1-1集合及其运算讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习 1-1 集合及其运算 讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 集合间的关系 2023新Ⅱ卷 通过解不等式求出集合，然后通过集合的运算得出答案。 交集 2026新Ⅰ卷、2026新Ⅱ卷、2025新Ⅱ卷、2024新Ⅰ卷、2023新Ⅰ卷、2022新Ⅱ卷、2022新Ⅰ卷、 并集 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年未考 补集 2025新Ⅰ卷、 知识梳理 五年真题剖析 1.(2026年新高考1卷T3)已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、交集的概念及运算 【详解】因为，， ，所以集合，且集合， 所以. 2.(2025年新高考Ⅱ卷T2)已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.92【知识点】交集的概念及运算 【详解】由题可得，所以 3.(2025年新高考1卷T2)设全集，集合，则中元素个数为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解】，所以中元素个数为5，故选C. 4.(2025年新高考Ⅱ卷T3)集合，则( ) A. B. C. D. 【答案】D【解】，所以，故选D. 5.(2024全国新高考1卷T1)已知集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】，且，从而.故选：A. 6.(2023全国新高考1卷T1)已知集合，，则( ) A． B． C． D．2 【答案】C【解】方法一：，而，故．选：C． 方法二：将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 7.(2023全国新高考Ⅱ卷T2)设集合，，若，则( )． A．2 B．1 C． D． 【答案】B【解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意；综上所述：；故选：B. 8.(2022新高考1卷T1)若集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】，故，故选：D 9.(2022新高考Ⅱ卷T1)已知集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【解】[方法一]：直接法：因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法：代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C；故选：B. 重点题型分析 题型1 集合的概念 【例1-1】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 【例1-2】（26-27高三上·河南南阳·开学考试）若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 【例1-3】(多选)（25-26高一上·广东·期末）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD【难度】0.65【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 变式训练 1.（2026·江苏淮安·一模）已知集合，若，则（    ）. A． B．0 C．1 D．或0 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为，所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 2.（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】描述法表示集合 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 3.(多选)（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 4.（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以.故答案为：1. 题型2 集合间的基本关系 【例2-1】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.95【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 【例2-2】（26-27高三上·山东青岛·开学考试）若集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.92【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 【例2-3】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或， 时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 【例2-4】(多选)（25-26高三上·安徽·阶段检测）设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（    ） A．若，则集合中还有另外两个元素 B．集合中元素个数为3的倍数 C．集合中所有元素之积为1 D．若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】列举法表示集合、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】利用集合与元素之间的关系计算，结合集合元素的互异性判断AB；求出所有元素积判断C；确定元素个数并求出所有元素判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，（且），得， 令，得无解，即，同理，， 则，即集合A中任意一个元素可生成另外两个元素， 对任意互不生成的两个元素，各自生成另外两个元素，因此集合中元素个数为3的倍数，B正确； 对于C，，集合中互不生成的元素有个，则所有元素的积为，C错误； 对于D，依题意，集合中的元素个数应为3或6，由及 中有一个元素的平方等于所有元素的积，得中应有6个元素，且其中一个元素为， 由，得，又，则另外三个元素和为， 即，解得，，D正确. 故选：ABD (1)在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 变式训练 1.（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.92 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、常用数集或数集关系应用 【分析】先确定集合A的具体元素，再结合元素与集合、集合与集合的关系符号逐一判断选项. 【详解】首先，自然数集包含，因此集合； 选项A：不是自然数，不属于，故A错误； 选项B：是集合之间的包含关系符号，是元素，不能用集合间的关系符号描述，故B错误； 选项C：是元素与集合的从属关系符号，是集合，为集合， 二者为集合与集合的关系，不能用连接，故C错误； 选项D：因为，集合的所有元素都属于，根据子集的定义，可得，故D正确. 2.（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】描述法表示集合、根据集合的包含关系求参数 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 3.(多选)（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 4.（25-26高三·全国·一轮复习）集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个；（2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 题型3 集合的基本运算 命题点1　集合的运算 【例3-1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）集合，，则（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D【难度】0.94【知识点】交并补混合运算 【详解】 或 【例3-2】(多选)（25-26高三上·河北·期中）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合的运算法则求得集合，再验证各个选项. 【详解】利用集合的运算法则得：， . 对于 A： ，故正确； 对于 B： ，故错误； 对于 C： ，故正确； 对于 D： ，故错误. 故选：AC 【例3-3】（2026·江苏南通·模拟预测），，则______． 【答案】【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】结合集合的交集及补集运算分析B的可能情况，然后再结合集合并集运算可求． 【详解】解：因为，，得且. 所以或或或.所以 故答案为： 命题点2　求参数的值(范围) 【例3-4】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）设集合，，若，则由实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.7【知识点】利用集合元素的互异性求参数、交集的概念及运算 【详解】若，则，此时，，满足题意； 若，则，解得， 当时，则，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意； 若，则，解得或； 当时，满足题意； 当时，，，满足题意； 综上所述：由实数构成的集合为. 【例3-5】（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算、判断两个集合的包含关系 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 【例3-6】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）设集合，，若的真子集个数是1，则实数的取值范围是______. 【答案】【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据，分别求出的范围，再根据或即可求出. 【详解】， 因为的真子集个数是1，所以的元素个数是， 若，则，得； 若，则，得； 若，则或，得； 若，则或，得； 综上，实数的取值范围是. 变式训练 1.（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.95【知识点】交集的概念及运算 【详解】由，可得，所以. 又，根据交集的定义， 是由所有既属于集合又属于集合的元素构成的集合， 因此需满足不等式组，取两个解集的公共部分，可得， 即. 2.（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元一次不等式、根据集合的包含关系求参数 【详解】∵集合，∴集合， ∵，∴， ∴，解得且， 则实数a的取值范围是． 3.(多选)（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 4.（26-27高三上·陕西西安·开学考试）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合”；②．正整数集是“闭集合”； ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个； ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合”. 【答案】①②④【难度】0.67【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算 【分析】对于①， 通过举反例，即可判断；对于②， 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于③，通过举反例，说明其为有限集合即可；对于④， 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】 ①，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故①正确； ②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确； ③，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集， 故③错误； ④，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故④正确． 题型4 维恩图的应用 【例4-1】已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为(       ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】通过韦恩图划分各部分人数，即可求解． 【详解】依题意，图中阴影部分表示的集合是， 而全集，，，所以.故选：D 【例4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.6【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 【例4-3】(2024宁夏银川一模)已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )  A． B． C． D． 【答案】 A【难度】0.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合；求出集合A、B，即可求得结论. 【详解】， 可得，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A. 【例4-4】(多选)下图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.85【知识点】利用Venn图判断【分析】通过韦恩图即可求解． 【解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 变式训练 1．(2025四川雅安一诊)已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】利用Venn图判断集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合为；求出集合，即可求得结论. 【详解】由图可得阴影部分表示的集合为.由可得，即， 由可得，即,则， 故.故选：C. 2.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用Venn图判断 【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为， 因为，，， 所以，则.故选：A． 3.如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(    )   A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合，即可求得结论. 【详解】图中阴影部分不在集合中，在集合中， 故阴影部分所表示的集合是.故选：C. 4.(2025届山东省泰安市部分学校高三摸底考试T2)全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合；求出集合A、B进而求出集合，即可求得结论. 【详解】由图知：阴影部分表示集合为；因为，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为；故选：B. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习 1-1 集合及其运算 讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 集合间的关系 2023新Ⅱ卷 通过解不等式求出集合，然后通过集合的运算得出答案。 交集 2026新Ⅰ卷、2026新Ⅱ卷、2025新Ⅱ卷、2024新Ⅰ卷、2023新Ⅰ卷、2022新Ⅱ卷、2022新Ⅰ卷、 并集 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年未考 补集 2025新Ⅰ卷、 知识梳理 五年真题剖析 1.(2026年新高考1卷T3)已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2.(2025年新高考Ⅱ卷T2)已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3.(2025年新高考1卷T2)设全集，集合，则中元素个数为( ) A. B. C. D. 4.(2025年新高考Ⅱ卷T3)集合，则( ) A. B. C. D. 5.(2024全国新高考1卷T1)已知集合，则( ) A． B． C． D． 6.(2023全国新高考1卷T1)已知集合，，则( ) A． B． C． D．2 7.(2023全国新高考Ⅱ卷T2)设集合，，若，则( )． A．2 B．1 C． D． 8.(2022新高考1卷T1)若集合，则( ) A． B． C． D． 9.(2022新高考Ⅱ卷T1)已知集合，则( ) A． B． C． D． 重点题型分析 题型1 集合的概念 【例1-1】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【例1-2】（26-27高三上·河南南阳·开学考试）若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】(多选)（25-26高一上·广东·期末）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 变式训练 1.（2026·江苏淮安·一模）已知集合，若，则（    ）. A． B．0 C．1 D．或0 2.（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3.(多选)（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 4.（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 题型2 集合间的基本关系 【例2-1】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（26-27高三上·山东青岛·开学考试）若集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【例2-4】(多选)（25-26高三上·安徽·阶段检测）设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（    ） A．若，则集合中还有另外两个元素 B．集合中元素个数为3的倍数 C．集合中所有元素之积为1 D．若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则 (1)在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 变式训练 1.（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.(多选)（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 4.（25-26高三·全国·一轮复习）集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个；（2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 题型3 集合的基本运算 命题点1　集合的运算 【例3-1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）集合，，则（     ） A． B．或 C．或 D．或 【例3-2】(多选)（25-26高三上·河北·期中）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2026·江苏南通·模拟预测），，则______． 命题点2　求参数的值(范围) 【例3-4】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）设集合，，若，则由实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 【例3-5】（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【例3-6】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）设集合，，若的真子集个数是1，则实数的取值范围是______. 变式训练 1.（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 3.(多选)（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 4.（26-27高三上·陕西西安·开学考试）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合”；②．正整数集是“闭集合”； ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个； ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合”. 题型4 维恩图的应用 【例4-1】已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为(       ) A． B． C． D． 【例4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【例4-3】(2024宁夏银川一模)已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )  A． B． C． D． 【例4-4】(多选)下图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A． B． C． D． 变式训练 1．(2025四川雅安一诊)已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(   ) A． B． C． D． 2.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    ) A． B． C． D． 3.如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(    )   A． B． C． D． 4.(2025届山东省泰安市部分学校高三摸底考试T2)全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习1-1集合及其运算讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考I卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 集合间的关系 2023新川卷 通过解不等式求出集 交集 2026新I卷、2026新Ⅱ卷、2025新Ⅱ卷、2024新I卷、2023新I卷、2022新Ⅱ卷、 合，然后通过集合的 2022新I卷 运算得出答案。 并集 新高考【卷、新高考Ⅱ卷五年未考 补集 2025新I卷、 知识梳理 确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明 确判断出它是否为该集合中的元素. 1.元素的特征 互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素 在同一个集合中不能重复出现 无序性：集合与其组成元素的顺序无关. 集合与 2.元素与集合的关系：属于（记作a∈A),不属于（记作aA) 元素 3.集合的表示：列举法、描述法、图示法（韦恩图） 非负整数集（或自然数集）：N 正整数集：N*(或N+) 4.常用数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 子集：集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A,则x∈B):记为ASB(或B2A): 或AB 集合间 的关系 真子集：集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中；记为4B(或程A) 集 相等：集合A,B中元素完全相同或集合A,B互为子集：记为A=B 及 空集：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集：记为☑ 1.集合的 交集：AnB={xx∈A,且x∈B卧 运 基本运算 并集：AUB={xx∈A,或xB 算 集合的 补集：CuA={xx∈U,且xA 运算 交换律：AUB=BUA:AnB=BnA: 2.集合的 结合律：(AUB)UC=AU(BUC);(AnB)nC=An(BnC): 运算性质 分配律：(AnB)UC=(AUC)n(BUC);(AUB)nC=(AnC)U(BnC): 反演律：Cu(AUB)=(CA)n(CB);Cu(AnB)=(CA)U(CB): 其真子集个数为2-1 子集个数：含有n个元素的有限集合M,其子集个数为2 其非空子集个数为21 其非空真子集个数为2”-2 常用 结论 子集关系的传递性：若ASB,BSC→ASC 交小并大：若AUB=A=BSA;若AnB=B+BA 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解 集合运算中的常用方法 若已知的集合是点集，用数形结合法求解 若己知的集合是抽象集合，用Venn图求解 第1页共7页 五年真题剖析 1(2026年新高考1卷T3)已知集合A={sim径，cos号，tam习，B={气，-，1则AnB=() A.{5-引 B.{ c.{ o.{ 2.(2025年新高考川卷T2)已知集合A={0,1,3,6,9},B={xVx=x},则AnB=（) A.{0,1 B.3,6} C.{0,1,93 D.{0,3,9} 3.(2025年新高考1卷T2)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则CwA中元素个数为） A.0 B.3 C.5 D.8 4.(2025年新高考川卷T3)集合A={-4,0,1,2,8},B={xx3=x},则AnB=() A.{0,1,2 B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1 5.(2024全国新高考1卷T1)已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=() A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 6.(2023全国新高考1卷T1)已知集合M={-2,-1,01,2},N={xr2-x-6≥0}，则M0N=() A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2 D.2 7.(2023全国新高考川卷T2)设集合A={0,-a,B=1,a-2,2a-2,若AB,则a=(). A.2 B.1 C. D.-1 8.(2022新高考1卷T1)若集合M={V<4,N={3x≥1}，则MnN=() A.{x0≤x<2 B.{≤x<2 C.{x3≤x<16) D.{6≤x<16} 9.(2022新高考Ⅱ卷T1)已知集合A={-1,1,2,4,B={xx-1≤1，则A∩B=(） A.{-1,2} B.{1,2} C.1,4 D.{-1,4} 第2页共7页 重点题型分析 题型1集合的概念 【例1-1】(25-26高三下·江苏扬州·开学考试)己知集合M={x∈N6-x∈N},则M中元素的个数是() A.8 B.7 C.6 D.5 【例1-2】（26-27高三上·河南南阳·开学考试)若集合A={x∈Zx-1<a,a∈Z}内的元素个数为2027， 则a=() A.1012 B.1013 C.1014 D.1015 【例1-3】（多选）(25-26高一上广东期末)若集合A={x2,x+2,x2-3x,且4∈A,则x的值可能是() A.-1 B.-2 C.2 D.4 温方法提炼思维升华解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 变式训练 1.(2026江苏淮安.一模)已知集合A={a-1,a,1},若0∈A,则a=(). A.-1 B.0 C.1 D.-1或0 2.(24-25高三上江苏·期末)己知集合A={-2,0,1,3},集合B={x-xEA且3+xEA,则B=() A.{0,3} B.{-2,1} C.{2,-1 D.{0,1,3} 3.(多选)(2025四川成都模拟预测)己知集合M={xx=2+(-1)*,k∈N},则() A.3∈M B.5∈M C.存在a∈M,b∈M,使得a+b∈M D.存在a∈M,bEM,使得ab∈M 4.(24-25高三上.上海-阶段检测)设a∈R,若集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3，则a= 题型2集合间的基本关系 【例2-1】(26-27高三上·江苏扬州开学考试)下列关系正确的是() A.0∈0 B.0={0} c.0]={0 D.0c0] 第3页共7页 【例2-2】（26-27高三上山东青岛开学考试)若集合A={x∈N-1<x<3,则A的真子集个数为() A.3 B.4 C.7 D.15 【例2-3】(26-27高三上甘肃天水阶段检测)已知集合A=1,3,a2,B={1,a+2},且BSA,则a的取值 集合为() A.{-1 B.{2) C.{-1,2 D.{1,-1,2 【例2-4】（多选）(25-26高三上安徽-阶段检测)设集合A∈R,且满足：x∈A(x≠1且x≠0)，则己∈A. 下列说法正确的是() A.若2EA,则集合A中还有另外两个元素 B.集合A中元素个数为3的倍数 C.集合A中所有元素之积为1 D.若集合A中元素个数不超过8，所有元素的和为片， 且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，则A={1,2,-3,引 墨方法提炼思维升华 (I)在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. (②)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足 的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 变式训练 1.（26-27高三上·四川成都·开学考试)己知集合A={x∈Nx≤5)，则下列结论正确的是（) A.-1∈A B.-1∈A C.{0}∈A D.[0}A 2.(26-27高三上陕西渭南·阶段检测)己知集合A={x0<x<2a+1),B={xa<x<3},若A∈B,则实 数a的取值范围是() A.(-00,1] B.(-∞，0] c.（-, D.(0,3) 3.(多选)(24-25高三上辽宁.期末)己知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a},若B≤A,则a 的值可能是() A.-2 B.-1 C.1 D.3 4.(25-26高三·全国.一轮复习)集合M={1,2,3,4},A≤M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”， 第4页共7页 且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为. (1)若n=3,则这样的集合A共有 个；(2)若n为偶数，则这样的集合A共有 个 题型3集合的基本运算 命题点1集合的运算 【例3-1】(26-27高三上浙江阶段检测)集合A={x|2≤x<7},B={x2<x<10},则C(AnB)=() A.{x2≤x<7} B.{x|x<2或x>7乃 C.{x|x≤2或x>73 D.{xx≤2或x≥7乃 【例3-2】（多选）（25-26高三上河北·期中)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A≤U,BU, 若A∩B={1,3},(CA)∩B={2,6,7},An(CB)={5},则下列说法正确的是() A.A={1,3,5} B.AUB={1,2,3,4,5,6,7 C.(CuA)∩(CuB)={4,8} D.(CA)U(CuB)={2,5,6,7,8} 【例3-3】(2026江苏南通模拟预测)A={1,2},B∩CA={3},则AUB= 命题点2求参数的值（范围） 【例3-4】(26-27高三上安微合肥阶段检测)设集合A={-2,1,a},B={-1,a,若A∩B≠0，则由实数 a构成的集合为（) A.{-1,0} B.{-1,0,1 C.{-V2,-1,0} D.{-2,-1,0,1} 【例3-5】（多选）(2025河南·三模)己知全集U={xx<4,xEZ},集合M={-1,2,a2),N={-1,1,2,a, P={-3,-1,2,3},若M≤N,则() A.a的取值有3个 B.MnP={-1,2} C.PUN={-3,-1,0,1,2,3} D.(CuM)n(CuP)所有子集的个数为4 【例3-6】(26-27高三上江苏扬州开学考试)设集合M={-1,2,N={xlx-a<1},若M∩N的真子集 个数是1，则实数a的取值范围是一 变式训练 1.(26-27高三上甘肃兰州阶段检测)己知集合A={x-3≤x≤1}，B={xx|≤2}，则A∩B=() A.{x|-3≤x≤2} B.{x|-2≤x≤1} C.x0≤x≤1} D.{x1≤x≤2) 第5页共7页 2.（26-27高三上安徽阜阳开学考试)已知集合P={x-3≤2x+1≤3}，M={a,-a},若PUM=P,则 实数a的取值范围是(). A.[-1,1 B.[-2,2 c.[-1,0)U(0,1] D.[-2,0)U(0,2] 3.(多选)(2026陕西西安模拟预测)已知全集U={-2,-1,0,2,3,4},集合M={-1,0,2},N={xx2+Qx-4= 0},且N∈U,则() A.a<0 B.3(MUN) C.MnW中元素个数为2 D.(CuM)∩N≠D 4.(26-27高三上陕西西安开学考试)设集合M是非空数集，若对任意x,y∈M,都有xy∈M,则称集合M 为“闭集合”.则下列说法正确的是 ①.集合A={0,1,2}不是“闭集合”；②.正整数集是“闭集合”； ③.若集合M是“闭集合”，且M≠{0}，则集合M中的元素个数一定是无数个： ④.若集合M1,M2都是“闭集合"，且M1∩M2≠0，则M1∩M2一定是“闭集合”. 题型4维恩图的应用 【例4-1】已知全集U=R,集合A={2,3,4},集合B={0,2,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为() A.{2,4} B.{0} C.{5} D.{0,5} 【例4-2】(2026安徽合肥·模拟预测)为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、 研学参观、AI技术培训3类拓展课程.高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳 动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的 有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为() A.5 B.6 C.8 D.10 【例4-3】(2024宁夏银川一模)己知全集U=Z,集合A={x∈Z-1<2x-3<8},B={1,3,4,5,6},则图中 阴影部分表示的集合为() A.{1,6} B.{2,6} C.{3,4,5 D.{2,4,6} B 第6页共7页 【例4-4】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为) A.Bn(AUC) B.(CuB)n(AUC)C.BUCu(AnC)D.(AnB)U(BnC) A B 变式训练 1.(2025四川雅安一诊)已知全集U=R,集合A={xlx|≤1，B={yy=Vx-工，则图中阴影部分表示的 集合为() A.(1,+o) B.(-1,+∞) C.(-00,-1) D.-1,0) 2.已知全集U={xk>,集合A={x3<x<8},B={xx-1>5},则图中阴影部分表示的集合为() A.{x3<x≤6} B.{x3<x<6 C.{x6≤x<8 D.{x6<x<8 C B 3如图，I是全集，M、PS是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是() A.(MnP)nS B.(MnP)US C.(MnP)nCS D.(MnP)UCiS 4.(2025届山东省泰安市部分学校高三摸底考试T2)全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6}, 则图中阴影部分表示的集合的子集个数为() A.2 B.4 C.8 D.16 第7页共7页2027届高考数学一轮复习1-1集合及其运算讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考I卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 集合间的关系 2023新川卷 通过解不等式求出集 交集 2026新I卷、2026新Ⅱ卷、2025新Ⅱ卷、2024新I卷、2023新I卷、2022新Ⅱ卷、 合，然后通过集合的 2022新I卷 运算得出答案。 并集 新高考【卷、新高考Ⅱ卷五年未考 补集 2025新I卷、 知识梳理 确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明 确判断出它是否为该集合中的元素. 1.元素的特征 互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素 在同一个集合中不能重复出现 无序性：集合与其组成元素的顺序无关. 集合与 2.元素与集合的关系：属于（记作a∈A),不属于（记作aA) 元素 3.集合的表示：列举法、描述法、图示法（韦恩图） 非负整数集（或自然数集）：N 正整数集：N*(或N+) 4.常用数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 子集：集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A,则x∈B):记为ASB(或B2A): 或AB 集合间 的关系 真子集：集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中；记为4B(或程A) 集 相等：集合A,B中元素完全相同或集合A,B互为子集：记为A=B 及 空集：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集：记为☑ 1.集合的 交集：AnB={xx∈A,且x∈B卧 运 基本运算 并集：AUB={xx∈A,或xB 集合的 补集：CuA={xx∈U,且xA 运算 交换律：AUB=BUA:AnB=BnA: 2.集合的 结合律：(AUB)UC=AU(BUC);(AnB)nC=An(BnC): 运算性质 分配律：(AnB)UC=(AUC)n(BUC);(AUB)nC=(AnC)U(BnC): 反演律：Cu(AUB)=(CA)n(CB);Cu(AnB)=(CA)U(CB): 其真子集个数为2-1 子集个数：含有n个元素的有限集合M,其子集个数为2 其非空子集个数为21 其非空真子集个数为2”-2 常用 结论 子集关系的传递性：若ASB,BSC→ASC 交小并大：若AUB=A=BSA;若AnB=B+BA 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解 集合运算中的常用方法 若已知的集合是点集，用数形结合法求解 若己知的集合是抽象集合，用Venn图求解 第1页共15页 五年真题剖析 1(2026年新高考1卷T3)已知集合A={sin后，cos号，tan习，B={停，-，1则AnB=() A.{5-引 B.{ c.{ o.{ 【答案】C【难度】0.85【知识点】三角函数的化简、求值一一诱导公式、交集的概念及运算 【详解】因为sing=sin(+)=-sing=-克cos暂=cos(2t-)=cos5= tam华=tam(+用)=an=1,所以集合A={号且集合B={9.-1 所以AnB={ 2.(2025年新高考I川卷T2)已知集合A={0,1,3,6,9),B={xW=x},则AnB=() A.{0,1 B.{3,6 c.{0,1,93 D.{0,3,9} 【答案】A【难度】0.92【知识点】交集的概念及运算 【详解】由题可得B={0,1),所以AnB={0,1} 3.(2025年新高考1卷T2)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则CwA中元素个数为) A.0 B.3 c.5 D.8 【答案】C【解】CuA={2,4,6,7,8,所以CuA中元素个数为5，故选C. 4.(2025年新高考川卷T3)集合A={-4,0,1,2,8},B={xx3=x},则AnB=（) A.{0,1,2} B.{1,2,8 C.{2,8 D.{0,1 【答案】D【解】B=xx3=x}={0,1},所以AnB=0,1},故选D. 5.(2024全国新高考1卷T1)已知集合A={x-5<x2<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=() A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【答案】A【解】A={x-5<x<5},B=千3，-1,02,3}，且1<5<2，从而A∩B={-1,0}.故选：A 6.(2023全国新高考1卷T1)已知集合M={2,-1,0,12,N={xx2-x-6≥0}，则MnN=() A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} c.{-2 D.2 【答案】C【解】方法一：N={x2-x-6≥0=(-m,-2U[3,+m),而M={-2,-1,0,1,2},故MAN={-2}.选：C. 方法二：将-2，-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以M∩N={-2}. 7.(2023全国新高考川卷T2)设集合A={0,-a,B=1,a-2,2a-2},若A≤B,则a=（). A.2 B.1 C. D.-1 【答案】B【解】因为AB,则有：若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意： 若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B=1,-1,0},符合题意；综上所述：a=1；故选：B 第2页共15页 8.(2022新高考1卷T1)若集合M=xV反<4，N={x3x≥1}，则MnN=() A.{x0≤x<2} B.{≤x<2 Cc.{x|3≤x<16 D.{≤x<16 【答案】D【解】M=x0≤x<16.N={k≥引故MnN={线≤x<16,故选：D 9.(2022新高考Ⅱ卷T1)已知集合A={-11,2,4,B={xx-1≤1，则A∩B=() A.{-1,2} B.1,2 c.1,4} D.{-1,4} 【答案】B【解】[方法一]：直接法：因为B={x0≤x≤2}，故A∩B=1,2},故选：B 方法二]：【最优解】代入排除法：x=-1代入集合B={xx-1≤1，可得2≤1，不满足，排除A、D: x=4代入集合B=xx-1≤1}，可得3≤1，不满足，排除C;故选：B. 重点题型分析 题型1集合的概念 【例1-1】(25-26高三下·江苏扬州·开学考试)己知集合M={x∈N6-x∈N},则M中元素的个数是() A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】B【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【详解】数集N表示的是自然数集， M={x∈N6-xeN},∴6-x=0,1,2,3,4,5,6, ∴.x=6,5,4,3,2,1,0,M={0,1,2,3,4,5,6}, .M中元素的个数是7. 【例1-2】(26-27高三上·河南南阳·开学考试)若集合A={x∈Zx-1<a,a∈Z}内的元素个数为2027， 则a=() A.1012 B.1013 C.1014 D.1015 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】若a≤0，则A={x EZ Ix-1|<a,aeZ}=0,不符合题意： 若a>0,则A={x∈Zx-1|<a,a∈Z}=x∈Z1-a<x<1+a,a∈Z}, 所以集合A中的元素为2-a、3-a、4-a、…、a, 故集合A中的元素个数为a+1-(2-a)=2a-1=2027,解得a=1014,符合题意. 综上所述，a=1014. 【例1-3】（多选）（25-26高一上广东·期末)若集合A={x2,x+2,x2-3x},且4∈A,则x的值可能是() A.-1 B.-2 C.2 D.4 【答案】BD【难度】0.65【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 第3页共15页 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性 【详解】由4∈A,A={x2,x+2,x2-3x}, 若x2=4时，x=2或x=-2, 当x=2时，集合A={4,4,-2}不符合题意舍去， 当x=-2时，集合A={4,0,10}符合题意， 若x+2=4时，则x=2,此时集合A={4,4,-2不符合题意舍去， 若x2-3x=4时，即x2-3x-4=0,解得：x=4或x=-1, 当x=4时，集合A={16,6,4}符合题意， 当x=-1时，集合A={1,1,4}不符合题意舍去， 综上所述：x=-2或x=4, 故选：BD 鲁方法提炼思维升华解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 变式训练 1.（2026江苏淮安.一模)已知集合A={a-1,a,1},若0EA,则a=（). A.-1 B.0 C.1 D.-1或0 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为0EA,所以a-1=0,或a=0, 当a-1=0时，解得a=1,此时集合A不满足集合元素互异性，舍去， 当a=0时，集合A={-1,0,1},此时集合A满足集合元素互异性， 所以a=0 2.(24-25高三上江苏·期末)己知集合A={-2,0,1,3},集合B={x-x∈A且3+x度A},则B=() A.{0,3 B.{-2,1 c.{2,-1 D.{0,1,3} 【答案】C【难度】0.65【知识点】描述法表示集合 【分析】根据-x为集合A中的元素，先求x,再根据3+x度A,进行验证，即可求解 【详解】当-x=-2,得x=2,3+2=5庄A,满足条件， -x=0,得x=0,3+0=3∈A,不满足条件， -x=1,得x=-1,3+(-1)=2生A,满足条件， 第4页共15页 -x=3,得x=-3,3+(-3)=0EA,不满足条件， 所以B=2,-1. 故选：C 3.(多选)(2025四川成都模拟预测)已知集合M={xx=2k+(-1),k∈N},则() A.3∈M B.5∈M C.存在a∈M,b∈M,使得a+b∈M D.存在a∈M,b∈M,使得ab∈M 【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为k∈N*,所以2是偶数，2k+(-1)是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入k=1,2,3,4…可得M={1,5,7,17.… 对于A,由上分析可知错误： 选项B,由上分析可知正确： 对于C,因为aEM,bEM,所以可以推出a,b都是奇数，而a+b是偶数，所以a+b不可能在集合M中： 对于D,因为a∈M,b∈M,所以可以推出a,b都是奇数，而ab是奇数，所以ab可能在集合M中， 例如a=1,b=5,ab=5. 故选：BD 4.(24-25高三上.上海阶段检测)设a∈R,若集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3，则a= 【答案】1【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先根据元素在集合S内，再分a=3,a=-1,a=1分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3， 所以3∈{-1，aa2+2,所以a=3或a2=1. 当a=3时，a2+2=11>3不合题意舍： 当a=-1时，不符合集合的互异性舍： 当a=1时，集合S={-1,a,a2+2中的最大元素为3： 所以a=1.故答案为：1. 题型2集合间的基本关系 【例2-1】(26-27高三上·江苏扬州·开学考试)下列关系正确的是() A.0∈0 B.0={0} c.0]={0 D.0∈0} 【答案】D【难度】0.95【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相 等、空集的概念以及判断 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得。 第5页共15页 【详解】选项A:空集O的定义是不含任何元素的集合，因此0度，该关系错误： 选项B:{0}是包含元素0的非空集合，和不含任何元素的空集0不可能相等，该关系错误： 选项C:{是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字0的集合0)元素完全不同，不可能相等，该关系 错误： 选项D:因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此0c0,该关系正确。 【例2-2】(26-27高三上山东青岛·开学考试)若集合A={x∈N-1<x<3},则A的真子集个数为() A.3 B.4 C.7 D.15 【答案】c【难度】0.92【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由题集合A={x∈N-1<x<3}可得集合A={0,1,2}, 集合的真子集个数为2-1，故A的真子集个数为23-1=7. 【例2-3】（26-27高三上甘肃天水.阶段检测)已知集合A={1,3,a2),B={1,a+2},且B三A,则a的取值 集合为() A.{-1 B.{2) C.{-1,2] D.{1,-1,2 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若a+2=3,则a=1,此时a2=1,不合题意， 若a+2=a2,则a=2或a=-1, a=-1时，a2=a+2=1不合题意，a=2时，a2=a+2=4满足题意. 所以a=2,从而a的取值集合为{2} 【例24】（多选）(25-26高三上安徽阶段检测)设集合AcR,且满足：x∈A(x≠1且x≠0)，则二∈A 下列说法正确的是() A.若2∈A,则集合A中还有另外两个元素 B.集合A中元素个数为3的倍数 C.集合A中所有元素之积为1 D.若集合A中元素个数不超过8，所有元素的和为兰， 且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，则A={-1,2,-3,引 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】列举法表示集合、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的 性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】利用集合与元素之间的关系计算，结合集合元素的互异性判断AB:求出所有元素积判断C:确定元 素个数并求出所有元素判断D. 【详解】对于A,由2EA,得-1∈A,号∈A,2EA,则2，-1，)SA,A正确： 对于B,xeA(x≠1且x≠0)，得亡∈A,=受eA空=xEA, 第6页共15页 令x=点得2-x+1=0无解，即x≠六同理x号亡+号 则比，己，号)二A,即集合A中任意一个元素可生成另外两个元素， 对任意互不生成的两个元素，各自生成另外两个元素，因此集合A中元素个数为3的倍数，B正确： 对于C,X六兰=-1，集合A中互不生成的元素有k个，则所有元素的积为(-，C错误： 对于D,依题意，集合4中的元素个数应为3或6，由x二.二=-1及 1-x x A中有一个元素的平方等于所有元素的积，得A中应有6个元素，且其中一个元素为-1， 由-1EA,得eA,2∈A,又-1++2=多，则另外三个元素和为g, 即x+去+安=吕解得x=-3,号A=(-1,2,-3}0正确 故选：ABD 鲁方法提炼思维升华 ()在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解。 (②)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足 的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题， 变式训练 1.(26-27高三上四川成都开学考试)已知集合A={x∈Nx≤5}，则下列结论正确的是() -1∈A B.-1≤A C.{0}∈A D.{0}∈A 【答案】D【难度】0.92 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、常用数集或数集关系应用 【分析】先确定集合A的具体元素，再结合元素与集合、集合与集合的关系符号逐一判断选项 【详解】首先，自然数集N包含0，因此集合A={xENx≤5)={0,1,2,3,45： 选项A:一1不是自然数，不属于A,故A错误： 选项B:二是集合之间的包含关系符号，-1是元素，不能用集合间的关系符号描述，故B错误； 选项C:E是元素与集合的从属关系符号，{0是集合，A={xEN|x≤5)为集合， 二者为集合与集合的关系，不能用E连接，故C错误： 选项D:因为0∈A,集合0的所有元素都属于A,根据子集的定义，可得0}∈A,故D正确， 2.(26-27高三上陕西渭南·阶段检测)己知集合A={x0<x<2a+1,B={xa<x<3)},若A≤B,则实 数a的取值范围是() A.(-∞，1] B.(-∞，0] c.（] D.(0,3) 【答案】B【难度】0.65【知识点】描述法表示集合、根据集合的包含关系求参数 第7页共15页 【详解】当A=0时，2a+1≤0，解得a≤- a≤0 当A≠0时， 2a+1>0,解得-<a≤0， 2a+1≤3 综上所述，实数a的取值范围是a≤0. 3.(多选)（24-25高三上辽宁期末)已知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a,若BcA,则a 的值可能是() A.-2 B.-1 C.1 D.3 【答案】AB【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由B≤A,列出等式a2-8=-7或-a2+a-1=-7,求得a,再逐个进行验证即可： 【详解】因为BcA,所以a2-8=-7或-a2+a-1=-7,解得a=1或a=-1或a=-2或a=3. 当a=1时，A={-2,-7,-1},B={-7,2},此时B华A,则a=1不符合题意. 当a=-1时，A=-2,-7,-3},B={-7,-2},此时BSA,则a=-1符合题意. 当a=-2时，A={-2,-4,-7},B={-7,-4,此时B车A,则a=-2符合题意. 当a=3时，A={-2,1,-7),B={-7,6,此时，则a=3不符合题意. 故选：AB 4.(25-26高三·全国.一轮复习)集合M=1,2,3,4,A∈M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”， 且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为. (1)若n=3,则这样的集合A共有 个；(2)若n为偶数，则这样的集合A共有 个 【答案】 213【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可， 【详解】(1)若n=3,据“累积值”的定义得A={3}或A={1,3,这样的集合A共有2个： (2)集合M的子集共有24=16个， 其中“累积值”为奇数的子集为{1、3}、{1,3}，共3个，所以“累积值"为偶数的集合共有13个. 题型3集合的基本运算 命题点1集合的运算 【例3-1】(26-27高三上浙江阶段检测)集合A=x2≤x<7},B={x2<x<10},则C(A∩B)=() A.{x2≤x<7} B.{x|x<2或x>7乃 C.{x|x≤2或x>7} D.{xx≤2或x≥7} 【答案】D【难度】0.94【知识点】交并补混合运算 【详解】A={x|2≤x<7},B=x2<x<10},·AnB={x2<x<7}, ∴CR(AnB)={x|x≤2或x≥7) 第8页共15页 【例3-2】（多选）（25-26高三上河北期中)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合AU,B≤U, 若A∩B={1,3},(CuA)∩B=2,6,7},An(CuB)={5},则下列说法正确的是() A.A={1,3,5} B.AUB={1,2,3,4,5,6,7} C.(CA)∩(CuB)={4,8} D.(CuA)U(CuB)={2,5,6,7,8} 【答案】AC【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合的运算法则求得集合A,B,再验证各个选项. 【详解】利用集合的运算法则得：A=(AnB)U(A∩(CuB)={1,3}U{5={1,3,5}, B=(A∩B)U(CuA)∩B)={1,3}U{2,6,7}={1,2,3,6,7} 对于A:A={1,3,5},故正确： 对于B:AUB={1,3,5}U{1,2,3,6,7}={1,2,3,5,6,7},故错误： 对于c:(CvA)∩(CuB)={2,4,6,7,8}∩{4,5,8}={4,8}，故正确： 对于D:(CA)U(CuB)={2,4,6,7,8}U{4,5,8}={2,4,5,6,7,8},故错误. 故选：AC 【例3-3】(2026江苏南通模拟预测)A={1,2},B∩CA=3},则AUB=_ 【答案】{1,2,3)【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】结合集合的交集及补集运算分析B的可能情况，然后再结合集合并集运算可求. 【详解】解：因为A={1,2,BnCRA=3),得3EB且3ECRA, 所以B={3)或1,3或{2,3或1,2,3).所以AUB=1,2,3) 故答案为：{1,2,3] 命题点2求参数的值（范围） 【例3-4】(26-27高三上·安徽合肥阶段检测)设集合A={-2,1,a,B={-1,a2},若AnB≠0，则由实数 a构成的集合为() A.{-1,0} B.{-1,0,1 c.{-V2,-1,0} D.{-2,-1,0,1} 【答案】A【难度】07【知识点】利用集合元素的互异性求参数、交集的概念及运算 【详解】若AnB={-1,则a=-1,此时A={-2,1,-1},B={-1,1,满足题意： 若AnB=1,则a2=1,解得a=士1， 当a=1时，则A={-2,1,1},不满足集合元素的互异性，故舍去： 当a=-1时，满足题意 若AnB={a,则a2=a,解得a=1或a=0: 第9页共15页 当a=1时，满足题意： 当a=0时，A={-2,1,0},B={-1,0],满足题意： 综上所述：由实数a构成的集合为{-1,0} 【例3-5】（多选）(2025河南·三模)已知全集U={xlx<4,xEZ},集合M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a, P={-3,-1,2,3},若M∈N,则() A.a的取值有3个 B.MnP={-1,2} C.PUN={-3,-1,0,1,2,3} D.(CuM)n(CuP)所有子集的个数为4 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算、判断两个集合的包含关系 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出a的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B 选项：利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项。 【详解】对于A选项，因为M={-1,2,a2,N={-1,1,2,a,且M∈N, 则a2=1或a2=a,且a≠士1，a≠2，解得a=0,故a的取值只有1个，故A错误： 对于B选项，M={-1,2,0},P={-3,-1,2,3},所以MnP={-1,2},故B正确： 对于C选项，N={-1,1,2,0},PUN={-3,-1,0,1,2,3},故C正确： 对于D选项，U={xlx<4,x∈Z}={x-4<x<4,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 所以CM={-3,-2,1,3},CwP={-2,0,1),则(CM0n(CuP)={-2,1, 其(CuM)n(CuP)的子集的个数为22=4，故D正确. 故选：BCD 【例3-6】(26-27高三上江苏扬州开学考试)设集合M={-1,2},N={xlx-a<1},若MnN的真子集 个数是1，则实数a的取值范围是 【答案】(-2,0)U(1,3)【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据-1∈N,2∈N分别求出a的范围，再根据MnN={-1或MnN={2即可求出， 【详解】N={xx-a<1}=xla-1<x<a+1), 因为MnN的真子集个数是1，所以MnN的元素个数是1， 若-1eN,则a-1<-1<a+1,得-2<a<0: 若2∈N,则a-1<2<a+1,得1<a<3: 若MnN=业则(2石0或2石0，得2<a<0, 若MnN=.则2后63，得1<a<3 综上，实数a的取值范围是(-2,0)U(1,3) 第10页共15页 变式训练 1.(26-27高三上甘肃兰州阶段检测)己知集合A={x-3≤x≤1}，B={xlx|≤2}，则AnB=() A.{x|-3≤x≤2} B.{x|-2≤x≤1} C.{x0≤x≤1 D.x1≤x≤2} 【答案】B【难度】0.95【知识点】交集的概念及运算 【详解】由|x≤2，可得-2≤x≤2，所以B={x-2≤x≤2 又A={x-3≤x≤1，根据交集的定义， A∩B是由所有既属于集合A又属于集合B的元素构成的集合， 因此需满足不等式组(C22取两个解集的公共部分，可得-2≤x≤1， 即AnB={x|-2≤x≤1 2.(26-27高三上·安徽阜阳·开学考试)已知集合P={x-3≤2x+1≤3}，M={a,-a,若PUM=P,则 实数α的取值范围是(). A.[-1,1 B.[-2,2] C.[-1,0)U(0,1] D.[-2,0)U(0,2] 【答案】c【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元一次不等式、根据集合的包含关系求参数 【详解】，集合P={x-3≤2x+1≤3}，.集合P={x-2≤x≤1}， ,PUM=P,.∴.M≤P, (a≠-a ∴，{-2≤a≤1，解得-1≤a<0且0<a≤1， (-2≤-a≤1 则实数a的取值范围是[-1,0)U(0,1]. 3.(多选)(2026陕西西安·模拟预测)已知全集U={-2,-1,0,2,3,4,集合M={-1,0,2},N={xx2+Qx-4= 0},且N∈U,则() A.a<0 B.3庄(MUN) C.MnN中元素个数为2 D.(CuM)nN≠0 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】分析可知，所以方程x2+ax-4=0有两个相异实根x1、x2,且x1、x2异号，结合全集U中的元素 可确定集合N,结合韦达定理求出a的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合N中，因为△=a2+16>0,所以方程x2+ax-4=0有两个相异实根， 设为x1、x2,由韦达定理可得x1x2=-4,所以x1、x2异号，且CuM={-2,3,4, 因为全集的元素中两元素之积为-4的只有两组-2、2和-1、4， 所以N={-2,2}或N={-1,4. 第11页共15页 当N={-2,2时，-2+2=-a=0,则a=0, 所以MUN={-2,-1,0,2},MnN={2},(CuM0nN={-2: 当N={-1,4时，-1+4=-a=3,则a=-3, 所以MUN={-1,0,2,4,MnN={-1,(CuM0nN={4. 综上，则a=0或a=-3,3度(MUN),MnN中元素个数为1，(CuM)nN≠0， 故A错误，B正确，C错误，D正确 4.(26-27高三上陕西西安·开学考试)设集合M是非空数集，若对任意x,y∈M,都有xy∈M,则称集合M 为“闭集合”.则下列说法正确的是 ①.集合A={0,1,2}不是“闭集合”；②.正整数集是“闭集合”； ③.若集合M是“闭集合”，且M≠{0}，则集合M中的元素个数一定是无数个： ④.若集合M1,M2都是“闭集合”，且M1∩M2≠0，则M1∩M2一定是“闭集合”. 【答案】①②④【难度】0.67【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算 【分析】对于①，通过举反例，即可判断；对于②，由正整数相乘的封闭性即可判断：对于③，通过举反 例M={-1,1},说明其为有限集合即可：对于④，利用闭集合定义检验即可判断」 【详解】①，集合A={0,1,2},取x=y=2,则xy=4生A,不满足闭集合的定义，故①正确： ②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确： ③，若取集合M={-1,1,(-1)×(-1)=1∈M,(-1)×1=-1∈M,1×1=1∈M, 满足闭集合定义，但M只有2个元素，是有限集，故③错误： ④，任取x,y∈M1∩M2,则x,y∈M1且x,y∈M2,因集合M1,M2都是“闭集合"， 则xyEM1,xy∈M2,因此xy∈M1nM2,M1∩M2满足闭集合定义，故④正确. 题型4维恩图的应用 【例4-1】己知全集U=R,集合A={2,3,4},集合B={0,2,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为() A.{2,4 B.{0} C.5 D.{0,5} U 【答案】D【难度】0.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】通过韦恩图划分各部分人数，即可求解， 【详解】依题意，图中阴影部分表示的集合是(CuA)nB, 而全集U=R,A=2,3,4,B={0,2,4,5},所以(CwA)nB={0,5.故选：D 【例4-2】(2026安徽合肥模拟预测)为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、 研学参观、AI技术培训3类拓展课程.高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳 第12页共15页 动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的 有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为() A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】c【难度】o.6【知识点】容斥原理的应用、利用venn图求集合 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为x、只参加劳动实践和AI 培训的人数为y,根据总人数列方程化简得y=1,再结合AI培训的总人数，算出只参加AI培训的人数. 【详解】设3类课程全参加的有x人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有y人， 列出韦恩图，则(6-y)+(4-x)+x+y+(9+x)+(5-x)+(9-y)=32, 劳动实践4研学参观 6- 9+x AI技术培训 9-V 可得y=1,则只参加AI技术培训的人数为9-y=8人. 【例4-3】(2024宁夏银川一模)已知全集U=Z,集合A={x∈Z-1<2x-3<8),B={1,3,4,5,6},则图中 阴影部分表示的集合为() A.{1,6} B.{2,6} C.{3,4,5} D.{2,4,6 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合：求出集合A、B,即可求得结论， 【详解】A=xe-1<2x-3<8={xe1<x<=2345, 可得A∩B=3,4,5),所以图中阴影部分表示的集合为{1,6}.故选：A. 【例4-4】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为) A.Bn(AUC) B.(CuB)n(AUC)C.BUCu(AnC)D.(AnB)U(BnC) 【答案】AD【难度】0.85【知识点】利用Venn图判断【分析】通过韦恩图即可求解. 【解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为Bn(AUC)或者(AnB)U(B∩C 故选：AD 变式训练 1.(2025四川雅安一诊)已知全集U=R,集合A={xlx|≤1}，B={yy=Vx-1,则图中阴影部分表示的 第13页共15页 集合为() A.(1,+∞) B.（-1,+∞) C.(-00,-1) D.-1,0) 【答案】c【难度】0.85【知识点】利用Venn图判断集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合为C(AUB):求出集合A,B,即可求得结论 【详解】由图可得阴影部分表示的集合为Cw(AUB).由lx≤1可得-1≤x≤1，即A=[-1,1], 由x-1≥0可得y=Vx-1≥0，即B=0,+o),则AUB=-1,1]U[0,+o∞)=-1，+∞)， 故Cw(AUB)=(-oo,-1)故选：C. 2.已知全集U={xx>0},集合A={x3<x<8}，,B={xx-1>5},则图中阴影部分表示的集合为() A.{3<x≤6} B.{x3<x<6} C.{x6≤x<8} D.{x6<x<8 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用Venn图判断 【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为A∩CB,再根据补集和交集的定义即可得解 【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为AnCB, 因为U={xx>0},A={x3<x<8},B={xx-1>5}={xx>6}, 所以CuB={0<x≤6]，则An CuB={x3<x≤6故选：A. 3.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是() A.(MOP)nS B.(MnP)US C.(MnP)nGS D.(MnP)UCS 【答案】C【难度】o.85【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合，即可求得结论 【详解】图中阴影部分不在集合S中，在集合M,P中， 故阴影部分所表示的集合是(MnP)nCS.故选：C. 4.(2025届山东省泰安市部分学校高三摸底考试T2)全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6}, 则图中阴影部分表示的集合的子集个数为() 第14页共15页 : A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合：求出集合A、B进而求出集合，即可求得结论 【详解】由图知：阴影部分表示集合为Cu(AnB):因为AnB=3,4,5},则Cu(AnB)={1,2},所以阴影部 分表示的集合的子集个数为22=4：故选：B. 第15页共15页