4.2.1　等差数列的概念课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练通过三级分层设计，以“基础概念巩固-逻辑推理提升-文化情境创新”为路径，精准覆盖等差数列核心知识，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|等差数列定义、公差计算、等差中项|以选择、填空、解答题为主，如通项公式判断公差（题1）、基础量计算（题2），夯实数学语言表达| |B级|充要条件判断、性质应用、证明推理|含多选（题11）、动态公差分析（题12）及递推关系证明（题14），发展数学思维推理能力| |C级|跨文化情境（埃及分数）、实际问题（三位数数列）|结合数学史与现实问题（题15、16），培养用数学眼光观察现实世界的创新意识|

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 A级　必备知识基础练 1.若数列{an}的通项公式an=3－2n，则此数列(　　) A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为－2的等差数列 C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列 2.在等差数列{an}中，a2=－1，a4=－5，则它的公差d为(　　) A．2　　 B．3　　 C．－2　　 D．－3 3.(2025无锡高二月考)已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．4 4.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，2a＋1，a＋7，则此数列的第四项为(　　) A．12　　 B．13　　 C．10　　 D．15 5.已知数列{an}，则“{an}为等差数列”是“a1＋a3=2a2”的(　　) A．充要条件 B．必要且不充分条件 C．充分且不必要条件 D．既不充分又不必要条件 6.若b是2，8的等差中项，则b=　　　　　． 7.请写出三个数，使它们成等差数列，且这个数列的公差为－2，这三个数为　　　　　　　． 8.已知数列{an}是等差数列． (1)如果a1=0，a3=8，求公差d和a2； (2)如果a2=3，a3=6，求公差d和a1； (3)如果a1=1，a2=3，求公差d和a7. 9.已知数列{an}满足a1=3，an•an－1=2•an－1－1，n≥2. (1){an}是否为等差数列？说明你的理由． (2)数列{}是否为等差数列？ B级　关键能力提升练 10.设甲：△ABC的一个内角为60°，乙：△ABC的三个内角的度数成等差数列，那么(　　) A．甲是乙的充分且不必要条件 B．甲是乙的必要且不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 11.(多选题)已知数列{an}为等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．an＋1=an＋d(d为常数) B．数列{－an}是等差数列 C．数列是等差数列 D．an＋1是an与an＋2的等差中项 12.已知等差数列{an}的首项为a1=1，且an＋1－an∈{0，1，2}，则a6=　　　　　． 13.已知数列{an}中，点(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1=0上，且a2=2.求证：数列{an}是等差数列． 14.已知数列{an}满足a1=1，且an=2an－1＋2n(n≥2)．证明：数列是等差数列． C级　学科素养创新练 15.单分数(分子为1，分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如=＋，=＋＋＋＋．现已知可以表示成4个单分数的和，记=＋＋＋，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y＋z的值为(　　) A．505　　 B．404　　 C．303　　 D．202 16.在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有　　　　个． 答案： 1.B　解析　由an=3－2n可得an＋1－an=－2，a1=1，故选B． 2.C　解析　由等差数列的定义，得d=a4－a3=a3－a2，所以2a3=a4＋a2=－6，故a3=－3，公差d=a3－a2=－2. 3.A　解析　因为m，a，4m，b为等差数列，所以2a=m＋4m，8m=a＋b，所以a=，b=，所以=．故选A． 4.B　解析　由题意得2(2a＋1)=(a－1)＋(a＋7)，解得a=2，所以该等差数列的前3项分别为1，5，9，公差为4，所以此数列的第4项为9＋4=13. 5.C　解析　若数列{an}是等差数列，则a1＋a3=2a2必然成立(充分性)；但满足a1＋a3=2a2时，数列{an}未必是等差数列(如前三项为1，2，3，后续项任意改变)．因此，“{an}为等差数列”是“a1＋a3=2a2”的充分且不必要条件． 6.5　7.0，－2，－4(答案不唯一) 8.解　(1)由等差数列的定义可知a2－a1=a3－a2=d，所以a2=4，d=4. (2)由等差数列的定义可知a2－a1=a3－a2=d，所以d=3，a1=0. (3)由等差数列的定义可知a2－a1=d=2，所以a7=13. 9.解　(1)由an•an－1=2•an－1－1得an=2－，代入a1=3，n依次取值2，3，4，得a2=2－=，a3=2－=，a1＋a3≠2a2，故{an}不是等差数列． (2)易知an－1≠0，所以an=2－． 当n≥2时，－=－=－=－=1， 所以{}是首项为=，公差为1的等差数列． 10.C　解析　∵△ABC的一个内角为60°， ∴另外两个角的和是120°， ∴三个角满足等差数列； ∵△ABC的三个内角的度数成等差数列， ∴等差中项是60°，故选C． 11.ABD　解析　因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an=d，即an＋1=an＋d(d为常数)，故A正确；因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an=d，那么(－an＋1)－(－an)=－(an＋1－an)=－d，所以数列{－an}是等差数列，故B正确；－==，不是常数，所以数列{}不是等差数列，故C不正确；根据等差数列的性质可知2an＋1=an＋an＋2，所以an＋1是an与an＋2的等差中项，故D正确．故选ABD． 12.1或6或11　解析 当an＋1－an=0时，{an}为常数列，所以a6=1；当an＋1－an=1时，{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a6=1＋1×5=6；当an＋1－an=2时，{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a6=1＋2×5=11. 13.证明　∵点(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1=0上，∴an－an＋1＋1=0，即an＋1－an=1.又a2=2，∴a1=1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． 14.证明　因为an=2an－1＋2n(n≥2)，所以=＋1(n≥2)，即－=1(n≥2)，所以数列是首项=，公差d=1的等差数列． 15.A　解析　依题意，对于拆分后的分数，其分子都是1，分母依次变大，=＋＋＋，且=＋=＋＋=＋＋=＋＋＋=＋＋＋，x，y，z是以101为首项的等差数列，所以x=101，y=202，z=303，故y＋z=202＋303=505.故选A． 16.45　解析　先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成等差数列的共有45个． 学科网（北京）股份有限公司 $