精品解析：湖南长沙市雅礼实验中学2026-2027学年九年级上学期练习数学试卷（1）

2026-2027学年湖南省长沙市雅礼实验中学九年级（上） 练习数学试卷（1） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的上四分位数为（ ）． A. 140 B. 150 C. 163 D. 180 6. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A. 4，5，9 B. 8，8，15 C. 5，5，10 D. 6，7，14 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 9. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数自变量x的取值范围是______． 12. 因式分解：___________． 13. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________. 15. 如图，是两个正六边形的公共边，和是离最远的顶点，则________°． 16. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某校组织九年级学生进行湖湘文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______度； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的学生成绩的中位数是______分； （4）该校九年级共600人参与此次测评，请你估计该校九年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 22. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． （3）抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 我们约定：当，，，满足，且时，则称点与点为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”，则_____，_____，_____（将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于的一次函数与（，都是常数，且）均是“互换函数”，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，函数的图象与轴，轴分别交于点，，求四边形的面积； （3）若点，为关于的“互换函数”（，，是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线过点，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年湖南省长沙市雅礼实验中学九年级（上） 练习数学试卷（1） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、B、C的图象中，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数； D的图象中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数， 故选项D符合题意． 2. 长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，运算错误； B选项，，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 5. 如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的上四分位数为（ ）． A. 140 B. 150 C. 163 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的定义，箱线图矩形框的上边界代表上四分位数，矩形框下边界为下四分位数，框内横线为中位数，上下两条短线分别为最大值、最小值，直接读取对应数值即可求解． 【详解】解：由箱线图各部分含义可知： 最小值：120； 下四分位数（）：140； 中位数（）：150； 上四分位数（）：163； 最大值：180． 故上四分位数对应数值为163． 6. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A. 4，5，9 B. 8，8，15 C. 5，5，10 D. 6，7，14 【答案】B 【解析】 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”,分别套入四个选项中得三边长,即可得出结论. 【详解】A、∵5+4=9,9=9, ∴该三边不能组成三角形,故此选项错误; B、8+8=16,16>15, ∴该三边能组成三角形,故此选项正确; C、5+5=10,10=10, ∴该三边不能组成三角形,故此选项错误; D、6+7=13,13<14, ∴该三边不能组成三角形,故此选项错误; 故选:B. 【点睛】此题考查三角形三边的关系，难度不大 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 8. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 9. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 10. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数非负列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 13. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 15. 如图，是两个正六边形的公共边，和是离最远的顶点，则________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：∵图是两个正六边形， ∴每个内角为， 由正六边形的轴对称性可知，， 同理可得， ∴． 16. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方与加减，掌握知识点是解题的关键． 先计算算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方，最后进行加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程进行计算即可解答． （2）利用因式分解法解方程进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 20. 某校组织九年级学生进行湖湘文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______度； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的学生成绩的中位数是______分； （4）该校九年级共600人参与此次测评，请你估计该校九年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1） （2）补全的频数分布直方图如下， （3）79 （4）288人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出扇形统计图中A组对应扇形的圆心角的度数； （2）计算出D等级的人数，然后将直方图补充完整即可； （3）根据（1）中抽取的总人数和C等级的成绩，可以计算出抽取的学生成绩的中位数； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校九年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生有（人）， ∴扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为； 【小问2详解】 解：D等级的人数为（人）， 补全的频数分布直方图见答案； 【小问3详解】 解：∵一共抽取了50名学生， ∴把这50名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第25名和第26名成绩的平均数， ∴抽取学生成绩的中位数是（分） 【小问4详解】 解：（人）， ∴估计该校九年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生有288人． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 22. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 23. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】（1）函数关系式为，的取值范围是． （2）函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【小问1详解】 解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． 【小问2详解】 根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． （3）抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． 【小问3详解】 解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 25. 我们约定：当，，，满足，且时，则称点与点为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”，则_____，_____，_____（将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于的一次函数与（，都是常数，且）均是“互换函数”，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，函数的图象与轴，轴分别交于点，，求四边形的面积； （3）若点，为关于的“互换函数”（，，是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线过点，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）过定点，定点为 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，难度较大，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性得到，，即，，据此即可求解，然后将代入，即可求解； （2）设上至少存在一对“互换点”，，则，可求得，，则，，再分别求出直线与坐标轴的交点，即可求解四边形的面积； （3）设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，，则，由①②得，由（2）得，设直线，根据直线过点，求出，则直线，将代入得，，则，那么，即可求解过定点． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”， ∴， ∴， 将代入，则， 解得， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设上至少存在一对“互换点”，， 则， 得： ∵， ∴， 同理可求：， ∴，， 令，则， 解得， 令，则 ∴，， 同理，， 可画示意图为： ∴四边形的面积； 【小问3详解】 解：过定点，定点为，理由如下： 由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，， ∴， 由①②得：， ∵， ∴， 由（2）得， ∴设直线， ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线， 将代入得，， 由得，， ∴， ∴ ， 当时，解得，（舍）， ∴过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $