4.3.1　等比数列的概念课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 A级　必备知识基础练 1.若数列{an}的通项公式为an=2×3－n(n∈N*)，则这个数列是一个(　　) A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 2.已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　　 B．a≠0或a≠1 C．a≠0　　 D．a≠0且a≠1 3.在数列{an}中，若an＋1=3an，a1=2，则a4=(　　) A.108　　 B.54　　 C.36　　 D.18 4.“G=”是“G是a，b的等比中项”的(　　) A．既不充分又不必要条件 B．充分且不必要条件 C．必要且不充分条件 D．充要条件 5.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是(　　) A．{}　　 B．{an•an＋1} C．{an＋an＋1}　　 D．{an＋1} 6.若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，c＋2又依次成等比数列，则a=　　　　． 7.在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，则cos B=　　　　． 8.已知数列{an}的通项公式，判断它是否为等比数列． (1)an=n－1；　　 (2)an=3. 9.已知在等比数列{an}中，a2=1，求a1＋a3的取值范围． B级　关键能力提升练 10.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则等于(　　) A.18　　 B.20　　 C.22　　 D.24 11.已知数列{an}和{bn}满足bn=|an|，则“数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12.(2025张家港高二月考)已知在递增的等比数列{an}中，a1a2a3=1，＋＋=，则数列{an}的公比为(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．8 13.设数列{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1.若数列{an}的连续四项构成集合{－24，－54，36，81}，则公比q=　　　　． 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a6=15，S5=45. (1)求an； (2)若an为an－3与a2n－1(n≥4，n∈N*)的等比中项，求n． C级　学科素养创新练 15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4=16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列，则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　　　． a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Z 扩展”．已知数列1，2，3第一次Z 扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z扩展后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设第n次Z 扩展后得到数列1，x1，x2，…，xm，3，并记an=1＋x1＋x2＋…＋xm＋3. (1)求a1，a2，a3的值； (2)若bn=an－2，证明：{bn}为等比数列． 答案： 1.D　2.D　3.B 4.A　解析　当G=a=b=0时，满足G=，不满足G是a，b的等比中项；当G是a，b的等比中项时，如a=1，b=4，G=－2，但不满足G=，故“G=”是“G是a，b的等比中项”的既不充分又不必要条件，故选A． 5.AB　解析　若数列{an}是等比数列，则=q． 对于A，=q2，符合等比数列，A正确； 对于B，=q2，符合等比数列，B正确； 当an=(－1)n时，C，D显然不符合题意．故选AB． 6.2或8 7.　解析　因为sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，所以sin B=sin A，sin C=2sin A，由正弦定理可知b=a，c=2a，所以cos B===． 8.解　由等比数列的定义可知，=q(n≥2，n∈N*)，若q是一个与n无关的常数，则数列{an}是等比数列． (1)==，不是常数，故{an}不是等比数列． (2)==1，故{an}是等比数列． 9.解　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由等比数列的定义可知a1=，a3=q，所以a1＋a3=q＋， 当q＞0时，a1＋a3=q＋≥2=2，当且仅当q=1时，等号成立； 当q＜0时，a1＋a3=－(－q＋)≤－2=－2，当且仅当q=－1时，等号成立． 综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]⋃[2，＋∞)． 10.D　解析　设这根木棰总长为1，每天截取其一半，剩下的部分记为an，则{an}是首项a1=，公比q=的等比数列，所以a1=，a2=，…，a5=，所以==24. 11.A　解析　若数列{an}为等比数列，公比为q，则==|q|， ∴{bn}为等比数列，充分性成立， 若{bn}为等比数列，设公比q=2， 令数列{an}为2，4，8，－16，－32，…，满足=2，但{an}不是等比数列，必要性不成立， ∴“数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的充分且不必要条件． 12.A　解析　设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3=1，所以=1，解得a2=1， 又＋＋=，所以有 由{an}是递增的等比数列，解得a1=，a3=2，所以q==2，故选A． 13.－　解析　由题意，得等比数列的项一定为正负相间，公比为负．因为|q|＞1，所以后一项的绝对值大于前一项的绝对值，所以集合{－24，－54，36，81}中的这四个数在数列中的排列为－24，36，－54，81，则q==－． 14.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1＋d=45，化简得a1＋2d=9. 又a6=a1＋5d=15，所以d=2，a1=5，所以an=a1＋(n－1)d=2n＋3． (2)由题意，得=an－3a2n－1(n≥4，n∈N*)，即(2n＋3)2=(2n－3)(4n＋1)，化简得2n2－11n－6=0，解得n=6 或n=－(舍去)，故n=6. 15.275或8　解析 设{an}的公差为d， 由a2＋a4=16，得a1＋2d=8. 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2=(a1＋1)(a4＋1)，解得d=3 或d=0. 当d=3时，a1=2，an=3n－1，由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92=3×92－1=275； 当d=0时，an=8，则a92=8. 16.(1)解　设x0=1，xm＋1=3，an=xi，则an＋1=xi＋(xi＋xi＋1)=3xi－x0－xm＋1=3an－4.由a1=1＋3＋2＋5＋3=14，得a2=3a1－4=38，a3=3a2－4=110. (2)证明 bn＋1=an＋1－2=3an－6=3bn，即=3. 又b1=12≠0，故{bn}为等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $