3.2.2　双曲线的几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖双曲线性质从基础概念到实际应用，通过三级梯度巩固知识，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|双曲线标准方程、实虚轴、离心率等基本性质|单一知识点直接应用，如第1题化方程求轴长，夯实基础| |B级|焦点三角形、离心率与参数关系、渐近线综合|多知识点结合，如第9题等腰三角形与双曲线方程联立，提升推理能力| |C级|实际情境应用（赛车馆屋顶）、跨曲线综合判断|情境化与创新题型，如第14题结合双曲线定义与距离最值，发展数学眼光|

3.2.2　双曲线的几何性质 A级　必备知识基础练 1.已知双曲线的方程为x2－8y2=32，则该双曲线的(　　) A．实轴长为4，虚轴长为2 B．实轴长为8，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为4 D．实轴长为4，虚轴长为8 2.等轴双曲线的一个焦点是F1，则其标准方程为(　　) A．－=1 B．－=1 C．－=1 D．－=1 3.设k为实数，已知双曲线－=1的离心率e∈(2，3)，则k的取值范围为(　　) A．(12，32)　　 B．(14，32) C．(12，36)　　 D．(14，36) 4.(多选题)下列关于双曲线－=1说法正确的是(　　) A．实轴长为6 B．与双曲线4y2－9x2=1有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆＋=1有同样的焦点 5.当m变化时，对于双曲线C：－=1(m＞0)，值不变的是(　　) A．实轴长　　 B．虚轴长　　 C．焦距　　 D．离心率 6.设F1，F2是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　　　　． 7.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2=16相切． (1)求双曲线的离心率； (2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程． 8.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的焦点关于一条渐近线的对称点在y轴上，求该双曲线的离心率． B级　关键能力提升练 9.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A．　　 B．2　 C．　　 D． 10.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=λ|PF2|(λ＞1)．若C的离心率为，则λ的值为(　　) A．3　　 B．　　 C．2　　 D． 11.若双曲线C：－=1的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为　　　　． 12.若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：－y2=1上，则a=　　　　　． 13.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：•=0； (3)求△F1MF2的面积． C级　学科素养创新练 14.某市自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：－x2=1(a＞0)上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为双曲线C上支上的动点，则|PF|与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为(　　) A．7　　 B．6　　 C．5　　 D．4 15.(多选题)已知曲线C：＋y=1，则(　　) A．C上的点满足x∈R，y≤1 B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线y=只有1个公共点 答案： 1.B　解析　双曲线方程x2－8y2=32可化为－=1，可得a=4，b=2，所以该双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.故选B． 2.D　解析　因为等轴双曲线的一个焦点为F1(－6，0)，所以c=6，且a=b．又c2=a2＋b2，所以2a2=36，即a2=18，从而双曲线的标准方程为－=1. 3.A　解析　因为方程－=1表示双曲线，所以k＞0，因此a=2，b=，c==，因为e==，所以由e∈(2，3)，得2＜＜3，即4＜＜6，即16＜4＋k＜36，解得12＜k＜32，即k的取值范围为(12，32)，故选A． 4.ABD　解析　由双曲线－=1，得=9，=4，=＋=13，c1=，且焦点在y轴上，∴2a1=6，渐近线方程为y=±x，故A正确； 双曲线4y2－9x2=1的标准方程为－=1， ∴=，=，∴a2=，b2=，且焦点在y轴上， ∴渐近线方程为y=±x，故B正确； 双曲线－=1的焦点F(0，±)到渐近线方程为y=±x的距离为d==2，故C错误； 由椭圆＋=1，得c==，且焦点在y轴上，故椭圆＋=1的焦点为F′(0，±)，故D正确．故选ABD． 5.D　解析　由题意可得a2=2m，b2=m，c2=3m，显然双曲线实轴长、虚轴长、焦距都是变量，而e==是常数．故选D． 6.　解析　不妨设PF1＞PF2，则PF1－PF2=2a，又PF1＋PF2=6a，得PF1=4a，PF2=2a，F1F2=2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2=30°，由余弦定理得(2a)2=(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e－)2=0，所以e=． 7.解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y=kx，则=4，解得k=． 若双曲线的焦点在x轴上，则=，e=； 若双曲线的焦点在y轴上，则=，e=，故所求双曲线的离心率为e=或e=． (2)由题意，设F1(－c，0)，F2(c，0)，则=(－c－3，4)，=(c－3，4)， 由PF1⊥PF2得•=0. 所以(3＋c)(3－c)＋16=0，解得c=5，由(1)知=，又a2＋b2=c2=25，所以a=3，b=4， 所以双曲线的方程为－=1. 8.解　由题意，知曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的焦点关于一条渐近线的对称点在y轴上，所以渐近线是一、三象限或二、四象限的平分线，则该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以a=b，则c=a，所以双曲线的离心率为e==． 9.D　解析　不妨取点M在第一象限，如图所示， 设双曲线方程为－=1(a＞0，b＞0)，则BM=AB=2a，∠MBx=180°－120°=60°， ∴点M的坐标为(2a，a)． ∵点M在双曲线上， ∴－=1，a=b， ∴c=a，e==． 10.A　解析　因为|PF1|=λ|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|=(λ－1)|PF2|=2a，所以|PF2|=，|PF1|=． 因为∠F1PF2=60°，由余弦定理，得4c2=． 整理，得4c2=，所以e2===，即3λ2－10λ＋3=0，解得λ=3或λ=． 又因为λ＞1，所以λ=3. 11.[4，＋∞)　解析　因为双曲线C：－=1的离心率不大于，所以e=≤，解得λ≥4， 则b2≥4，故C的虚轴长2b≥4. 则C的虚轴长的取值范围为[4，＋∞)．故答案为[4，＋∞)． 12.　解析　由题意，三个点(－2，1)，(－2，3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线C：－y2=1(a＞0)上，因为双曲线的图象关于原点对称，所以点(－2，1)和(2，－1)在双曲线上，可得－1=1，解得a=． 13.(1)解　因为e=，所以双曲线的实轴长、虚轴长相等．可设双曲线方程为x2－y2=λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，－)， 所以16－10=λ，即λ=6， 所以双曲线方程为－=1. (2)证明　由题意知c=2，不妨设F1(－2，0)，F2(2，0)，则=(－2－3，－m)，=(2－3，－m)，所以•=(3＋2)×(3－2)＋m2=－3＋m2. 因为点M在双曲线上， 所以9－m2=6，即m2－3=0， 所以•=0. (3)解　△F1MF2的底边F1F2=4． 由(2)知m=±， 所以△F1MF2的高h=|m|=， 所以S△F1MF2=×4×=6. 14.C　解析　依题意，双曲线－x2=1的离心率为，则1＋=，解得a=2，所以双曲线方程为－x2=1，则下焦点为F(0，－)，上焦点F′(0，)，渐近线方程为x=±y，如图．根据图形的对称性，不妨取渐近线为l：x=y，即y=2x． 又点P为双曲线上支上的动点，则|PF|=2a＋|PF′|=4＋|PF′|，如图，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，过点F′作F′M⊥l，垂足为M，则|PF|＋|PQ|=4＋|PF′|＋|PQ|≥4＋|F′M|=4＋=4＋1=5， 所以|PF|与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5. 15.ACD　解析　当y≥0时，C：＋y2=1表示椭圆在x轴及x轴上方的部分；当y＜0时，C：－y2=1表示双曲线在x轴下方的部分．作出图象，如图． 双曲线的一条渐近线为直线y=x，故选项ACD正确，选项B错误．故选ACD． 学科网（北京）股份有限公司 $