的振动方程； (3)到内质点运动的路程。 【答案】(1) (2)（cm） (3)8cm 【详解】（1）由图可知，质点的位移； （2）质点振动周期，则角速度 质点的振动方程（cm） （3）到内质点振动一个周期，则运动的路程 【变式2-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）如图（a），弹簧振子（带笔的小球）在水平方向作简谐运动的过程中，摇动把手使纸带运动就在纸带上画出如图（b）所示的振动图像。下列分析正确的是（　　） A．振动的振幅为 B．振动的周期为 C．振动的频率为 D．位移—时间的表达式为 【答案】A 【详解】A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图可知，弹簧振子的振幅为，故A正确； B．周期是振子完成一次全振动的时间，由图可知，周期为，故B错误； C．由频率和周期关系可得，频率为 故C错误； D．由图可知，初相位不为零，位移—时间的表达式为，故D错误。 故选A。 【题型三】整周期与余段路程 【模型解读】整周期用4A、半周期用2A，余下时间按实际经过的转向点分别计算。 【例3】（24-25高二下·广东深圳·期中）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过1.0s第二次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（     ） A．小球振动的周期一定为0.8s B．小球振动的振幅为0.3m C．1.8s末，小球一定在平衡位置 D．弹簧振子振动方程可能为x=﹣0.15sin（2.5πt）m 【答案】D 【详解】B．B、C是简谐运动的两个端点，间距 因此振幅，故B错误。 A．从O点开始计时，存在两种初始运动方向：若时，振子向B端运动，第一次到达B的时间为，第二次到达B的时间为 解得 若时，振子向C端运动，第一次到达B的时间为，第二次到达B的时间为 解得 因此周期不一定为，故A错误； C．对的情况，有 时振子恰好位于B点，不是平衡位置，因此1.8s末不一定在平衡位置，故C错误； D．对的情况，角频率 时振子在平衡位置，速度向右，沿着负方向，则设弹簧振子振动方程为 代入， 解得 即 对的情况，角频率 时振子在平衡位置，速度向左，沿着正方向，则设弹簧振子振动方程为 代入， 解得 即 因此弹簧振子振动方程可能为，故D正确。 故选D。 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求： (1)振子在6s内通过的路程和位移的大小； (2)振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值； (3)写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。 【答案】(1)，0 (2) (3)，， 【详解】（1）弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，可知振幅为 时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，可知 可知，振子在6s内通过的路程为 6s后回到原来位置，可知位移的大小为零。 （2）振子在B点的位移大小是在距O点10cm处P点的2倍，根据可知振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值为 （3）周期为，可知角速度为，时，振子处于O点向左运动，可知弹簧振子做简谐运动的方程为 振子从释放运动第一次到P点时有 可得 可得 可知振子从释放运动到P的最短时间为 【变式3-2】（23-24高二下·广东清远·阶段检测）某质点做简谐运动的振动图像如图所示，求： （1）在前4s内质点的路程s； （2）质点做简谐运动的位移随时间变化的关系式（用余弦函数表示）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）质点做简谐运动的周期为4s，在一个周期内质点的路程是4A，所以在前4s内质点的路程 （2）由图知，质点的振动周期为 振幅 则 质点做简谐运动的位移随时间变化的关系式 【题型四】位置速度加速度联合判断 【模型解读】先定位左右两侧，再判靠近或远离平衡位置，最后判断速度与加速度变化。 【例4】（24-25高二下·广东佛山·期末）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时弹簧处于原长状态 B．t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动 D．在t=0.1s与t=0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反 【答案】C 【详解】A．O点为静止时小球的位置，小球在O点时弹簧处于伸长状态，故A错误； B．t=0.2s时，弹簧振子处于下方振幅处，可知加速度为负向最大，故B错； C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子的位移减小、速度变大、加速度减小，所以，振子做加速度减小的变加速直线运动，故C正确; D．根据图乙可知，在t=0.1s与t=0.7s时弹簧振子的速度大小相等、方向相同，故D错误。 故选C。 【变式4-1】（25-26高二上·广东佛山·期中）如图所示是某质点做简谐运动的图像。 (1)该振动的振幅和周期是多少？t＝6s时质点的位移是多少？ (2)0~20s内质点通过的路程是多少？ (3)该质点的振动方程可以写作，其中的和各是多少？ 【答案】(1)4cm，8s，－4cm (2) (3)， 【详解】（1）由图知，该振动的振幅是，周期是，时质点的位移是－4cm； （2）0～20s相当于 质点在时间内通过的路程是 质点在时间内通过的路程是 质点在0～20s通过的路程 （3）其中的 当时， 得 【变式4-2】（24-25高二下·广东·期中）钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图，一钓鱼人在平静的水面浮钓，漂静止时露出水面3目，一只鱼儿竖直向下咬钩后又迅速松开，导致漂上下振动，该振动可视为简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．露出水面1目时，漂的加速度方向一定竖直向上 B．露出水面1目时，漂的速度方向一定竖直向下 C．露出水面3目时，漂的速度最大 D．露出水面5目时，漂的加速度方向可能竖直向上 【答案】AC 【详解】AB．露出水面1目时，漂的速度方向可能竖直向下，也可能竖直向上，且该位置在平衡位置下方，加速度方向一定竖直向上，故A正确，B错误； C．露出水面3目时为简谐运动平衡位置，速度最大，故C正确； D．露出水面5目时，加速度方向一定竖直向下，故D错误。 故选AC。 题目类型 技巧 看坐标 图像先核对时间、位移和单位，区分纵坐标与斜率。 定原点 位移原点取平衡位置；标清正方向再判断各矢量符号。 查状态 端点与平衡位置各项状态分别记忆，不凭一个量推断全部。 拆时间 先拆整周期与半周期，再处理剩余时间内的真实路径。 分两问 位移算初末差，路程算实际走过的长度，两者分别列式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简谐运动与振动图像 目 录 识记类 思维导图 知识清单 考点清单 辨析清单 题型类 高频题型清单 易错题型清单 重难题型清单 答题类 解题模型清单 答题技巧清单 知识点01 振动与平衡位置 1．振动是物体在平衡位置附近的________。描述振动位移时以平衡位置为参考点，位移的正负反映位置所在的方向。 2．平衡位置处沿振动方向的合力为零；振动物体经过这一位置时仍可能有速度，不能由合力瞬时为零断言此后匀速。 知识点02 简谐运动与回复力 1．物体沿振动方向受到的回复力与偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，即，这种运动为________。 2．回复力是按作用效果命名的力，应由实际受力分析确定；它________是单独的一种力，不能在已有受力之外再多画一个回复力。 知识点03 加速度与位移 1．由简谐运动条件可得，加速度方向指向________，其大小与位移绝对值成正比。 2．同一位置的回复力和加速度确定，但经过该位置时速度方向可不同；应结合运动过程或图像斜率判断。 知识点04 振幅与位移 1．振幅A是振动位移绝对值的________，表示振动范围；振幅为非负量，不能与某一时刻的带符号位移混同。 2．理想简谐运动中振幅保持不变；阻尼振动中振幅随时间减小。振幅较大并不意味着周期一定较大。 知识点05 周期与频率 1．周期T是完成一次完整振动的时间；频率f是单位时间内完成完整振动的次数，关系为。 2．确定周期要比较________的重复状态，不能只比较相同位置；理想线性弹簧振子的周期与振幅无关。 知识点06 速度与能量变化 1．物体向平衡位置运动时，速率________、加速度大小________；离开平衡位置时，速率减小、加速度大小增大。 2．理想振子不计阻力时机械能守恒：平衡位置处速率和动能最大，端点处速率为零。这里的势能应按具体振子模型的整体能量分析。 知识点07 振动图像 1．振动图像的横轴是________、纵轴是________；纵坐标给出位置，曲线的切线斜率反映速度方向与大小。 2．斜率为正表示沿正方向运动，斜率为负表示沿负方向运动；端点斜率为零。图像的曲线不是物体在空间中的运动轨迹。 知识点08 时间、位移与路程 1．任意完整周期的路程为________，任意半周期的路程为________；位移则由初、末位置的代数差确定。 2．从平衡位置到相邻端点或从端点到相邻平衡位置需四分之一周期，路程为A；________四分之一周期的路程不能一律取A。非整周期过程应按经过的端点分段。 考点一 状态与回复规律 考点内容：区分位移、速度、加速度和回复力的方向及变化。 （1）先判断物体在平衡位置哪一侧，再判定正向靠近还是离开；位置决定回复力和加速度，运动方向需另判。 考点二 振动图像读取 考点内容：从横纵坐标和重复状态读出振幅、周期、位移与运动方向。 （1）先看坐标含义和单位，再读纵坐标与斜率；两个相同位移点若运动方向不同，不能直接当作一个周期。 考点三 分段计时与路程 考点内容：将整周期规律与不足一周期的实际路径分别处理。 （1）先提取完整周期或半周期，再对余下时间按经过的端点分段求路程；不要用位移绝对值代替往复路程。 辨析一 位移与运动方向 误区：位移为正就表示向正方向运动。辨析：位移表示位置，速度表示运动方向；在图像上分别看纵坐标和斜率。 辨析二 速度与加速度 误区：速度大时加速度必定大。辨析：简谐运动中平衡位置速率最大、加速度为零，端点速率为零、加速度大小最大。 辨析三 图像与运动轨迹 误区：振动图像是物体在空间里走过的轨迹。辨析：横轴是时间，曲线描述位移随时间的变化，不能据曲线形状画空间轨迹。 辨析四 四分之一周期的路程 误区：任何四分之一周期路程都等于振幅。辨析：只在端点与相邻平衡位置之间等特定阶段成立，其他起始状态需分段分析。 【题型一】简谐运动判定 【方法梳理】根据沿振动方向的合力是否与位移成正比且反向，判断运动条件。 【例1】（21-22高二下·广东江门·期中）下列运动属于机械振动的是(　　) A．说话时声带的运动 B．弹簧振子在竖直方向的上下运动 C．体育课上同学进行25米折返跑 D．竖直向上抛出的物体的运动 【变式1-1】（24-25高二下·广东河源·开学考试）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．回复力方向总是指向平衡位置 B．加速度方向总是与位移方向相同 C．速度方向总是与位移方向相同 D．位移方向总是与回复力方向相同 【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期末）如图所示，底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上，静止时浮筒水面以下部分的长度为3l，已知水的密度为，重力加速度为g，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l）后由静止释放，浮筒开始上下振动，忽略水对浮筒的粘滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动，分析回答以下问题： （1）由哪些力提供浮筒振动的回复力？ （2）浮筒是否做简谐运动？并进行证明； （3）若按压长度x值减小，浮筒的振动频率怎么改变？ 【题型二】回复力与加速度 【方法梳理】以平衡位置为位移原点，先确定位移符号，再由反向关系判断力和加速度。 【例2】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力也可以是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 【变式2-1】（24-25高二下·广东江门·期末）做简谐振动的物体经过A点时，加速度的大小为2m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小为3m/s2，方向指向A点。A、B之间的距离是5cm，则它的平衡位置与A点的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式2-2】（25-26高二上·广东东莞·期末）做简谐运动的弹簧振子，当它每次经过平衡位置时，可能不同的物理量是（    ） A．动量 B．动能 C．回复力 D．位移 【变式2-3】（25-26高二下·广东广州·期中）如图，水平放置的弹簧振子在、之间做简谐运动。是平衡位置，、是振动过程中关于对称的两个位置，则（　　） A．振子经过、两位置时，加速度相同 B．振子经过、两位置时，动能不相同 C．振子从到和从到的运动时间相等 D．振子从到过程中，所受回复力先增大后减小 【题型三】周期频率与振幅 【方法梳理】区分范围与快慢，读出最大位移绝对值和完整振动所用时间。 【例3】（24-25高二下·广东广州·期中）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（　　） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子具有最大动能 D．时，振子具有最大加速度 【变式3-1】（24-25高二下·广东河源·开学考试）一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振幅为A=10cm，周期为T=2s，在t=0时刻从坐标原点沿x轴正向运动，求： (1)振子的振动频率； (2)振子在t=0.5s时的位移大小； (3)振子在t=0.5s时的速度大小。 【变式3-2】（23-24高二下·广东江门·期中）如图，一弹簧振子沿轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，时第一次到达点，已知振子经过、两点时的速度大小相等，内经过的路程为，该弹簧振子的周期和振幅分别为（　　） A．    B．    C．    D．    【题型四】振动图像读数 【方法梳理】先看横纵轴的物理量和单位，再依坐标读位置、依斜率判运动方向。 【例4】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图（甲）所示，弹簧一端固定，另一端连接一个小球，小球置于水平光滑地面上，O点为小球自然静止的位置。在O点给小球一个水平向右的瞬时速度，小球在A、B两点间做往复运动，若规定向右为正，图（乙）为小球运动的位置-时刻图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，小球的加速度为负向最大 B．在与两个时刻，小球的位移和速度均相同 C．从到时间内，小球做加速度增加的减速运动 D．在时，小球的速度最小 【变式4-1】（23-24高二下·广东清远·期中）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．质点的振动频率为4Hz B．在0~10s内质点经过的路程是20cm C．在第5s末，质点速度为零，加速度也为零 D．在t=1.5s和t=3.5s两时刻质点速度相同 【变式4-2】（24-25高二下·广东广州·阶段检测）如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．末和末，振子的速度方向相同 B．时，振子的位移为 C．振子做简谐运动的表达式为 D．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 【题型一】位移符号与速度方向 【方法梳理】位置由纵坐标决定，运动方向由斜率决定；两种符号不可互相替代。 【例1】（23-24高二下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离5cm后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动如图所示，则（　　） A．周期为 B．在0.3s时刻，小球的动能最小为0 C．在0.1s时刻，小球向上运动 D．小球在一个周期内的位移为20cm 【变式1-1】（24-25高二下·广东江门·期中）如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图乙所示，则试管（　　） A．振幅为2.0cm B．振动频率为2.5Hz C．在t=0.1s时速度为零 D．在t=0.2s时加速度方向竖直向上 【变式1-2】（24-25高二上·广东中山·阶段检测）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置下方 C．从至，手机的动能增大 D．改变手机振动的振幅，加速度随时间的变化周期将发生改变 【题型二】平衡位置与端点状态 【方法梳理】将速度、加速度、回复力和能量逐项比较，不把瞬时速度为零当作受力为零。 【例2】（25-26高二下·广东茂名·期末）如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 【变式2-1】（24-25高二下·广东·期中）如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于桌面上，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座始终未离开地面，不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．头部在上下振动的过程中受到重力、弹力和回复力 B．头部从O点向A点运动过程中，速度逐渐减小 C．头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐减小 D．头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒 【变式2-2】（24-25高二下·广东江门·阶段检测）如图所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点。现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中（　　） A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同 B．小物块每次运动到N点时的加速度可能相反 C．小物块从O点向M点运动过程中加速度与位移方向相反 D．小物块从O点向N点运动过程中机械能增加 【题型三】周期与半周期辨别 【方法梳理】比较位置和运动方向是否同时重复，再确定间隔是周期还是半周期。 【例3】（24-25高二下·广东肇庆·期末）海上养殖场的浮漂在风浪的作用下上下振动（可视为简谐振动），其振动周期为，振幅为A。某时刻浮漂正好经过平衡位置向上运动。忽略水的黏滞阻力，从该时刻起，下列说法正确的是（　　） A．经过时间，浮漂的速度达到最大 B．经过时间，浮漂的动能为零 C．经过时间，浮漂所受合力为零 D．风浪突然增大，浮漂的固有振动周期变大 【变式3-1】（24-25高二上·广东广州·期中）如图甲所示为“弹簧公仔”玩具，由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，物块A在竖直方向上做简谐运动。物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块A的振动频率为0.8Hz B．0.5s时和0.7s时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．0.2~0.4s内，物块A的速度方向与加速度方向相反 D．物块A在任意0.4s内经过的路程一定为20cm 【变式3-2】（24-25高二下·广东河源·开学考试）一弹簧振子做简谐运动，振幅为A，周期为T，则振子在四分之一周期内通过的路程为（　　） A．A B．2A C． D．无法确定 【题型一】往复运动的路程 【方法梳理】先列出经过的端点，按实际路径求和；位移只取初末位置之差。 【例1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。求5s内小球通过的路程及5s末小球相对平衡位置的位移（　　） A．0.1m和2m B．0.4m和0.1m C．2m和0.1m D．0.1m和0.4m 【变式1-1】（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式； (2)在第末到第末这段时间内，弹簧振子的加速度是怎样变化的？ (3)该振子在前的总位移是多少？路程是多少？ 【变式1-2】（24-25高二下·广东清远·期中）如图所示为某弹簧振子做简谐运动的图像，下列描述正确的是（　　） A．该振子的周期为2s B．在1.5~2s时间内，振子的加速度不断增大 C．在2.5~3.5s时间内，振子位移为零 D．在3.5s时，振子的速度沿轴负方向，加速度沿轴正方向 【题型二】图像与同位置不同状态 【方法梳理】同一位置加速度相同而速度可反向；需要把运动方向信息带入判断。 【例2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm B．该弹簧振子在时和时的速度相同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小不为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 【变式2-1】（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）如图所示为某一质点做简谐运动的振动图像，，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为（     ） A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相同 D．，方向相反 【变式2-2】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）图为0~1.5s范围内某物体做简谐运动的图像，下列选项正确的是（　　） A．1.2s时的回复力与0.4s时的回复力相同 B．1.0s时的速度与0.4s时的速度相同 C．1.3s时的动能与0.4s时的动能相同 D．0.6s~0.8s系统的势能在增大 【题型三】振子能量与过程 【方法梳理】理想模型按机械能守恒分析速度和势能变化，先明确势能属于哪一系统。 【例3】（24-25高二下·广东河源·开学考试）关于简谐运动的能量，下列说法正确的是（　　） A．动能和势能之和保持不变 B．动能最大时，势能最小 C．势能最大时，动能最小 D．动能和势能的变化周期相同 【变式3-1】（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）如图是某鱼漂的示意图，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好在点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面，鱼漂的运动可看成简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．每次点O到达水面时，鱼漂的速度相同 B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的位移 C．松手后，当鱼漂由下往上运动时，速度先变大后变小 D．若把鱼漂向下压得更深些，使点M在水面下，松手后鱼漂运动的周期不变 【变式3-2】（24-25高二下·广东广州·阶段检测）如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一弹簧振子，并将其悬挂于教室内一体机白板的前方。使弹簧振子沿竖直方向上下自由振动，白板以速率v水平向左匀速运动，激光笔在白板上留下如图所示的书写印迹。图中相邻竖直虚线的间隔均为x0，印迹上P、Q两点的纵坐标分别为y0和-y0。忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该弹簧振子的振幅为y0 B．该弹簧振子的振动周期为 C．激光笔在留下P、Q两点时加速度相同 D．激光笔在留下P、Q段印迹的过程中，弹簧弹力对激光笔做功为 【题型一】弹簧振子的回复力模型 【模型解读】先找平衡位置，再用偏离平衡位置的形变量表达回复力，避免混用总伸长与振动位移。 【例1】（25-26高二下·广东汕头·阶段检测）图甲为名叫“弹簧公仔”的玩具，其底座固定在水平地面上，忽略空气阻力及轻弹簧的质量，可将玩具的头部与轻弹簧构建为图乙所示的竖直弹簧振子模型。现将物块A从弹簧处于原长的位置由静止释放，物块A将沿竖直方向做简谐运动。已知物块A的质量为m，轻弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．物块A的振动属于受迫振动 B．物块A做简谐运动的回复力由重力与弹力的合力提供 C．物块A运动到最低点时，加速度的大小为g D．物块A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为 【变式1-1】（24-25高二上·广东深圳·期中）如图所示，倾角为的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，使物块在斜面上做简谐运动，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。求： (1)物块处于平衡位置时弹簧的长度； (2)物块做简谐运动的振幅； (3)求弹簧的最大伸长量； 【变式1-2】（23-24高二下·广东汕头·阶段检测）如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量，弹簧劲度系数为，将振子滑块从平衡位置O向左移，由静止释放后在B、C间运动，设弹簧的弹性势能表达式为，问： (1)滑块的加速度的最大值为多少？ (2)滑块完成5次全振动时走过的路程s。 (3)求滑块的最大速度。 【题型二】时间轴上的重复状态 【模型解读】用同位置同方向的状态标记一个完整周期，再向前后延伸时间轴。 【例2】（23-24高二下·广东江门·期末）如图是用摄像机拍摄竖直弹簧振子的运动，再利用逐帧观察的方式得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置图像，以弹簧振子小球的平衡位置为原点建立图像，下列说法正确的是（　　） A．可以利用频闪照相、照相机连拍的方式得到类似的图像 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿水平方向移动的 C．小球密处说明其位置变化快 D．小球位移与时间的关系是正弦函数关系，弹簧振子小球的运动是简谐运动 【变式2-1】（25-26高二下·广东广州·期中）一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。求： (1)时质点的位移x； (2)写出质点的振动方程； (3)到内质点运动的路程。 【变式2-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）如图（a），弹簧振子（带笔的小球）在水平方向作简谐运动的过程中，摇动把手使纸带运动就在纸带上画出如图（b）所示的振动图像。下列分析正确的是（　　） A．振动的振幅为 B．振动的周期为 C．振动的频率为 D．位移—时间的表达式为 【题型三】整周期与余段路程 【模型解读】整周期用4A、半周期用2A，余下时间按实际经过的转向点分别计算。 【例3】（24-25高二下·广东深圳·期中）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过1.0s第二次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（     ） A．小球振动的周期一定为0.8s B．小球振动的振幅为0.3m C．1.8s末，小球一定在平衡位置 D．弹簧振子振动方程可能为x=﹣0.15sin（2.5πt）m 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求： (1)振子在6s内通过的路程和位移的大小； (2)振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值； (3)写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。 【变式3-2】（23-24高二下·广东清远·阶段检测）某质点做简谐运动的振动图像如图所示，求： （1）在前4s内质点的路程s； （2）质点做简谐运动的位移随时间变化的关系式（用余弦函数表示）。 【题型四】位置速度加速度联合判断 【模型解读】先定位左右两侧，再判靠近或远离平衡位置，最后判断速度与加速度变化。 【例4】（24-25高二下·广东佛山·期末）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时弹簧处于原长状态 B．t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动 D．在t=0.1s与t=0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反 【变式4-1】（25-26高二上·广东佛山·期中）如图所示是某质点做简谐运动的图像。 (1)该振动的振幅和周期是多少？t＝6s时质点的位移是多少？ (2)0~20s内质点通过的路程是多少？ (3)该质点的振动方程可以写作，其中的和各是多少？ 【变式4-2】（24-25高二下·广东·期中）钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图，一钓鱼人在平静的水面浮钓，漂静止时露出水面3目，一只鱼儿竖直向下咬钩后又迅速松开，导致漂上下振动，该振动可视为简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．露出水面1目时，漂的加速度方向一定竖直向上 B．露出水面1目时，漂的速度方向一定竖直向下 C．露出水面3目时，漂的速度最大 D．露出水面5目时，漂的加速度方向可能竖直向上 题目类型 技巧 看坐标 图像先核对时间、位移和单位，区分纵坐标与斜率。 定原点 位移原点取平衡位置；标清正方向再判断各矢量符号。 查状态 端点与平衡位置各项状态分别记忆，不凭一个量推断全部。 拆时间 先拆整周期与半周期，再处理剩余时间内的真实路径。 分两问 位移算初末差，路程算实际走过的长度，两者分别列式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $