4.2.3 等差数列的前n项和（六大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

4.2.3 等差数列的前n项和 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设为等差数列前n项和，若，则(    ) A．0 B．3 C．6 D．9 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在等差数列中，若，，则的前10项和为（   ） A． B． C．10 D．20 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）记等差数列的前项和为．若，则（   ） A．28 B．48 C．64 D．84 4．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 题型二：等差数列片段和的性质及应用 5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（    ） A．140 B．180 C．220 D．380 6．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列前项和为，若，则的值为 . 7．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列，，则的值为 . 8．（22-23高二上·江苏盐城·期末）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 9．在等差数列中，若，求. 题型三：求等差数列前n项和 10．（23-24高二上·江苏连云港·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… 设各层球数构成一个数列，则（    ） A．58 B．57 C．210 D．220 11．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．6 B．20 C．25 D．30 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）年疫情期间，某医院天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有（    ）． A． B． C． D． 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列的前n项和为，若则的值为（   ） A．30 B．60 C．45 D．15 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的前99项和等于 ． 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）是等差数列的前项和，数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 题型四：含绝对值的等差数列前n项和 16．（22-23高二上·江苏盐城·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和． (1)求； (2)求和． 17．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知等差数列，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前n项和为．公差（其中）． (1)求m； (2)求． 19．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和是， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 21．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 22．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 题型五：求等差数列前n项和的最值 23．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（   ） A． B．30 C．80 D．不存在 24．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）等差数列中，为它前项和，若，，，则当（    ）时，最大. A．20 B．19 C． D． 25．（多选）（23-24高二上·江苏徐州·期中）记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 26．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（  　） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 27（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）数列的前n项和为，对任意，点在直线上. (1)求. (2)求的最小值及此时n的值. 28．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 题型六：根据等差数列前n项和的最值求参数 29．（多选）（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 30．（多选）（22-23高三上·江苏南通·期末）已知等差数列中，当且仅当时，取得最大值.记数列的前k项和为，（   ） A．若，则当且仅当时，取得最大值 B．若，则当且仅当时，取得最大值 C．若，则当且仅当时，取得最大值 D．若，，则当或14时，取得最大值 31.设等差数列的公差为d，前n项和为，已知同时满足下列四个条件中的三个条件：①；②单调递减；③有最小值；④． (1)直接写出可能的三个条件，并求出的通项公式； (2)在（1）的条件下，设，求数列的前n项和． 32.记，若是等差数列，则称为数列的“等差均值”；若是等比数列，则称为数列的“等比均值”． (1)已知数列的“等差均值”为，数列的“等比均值”为．分别求出与的通项公式； (2)在（1）的条件下，记，数列的前项和为，若对任意的正整数都有，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差为（ ） A．2 B． C．1 D．3 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B．为奇数时， C． D． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（    ） A．10 B．19 C．20 D．39 6．（24-25高二上·江苏无锡·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　）    A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．108 二、多选题 8．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）设等差数列的前n项和为Sn，公差为d．已知，S12＞0，，则（　　） A． B． C．Sn＜0时，n的最小值为14 D．数列中最小项为第7项 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（     ）    A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C．若，则数列的前100项和为 D． 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知在数列中，，数列的前项和为，则 . 12．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知数列满足，且当时恒成立．设的前n项和为，当时，则n的最小值为 ． 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 四、解答题 14．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列是首项为4，公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，若是等差数列，求的值. 15．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的前n项和为，且满足. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 16．（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前项和，数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求； (2)求的最大值. 17．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 19．（24-25高二上·江苏南通·期中）记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.3 等差数列的前n项和 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设为等差数列前n项和，若，则(    ) A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】依题意为等差数列前n项和，若， 解得，所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在等差数列中，若，，则的前10项和为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】A 【详解】记等差数列的公差为， 因为，解得，所以； 故选：A 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）记等差数列的前项和为．若，则（   ） A．28 B．48 C．64 D．84 【答案】B 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确. 故选：B 4．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】B 【详解】因为， 所以， 故选：B 题型二：等差数列片段和的性质及应用 5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（    ） A．140 B．180 C．220 D．380 【答案】B 【详解】设等差数列的前项和为，则 成等差数列， 所以， 又 所以，解得. 所以等差数列的前项和为. 故选：B. 6．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列前项和为，若，则的值为 . 【答案】0 【详解】依题可知成等差，所以，解得：． 故答案为：0． 7．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列，，则的值为 . 【答案】24 【详解】在等差数列中，由等差数列的前项和公式的性质得： 成等差数列 所以有 又 所以 所以 故答案为：24. 8．（22-23高二上·江苏盐城·期末）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 【答案】 【详解】为等差数列， ，，成等差数列，即，，成等差数列， ，解得， 又，，成等差数列，即，，成等差数列， 所以，解得. 故答案为：． 9．在等差数列中，若，求. 【答案】 【详解】是等差数列， 成等差数列， ∴， 题型三：求等差数列前n项和 10．（23-24高二上·江苏连云港·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… 设各层球数构成一个数列，则（    ） A．58 B．57 C．210 D．220 【答案】C 【详解】由题意：，，，，. 所以. 故选：C 11．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．6 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【详解】因为，所以，解得， 则. 故选：D 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）年疫情期间，某医院天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当为奇数时，， ； 当为偶数时，， ； 该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有人. 故选：B. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列的前n项和为，若则的值为（   ） A．30 B．60 C．45 D．15 【答案】A 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为，所以， 则，即. 所以. 故选：A 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的前99项和等于 ． 【答案】 【详解】设. 所以数列的前99项的和为： . 故答案为： 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）是等差数列的前项和，数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 【详解】（1）当时，， 所以，解得， 当时，， 所以，解得， 则， 所以，， 则； （2）① ； ② ， 当为偶数时，， 所以当为偶数时，恒成立， 当为奇数时， ， 令， 又函数在上单调递增，且，， 所以， 所以集合中所有元素的和为. 题型四：含绝对值的等差数列前n项和 16．（22-23高二上·江苏盐城·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和． (1)求； (2)求和． 【详解】（1）根据等差数列的前项和公式：，解得；． （2）由题意，，于是． 17．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知等差数列，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设公差为，则， 故； （2）， 当时，，， 当时，，， 故当时，， 当时，， 综上，. 18．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前n项和为．公差（其中）． (1)求m； (2)求． 【详解】（1）∵是等差数列，， 所以， 解得， 即； （2）由（1）可知， ∴， ∴ . 19．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和是， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 当时， 把代入上式，满足题意. 数列的通项公式. （2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负， 令，则数列前34为正，后面的项全为负， 设数列的前项和为，则当，， 当时， 数列的前项和为 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1），故， 又，故， 所以； （2）其中， 设，的前项和为，其中， 故 当时，，故； 当时，， 故， 综上，. 21．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 22．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【详解】（1），，，，，，，，，，，，，，. （2），，， 当且时，， 当且时，， 当且时， ； 当且时， ， . 题型五：求等差数列前n项和的最值 23．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（   ） A． B．30 C．80 D．不存在 【答案】B 【详解】由题意可知：，且数列为递减数列， 当时，；当时，；当时，； 所以数列的前项和的最大项数为5或6，最大值为. 故选：B. 24．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）等差数列中，为它前项和，若，，，则当（    ）时，最大. A．20 B．19 C． D． 【答案】C 【详解】， ， 因此可得，而，因此该等差数列是递减数列， 所以当时，最大， 故选：C 25．（多选）（23-24高二上·江苏徐州·期中）记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】AC 【详解】设等差数列的公差为， 因为，则，故， 所以，所以，故A正确； 由于的正负不清楚，故可能为最大值或最小值，故B错误； 因为，则，故C正确； 因为，所以，即，故D错误． 故选：AC. 26．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（  　） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】AC 【详解】是等差数列，则，又，∴， 所以，是递减数列， 从而中最大，， 故选：AC． 27（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）数列的前n项和为，对任意，点在直线上. (1)求. (2)求的最小值及此时n的值. 【详解】（1） 因为在上，可得，所以， 则，所以数列是等差数列， 所以. （2）由数列的通项公式为， 令，解得且， 即当时，；当时，；时，， 所以当或时，的最小值为. 28．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 题型六：根据等差数列前n项和的最值求参数 29．（多选）（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】AD 【详解】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，． 所以，所以， 则满足的最大的正整数k一定不等于12. ，， 故时，． 当时，，则满足的最大的正整数为； 当时，，则满足的最大的正整数为， 故满足的最大的正整数可能为与，一定不等于12与15. 故选：AD． 30．（多选）（22-23高三上·江苏南通·期末）已知等差数列中，当且仅当时，取得最大值.记数列的前k项和为，（   ） A．若，则当且仅当时，取得最大值 B．若，则当且仅当时，取得最大值 C．若，则当且仅当时，取得最大值 D．若，，则当或14时，取得最大值 【答案】BD 【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列， 对于A，且时取最大值，设， 则， 当时，；时，；时，， 所以或14时，前k项和取最大值，A项错误； 对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，. ，则，， ，， 前14项和最大，B项正确； 对于C，，则，同理，，， 前13项和最大，C项错误； 对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确； 故选：BD. 31.设等差数列的公差为d，前n项和为，已知同时满足下列四个条件中的三个条件：①；②单调递减；③有最小值；④． (1)直接写出可能的三个条件，并求出的通项公式； (2)在（1）的条件下，设，求数列的前n项和． 【详解】（1）选时：设数列的首项为，公差为d， 由于；单调递减， 故， 由于， 整理得：， 所以：， 解得：， 故：； 选时： ；有最小值；． 由于等差数列有最小值，故， 所以， 设数列的首项为，公差为d， 由于， 整理得：， 所以：， 解得：， 所以：． （2）选时： 因为， 所以． 选时： 因为； 所以． 32.记，若是等差数列，则称为数列的“等差均值”；若是等比数列，则称为数列的“等比均值”． (1)已知数列的“等差均值”为，数列的“等比均值”为．分别求出与的通项公式； (2)在（1）的条件下，记，数列的前项和为，若对任意的正整数都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由已知可得，即. 当时，则有， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，则. 也满足，故对任意的，. 由题意可得，即， 当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，则， 也满足，故对任意的，. （2）解：， ， 故数列为等差数列， 因为对任意的正整数都有，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差为（ ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，则， 所以等差数列的公差. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【详解】由是等差数列，， 可得：，， ，所以， 所以， 故选：B 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B．为奇数时， C． D． 【答案】B 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即， ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即， 对于A，，， ，故A错误； 对于B，为奇数时， ，故B正确； 对于C，，， 所以 ，故C错误；     对于D，，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，，，，， 所以，又， 所以当时，， 当时，也满足关系， 所以，， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（    ） A．10 B．19 C．20 D．39 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，， 因为，所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 那么. 故选：B. 6．（24-25高二上·江苏无锡·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．108 【答案】B 【详解】由等差数列的公差为，可得，即， 根据裂项公式可知， 则， 由，代入可得，因为，解得或（舍）； 所以等差数列的首项为3，公差为，则， 则， 设函数，根据对勾函数可知， 在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值； 因为，当时，， 当时，， 可知，所以当时取最小值. 故选：B. 二、多选题 8．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为， 所以，故B选项正确； 因为， 所以，即，故A选项错误； 因为， 所以， 所以，故C选项正确； 因为， 所以，故D选项错误. 故选：BC. 9．（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）设等差数列的前n项和为Sn，公差为d．已知，S12＞0，，则（　　） A． B． C．Sn＜0时，n的最小值为14 D．数列中最小项为第7项 【答案】ABD 【详解】等差数列的前n项和为Sn，首项为，公差为d． 由S12＞0，可得 ，则 又，则，则选项A判断正确； 由， S12＞0，，可得， 解之得，则选项B判断正确； 由可得或（舍） 由，可得， 则Sn＜0时，n的最小值为13. 则选项C判断错误； 由时，，时，， 时，，时，， 可得时，，，，时， 二次函数开口向下，过原点，对称轴 则在时，单调递减，且 又时，为递减数列，为递增数列，为递减数列 则在时，数列为递增数列，则时取得最小值. 则数列中最小项为第7项，则选项D判断正确. 故选：ABD 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（     ）    A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C．若，则数列的前100项和为 D． 【答案】BCD 【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立； 正方形数构成数列：1，4，9，16，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立. 对于A，，故A错误； 对于B，令，解得； 令，解得；故B正确； 对于C，当n为偶数时：设， 则 ， 代入可得数列的前100项和为，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知在数列中，，数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】由，得，即， 又，所以，则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以， 故答案为：. 12．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知数列满足，且当时恒成立．设的前n项和为，当时，则n的最小值为 ． 【答案】21 【详解】由题意知，且当时，恒成立， 所以当为奇数时，，且， 所以得， 因为当时，恒成立， 则，所以可得数列的奇数项成公差为的等差数列； 所以当为偶数时，，且， 所以得， 因为当时，恒成立， 则，所以可得数列的偶数项成公差为的等差数列； 当为偶数时， ； 当为奇数时， 所以， 所以当时，要使的值最小，即得的值需最大， 又因为，所以，所以， 所以， 所以当为偶数时，，即，解得：，即的最小值为； 所以当为奇数时，，即， 解得：，又因为，所以的最小值为. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列是首项为4，公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，若是等差数列，求的值. 【详解】（1）因为是首项为4，公差为2的等差数列， 所以. 由， 相加，得， 又，所以当时，， 又符合上式， 所以. （2）（方法一）由（1）知，. 因为是等差数列，所以可设， 则，即对任意恒成立， 所以， 解得或，即的值为1或. （方法二）由（1）知，. 因为是等差数列，所以， 即，化简得，解得或. 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. 所以的值为1或. 15．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的前n项和为，且满足. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【详解】（1）证明：当时，且， 即，可得，且. 故数列是以首项为2，公差为2的等差数列. （2）由（1）可知，即， 当时，， 当时，不符号上式， 所以. 16．（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前项和，数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求； (2)求的最大值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又，故， 则， 当时，， ， 两式相减得：， 因为，所以， 当时，，， 两式相减得：， 因为，所以， 因为，解得：， 故当时，为等差数列，公差为-4，首项为8， 故， ； （2）当时， ， 因为，故当时，取得最大值，最大值为9； 当时， ， 因为，故当时，取得最大值，最大值为10； 综上：最大值为10. 17．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 【详解】（1）因为是公差为的等差数列， 所以， 则有， 当时，，两式相减，得， ，显然也适合， 即； （2）由（1）可知， ， 于是有 ； （3）由（1）可知：， 所以， 于是有， ， 当时，显然上述不等式的没有正整数解，即， 当时，显然上述不等式的正整数解为即， 当时，显然上述不等式的正整数解为，即， 于是. 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【详解】（1）， 所以， 因为，所以，即， 解得，又，所以. （2）①因为， 所以， 因为是公差为的等差数列，所以可设为， 所以， 所以，又，所以解得 所以； ②， 当时， ； 当时， ； 综上，，即. 19．（24-25高二上·江苏南通·期中）记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为等差数列的公差为 由题意可得：， 则二次项系数，且常数项为0， 所以是关于的不含常数项的二次函数. （2）①由题意可知：， 即 ， 可得，解得，或， 若，则； 若，则， 综上所述：或； ②因为， 当时，若，，则，不合题意； 当时， 若为偶数，则 ， 因为为偶数，则或， 若，则，即，不合题意； 若，则， 整理可得， 可知，代入检验可得仅成立； 若为奇数，则 ， 因为为奇数，则或， 若，则，即，不合题意； 若， 则， 整理可得， 显然为偶数，方程无解，不合题意； 综上所述：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $