专题11 二元一次方程组综合应用与拓展知题通关讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题11二元一次方程组综合应用与拓展知题通关讲义 知识点01:标准解题六大步骤 知识点 02 八大高频实际题型 + 等量关系模板 知识点03:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点04:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 设直线l1:y=k1x+b1，直线l2:y=k2x+b2 知识点05:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 3.标准解题四步 （1）消元：观察三个方程，选择系数最简单的未知数（优先系数为1)，用代入 / 加减消元消去，得到只含两个未知数的二元方程组； （2）解二元：用代入或加减消元解二元一次方程组，求出两个未知数； （3）回代：将求出的两个值代入原任意一个三元方程，求出第三个未知数； （4）检验：三组数同时代入三个原方程，全部成立才是方程组的解。 知识点 06 两种消元思路对比 1. 列二元一次方程组，等量关系构建偏差 提醒：实际问题需提取两组独立有效等量关系，所列方程必须精准对应题意，不得主观构造等式。 2. 方程组求解后，未验证解的实际意义 提醒：方程组的数学解需结合实际场景核验，负数、非整数、不符合情境的数值均需舍去。 3. 混淆一次函数图像交点与方程组解的对应关系 提醒：两个一次函数图像交点的横、纵坐标，是对应二元一次方程组的唯一解，二者具备严格一一对应性。 4. 等同二元一次方程与一次函数概念 提醒：二元一次方程为独立等式；一次函数为变量对应关系，二者图像一致，但定义范畴不同，不可混为一谈。 5. 两直线位置关系与方程组解的情况匹配错误 提醒：两直线相交，方程组有唯一解；两直线平行，方程组无解；两直线重合，方程组有无数组解。 6. 解三元一次方程组，消元对象不统一 提醒：连续消元需固定消去同一个未知数，规范转化为二元一次方程组，无序消元会导致无法求解。 7. 三元一次方程组消元运算符号出错 提醒：加减消元过程中，系数匹配运算、移项变形均需规范变号，避免符号性计算失误。 8. 求解三元一次方程组，省略多方程检验 提醒：最终解必须代入全部三个原方程核验，满足所有等式条件，方可确定为方程组的解。 9. 实际问题设元不规范，单位未统一 提醒：列方程前统一题干所有物理单位，合理选择直接设元或间接设元，保证未知数与方程数量匹配。 题型 考察方向 难度 题型一 方案问题 ★★★ 题型二 行程问题 ★★★ 题型三 工程问题 ★★★ 题型四 数字问题 ★★ 题型五 年龄问题 ★★ 题型六 分配问题 ★★ 题型七 销售、利润问题 ★★★ 题型八 和差倍分问题 ★★ 题型九 几何问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 古代问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★ 题型十三 求一次函数解析式 ★★ 题型十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★ 题型十五 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型十六 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型十七 三元一次方程组的定义及解 ★★ 题型十八 三元一次方程组的应用 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 方案问题 1．小明到某文具店购买若干笔记本和中性笔共花费198元，已知笔记本每本5元，中性笔每支3元，设购买笔记本x本，购买中性笔y支，x，y均为正整数，则满足条件的购买方案有（   ） A．10种 B．11种 C．12种 D．13种 2．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 3．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 4．某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 题型二 行程问题 5．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 7．某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 8．综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 题型三 工程问题 9．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 10．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 11．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 12．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 题型四 数字问题 13．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的平方根为_________． 15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 16．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 题型五 年龄问题 17．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁． 18．如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 19．小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 20．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型六 分配问题 21．某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 22．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为______． 23．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 24．某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 题型七 销售、利润问题 25．根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 26．首都师大附中学生节期间，社团售卖两种文创周边：纪念徽章每个5元，迷你卡通贴纸每张2元．小明带了160元，恰好买了这两种周边共50件作为班级礼物，则他买了_______个纪念徽章． 27．某商场正在热销2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”．小红想买“冰墩墩”和“雪容融”，根据下图提供的信息，请你来帮她算一算，买1个“冰墩墩”和1个“雪容融”各需多少元钱？ 28．某水果店4月份购进苹果、橙子两种水果共花费1100元，其中苹果2元/千克，橙子8元/千克，全部售完；5月份，苹果的进价上调为4元/千克，橙子10元/千克．该店5月份购进这两种水果的数量与4月份相同，却多花费500元． (1)问该店4月份分别购进苹果、橙子两种水果多少千克？ (2)该店5月份苹果的售价为6元/千克，橙子的售价为16元/千克，在5月份购进的苹果出售一半、橙子全部售完后，商店决定对苹果打折处理，在售完5月份购进的全部水果后，5月份获得的总利润为810元，问剩余苹果打几折销售？ 题型八 和差倍分问题 29．班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 30．我校初二年级在半期考试过后进行了半期考试的总结表彰活动．为提高学生学习积极性，初二11班购买了部分学习用具作为奖品．在买之前发现上一次表彰剩余有错题本，三角板，圆规三种奖品，其中圆规的数量为三种奖品总数量的，根据需要表彰的人数再购进错题本，三角板，圆规的数量之比为，则购进后错题本的总数量为购进后三种奖品总数量的，三角板的新购数量与购进后三种奖品总数量之比为，则购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为______． 31．某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 32．综合与实践：租船与购票方案． 背景：某旅行团由成人、少年与儿童组成，儿童与成人共34人，少年比儿童的2倍少4人，少年比成人的一半多4人． 素材：如图，景区有甲船、乙船各条，旅行团租船（一客一位，不分批）从景点前往景点．到达后，购票进入景点，现剩余经费元用于购买门票． 景点B门票报价表 单人票价格 元/人 成人 全价 少年 半价 儿童 免票 团队票价格 元/团，人组团，免票不计入成团人数 (1)问题1：该旅行团中成人、少年与儿童分别是多少人？ (2)问题2：如何租用确保船只刚好坐满？根据要求设计方案． (3)问题3：在经费不超额的前提下，请你设计一个购票费用最省的方案． 题型九 几何问题 33．将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 34．如图，长方形中放有5个形状、大小相同的长方形（空白区域），为了求图中阴影部分的面积，可以设小长方形的宽为，长为，可以列方程组求出小长方形的长和宽，则图中阴影部分的面积为________． 35．如图，三个完全相同的小长方形沿“横一竖一横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求空白处面积． 36．现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． (1)如图1，若，，求和的值； (2)如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 题型十 图表信息题 37．如图是温度计的示意图，左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度，之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示． x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 据此可知，摄氏温度为时，对应的华氏温度应为______． 38．在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 39．为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 40．某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 题型十一 古代问题 41．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 42．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数和，各行从左到右用算筹依次表示未知数、的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组：__________ 43．列方程解应用题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？题目大意是几个人合伙买东西，若每人出钱；则会多出3钱；若每人出钱，则还少钱．求合伙人数，物品的价格分别是多少？ 44．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    题型十二 其他问题 45．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 46．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 单程 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有人乘坐缆车，返程时有人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是元，该小组共有________人． 47．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 48．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 题型十三 求一次函数解析式 49．直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 50．将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后的图象的解析式为_______． 51．如图，在直角坐标系中，，，，，当四边形周长最小时，的值是（    ）．    A． B． C．. D．非以上答案 52．在平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 题型十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 53．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是______． 54．当时，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 55．如图，直线：与轴、轴分别交于，，与直线：交于点． (1)根据函数图象，方程组的解为__________； (2)求，的值及的面积． 题型十五 图象法解二元一次方程组 56．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 57．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 58．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． (1)已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． (2)请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； (3)观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 (4)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 题型十六 求直线围成的图形面积 59．如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 60．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 61．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 题型十七 三元一次方程组的定义及解 62．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 63．已知方程组，则______． 64．已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 65．解下列方程组： (1)； (2)． 题型十八 三元一次方程组的应用 66．如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 67．足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 68．把编号为1到25的25个弹珠分放在两个篮子和中，15号弹珠在篮子中，把这个弹珠从篮子移至篮子中，这时篮子中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在篮子中有（     ）个弹珠． A．9 B．10 C．11 D．12 69．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二元一次方程组综合应用与拓展知题通关讲义 知识点01:标准解题六大步骤 知识点 02 八大高频实际题型 + 等量关系模板 知识点03:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点04:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 设直线l1:y=k1x+b1，直线l2:y=k2x+b2 知识点05:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 3.标准解题四步 （1）消元：观察三个方程，选择系数最简单的未知数（优先系数为1)，用代入 / 加减消元消去，得到只含两个未知数的二元方程组； （2）解二元：用代入或加减消元解二元一次方程组，求出两个未知数； （3）回代：将求出的两个值代入原任意一个三元方程，求出第三个未知数； （4）检验：三组数同时代入三个原方程，全部成立才是方程组的解。 知识点 06 两种消元思路对比 1. 列二元一次方程组，等量关系构建偏差 提醒：实际问题需提取两组独立有效等量关系，所列方程必须精准对应题意，不得主观构造等式。 2. 方程组求解后，未验证解的实际意义 提醒：方程组的数学解需结合实际场景核验，负数、非整数、不符合情境的数值均需舍去。 3. 混淆一次函数图像交点与方程组解的对应关系 提醒：两个一次函数图像交点的横、纵坐标，是对应二元一次方程组的唯一解，二者具备严格一一对应性。 4. 等同二元一次方程与一次函数概念 提醒：二元一次方程为独立等式；一次函数为变量对应关系，二者图像一致，但定义范畴不同，不可混为一谈。 5. 两直线位置关系与方程组解的情况匹配错误 提醒：两直线相交，方程组有唯一解；两直线平行，方程组无解；两直线重合，方程组有无数组解。 6. 解三元一次方程组，消元对象不统一 提醒：连续消元需固定消去同一个未知数，规范转化为二元一次方程组，无序消元会导致无法求解。 7. 三元一次方程组消元运算符号出错 提醒：加减消元过程中，系数匹配运算、移项变形均需规范变号，避免符号性计算失误。 8. 求解三元一次方程组，省略多方程检验 提醒：最终解必须代入全部三个原方程核验，满足所有等式条件，方可确定为方程组的解。 9. 实际问题设元不规范，单位未统一 提醒：列方程前统一题干所有物理单位，合理选择直接设元或间接设元，保证未知数与方程数量匹配。 题型 考察方向 难度 题型一 方案问题 ★★★ 题型二 行程问题 ★★★ 题型三 工程问题 ★★★ 题型四 数字问题 ★★ 题型五 年龄问题 ★★ 题型六 分配问题 ★★ 题型七 销售、利润问题 ★★★ 题型八 和差倍分问题 ★★ 题型九 几何问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 古代问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★ 题型十三 求一次函数解析式 ★★ 题型十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★ 题型十五 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型十六 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型十七 三元一次方程组的定义及解 ★★ 题型十八 三元一次方程组的应用 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 方案问题 1．小明到某文具店购买若干笔记本和中性笔共花费198元，已知笔记本每本5元，中性笔每支3元，设购买笔记本x本，购买中性笔y支，x，y均为正整数，则满足条件的购买方案有（   ） A．10种 B．11种 C．12种 D．13种 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解． 【详解】解：设购买笔记本x本，购买中性笔y支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 有13种购买方案， 故答案为：D． 2．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 3．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 4．某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)420元 (2)B奖品6件，C奖品10件 (3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件 【分析】（1）由数据直接列式计算即可； （2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答； （3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）． （2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件， 解得 答：B奖品6件，C奖品10件． （3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件． 由题意得： 因为为正整数， 所以： 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种可能购买方案，分别为： 方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件； 方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件； 方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件． 题型二 行程问题 5．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 6．甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 【答案】 【分析】本题考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟，根据图象列方程组，解方程组求得甲的速度为米/分钟，再将速度乘以时间，即可求解． 【详解】解：设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟， 根据图象，可得， 解得， 甲家到学校的路程为米． 故答案为：． 7．某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 8．综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【答案】问题1：r为米，m为米；问题2：为米；问题3： 【分析】本题主要考查列代数式的实际应用，解题的关键是根据题干中的素材，理解题意，列出正确的代数式．问题1，根据素材中“设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）”即可解答；问题2，根据图示，列出第2圈周长为，第1圈周长为，即可解答；问题3：根据前面分析，得出第圈周长为， ，当米，即可求出的值． 【详解】解：问题1： 根据题意得，，其中取3， 解得：， 答：该校跑道第1圈半径r为米，直道长度m为米． 问题2： 第2圈周长为，第1圈周长为， （米）， 答：第2圈起跑线前移距离为米． 问题3： 第圈周长为，第1圈周长为， ， 若米，， 解得， 则此时的值为． 题型三 工程问题 9．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 10．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 11．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 12．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 题型四 数字问题 13．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出，然后求出第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴，， ∴的值是． 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的平方根为_________． 【答案】 【分析】设定幻和为，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，求解出字母、的值，进而即可得到的平方根． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为）， 设三阶幻方的9个数字分别为： y 0 4 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为”，可得： ， 解①得， 解②得，则， 再代入①得， ∴， ∴的平方根为． 15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【分析】根据题意列方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 16．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 题型五 年龄问题 17．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁． 【答案】15 【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁， 由题意：， 解得：， ∴此时哥哥的年龄是15岁， 故答案为：15． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键． 18．如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 【答案】A 【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项． 【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组： ，即 解得： ∴年龄差：，即哥哥比小颖大6岁． 19．小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 【答案】小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁 【分析】设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，可得 解得 答：小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁． 20．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1) 证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型六 分配问题 21．某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， ∵车间总共有名工人， ∴， ∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的倍，生产镜片总数量为，生产镜架总数量为， ∴， ∴可得方程组． 22．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母， 由题意可得，， 故答案为：． 23．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 24．某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (2)共有2种方案可供选择，方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购m个竖式容器，n个横式容器，由题意可知，列出所有情况即可． 【详解】（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得， 解得． 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得， ． 又，n均为正整数， 或． 共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 题型七 销售、利润问题 25．根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 【答案】C 【分析】先理解题意，设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本，根据对话内容进行列方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本， 依题意，列方程组：， 解得， ∴笔的价格为元/支，笔记本为元/本， 26．首都师大附中学生节期间，社团售卖两种文创周边：纪念徽章每个5元，迷你卡通贴纸每张2元．小明带了160元，恰好买了这两种周边共50件作为班级礼物，则他买了_______个纪念徽章． 【答案】 【分析】先设出两种周边的购买数量，根据总件数和总花费的条件列出方程组，求解即可得到纪念徽章的数量． 【详解】解： 设他买了个纪念徽章，张迷你卡通贴纸， 根据题意列方程组得： 解得： ， 故他买了个纪念徽章． 27．某商场正在热销2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”．小红想买“冰墩墩”和“雪容融”，根据下图提供的信息，请你来帮她算一算，买1个“冰墩墩”和1个“雪容融”各需多少元钱？ 【答案】买1个“冰墩墩”需88元，1个“雪容融”需85元 【分析】设1个“冰墩墩”的价格为元，1个雪容融的价格为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 【详解】解：设1个“冰墩墩”的价格为元，1个雪容融的价格为元， 根据题意得， 解得：， ， 因此买1个“冰墩墩”需88元，1个“雪容融”需85元． 28．某水果店4月份购进苹果、橙子两种水果共花费1100元，其中苹果2元/千克，橙子8元/千克，全部售完；5月份，苹果的进价上调为4元/千克，橙子10元/千克．该店5月份购进这两种水果的数量与4月份相同，却多花费500元． (1)问该店4月份分别购进苹果、橙子两种水果多少千克？ (2)该店5月份苹果的售价为6元/千克，橙子的售价为16元/千克，在5月份购进的苹果出售一半、橙子全部售完后，商店决定对苹果打折处理，在售完5月份购进的全部水果后，5月份获得的总利润为810元，问剩余苹果打几折销售？ 【答案】(1)该店4月份购进苹果150千克，橙子100千克 (2)剩余苹果打八折 【分析】（1）设该店4月份购进苹果千克，橙子千克，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设剩余苹果打折，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该店4月份购进苹果千克，橙子千克， 根据题意得，， 解得， 答：该店4月份购进苹果150千克，橙子100千克； （2）解：设剩余苹果打折． 根据题意得，， 解得， 答：剩余苹果打八折． 题型八 和差倍分问题 29．班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 30．我校初二年级在半期考试过后进行了半期考试的总结表彰活动．为提高学生学习积极性，初二11班购买了部分学习用具作为奖品．在买之前发现上一次表彰剩余有错题本，三角板，圆规三种奖品，其中圆规的数量为三种奖品总数量的，根据需要表彰的人数再购进错题本，三角板，圆规的数量之比为，则购进后错题本的总数量为购进后三种奖品总数量的，三角板的新购数量与购进后三种奖品总数量之比为，则购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为______． 【答案】 【分析】设上一次表彰剩余总数为x，则剩余圆规数为，然后设再购进的错题本，三角板，圆规数为，根据题意表示出购进后三角板的总数量和购进后圆规的总数量，进而求解即可． 【详解】解：设上一次表彰剩余总数为x，则剩余圆规数为， 设再购进的错题本，三角板，圆规数为， ∴购进后错题本，三角板，圆规总数为， ∴购进后错题本的总数量为，三角板的新购进数量为， ∴， ∴， ∴购进后圆规总数为， ∴购进后三角板的总数为， ∴购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 31．某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 【答案】选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人 【分析】设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人，根据总人数为人，徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，列出方程组并解方程组，即可得到答案． 【详解】解：设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人， 根据题意可列方程组：， 解得：， 答：选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人． 32．综合与实践：租船与购票方案． 背景：某旅行团由成人、少年与儿童组成，儿童与成人共34人，少年比儿童的2倍少4人，少年比成人的一半多4人． 素材：如图，景区有甲船、乙船各条，旅行团租船（一客一位，不分批）从景点前往景点．到达后，购票进入景点，现剩余经费元用于购买门票． 景点B门票报价表 单人票价格 元/人 成人 全价 少年 半价 儿童 免票 团队票价格 元/团，人组团，免票不计入成团人数 (1)问题1：该旅行团中成人、少年与儿童分别是多少人？ (2)问题2：如何租用确保船只刚好坐满？根据要求设计方案． (3)问题3：在经费不超额的前提下，请你设计一个购票费用最省的方案． 【答案】(1)旅游团中成人、少年与儿童分别是24人、16人、10人 (2)租用甲船5条，乙船2条 (3)购票费用最省的方案为购买2份团队票，10张半价票，购票费用为1700元 【分析】（1）设旅行团中儿童人，成人人，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设租用甲船条，乙船条，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为整数求解； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列式计算比较即可． 【详解】（1）解：设旅行团中儿童人，成人人． 由题意，得， 解得， 所以（人）． 答：旅行团中成人、少年与儿童分别是24人、16人、10人； （2）解：设租用甲船条，乙船条． 由题意得， 所以， 因为，均为整数，且，， 所以， 答：租用甲船5条，乙船2条； （3）解：因为1份团队票的费用低于15张全价票的费用，而成人已超过15人， 所以购买团队票会更省，分两种情况： ①当购买1份团队票时，费用，不超额； ②当购买2份团队票时，费用，费用更省； 答：购票费用最省的方案为购买2份团队票，10张半价票，购票费用为1700元． 题型九 几何问题 33．将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可以先设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图1和图2可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∴， 解得， ∴直角三角形的面积为：． 34．如图，长方形中放有5个形状、大小相同的长方形（空白区域），为了求图中阴影部分的面积，可以设小长方形的宽为，长为，可以列方程组求出小长方形的长和宽，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 35．如图，三个完全相同的小长方形沿“横一竖一横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求空白处面积． 【答案】 【分析】先将三个完全相同的小长方形的长与宽的长度设出来，再根据大长方形的长是由2个小长方形的长与1个小长方形的宽组成，大长方形的宽是由2个小长方形的宽与1个小长方形的长组成列二元一次方程组，再用大长方形的面积减去3个小长方形面积求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图像有，解得， ∴小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积， 空白处面积． 36．现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． (1)如图1，若，，求和的值； (2)如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【答案】(1)和的值分别为10和25 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据大长方形的相邻两边长分别为、，再结合图形列出关于x、y的方程组求解即可； （2）①由小长方形的周长为，求得，再列式求大长方形的周长，然后整体代入计算即可求解；②依题意得、，去括号整理得，再将整体代入即可求解． 【详解】（1）解：依据题意得，，解得， 答：和的值分别为10和25． （2）解：①由题意得，，所以， 所以大长方形的周长为． ②因为， 所以 ． 题型十 图表信息题 37．如图是温度计的示意图，左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度，之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示． x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 据此可知，摄氏温度为时，对应的华氏温度应为______． 【答案】59 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和表格中的数据可以求得相应的函数解析式，将代入求出的函数解析式，即可求得相应的华氏温度． 【详解】解：设该一次函数的表达式为， 经过点和， ， 解得， ， 当时，， 即摄氏温度为15时，对应的华氏温度应为59． 故答案为：59 38．在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等得出，和为，进而得出每行第一个数分别为、、，即可得出，可得二元一次方程组，解方程组求出，的值即可得出答案． 【详解】解：∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等， ∴，每行每列及对角线上三个方格中的数字和为， ∴第一行第一个数为， 第二行第一个数为， 第三行第一个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得：． 39．为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 【答案】(1)基本价为2元，市场价为元 (2)70元 【分析】（1）设每吨水的基本价为元，市场价为元，根据小明家3、4月份的用水量及收费费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据应交水费基本价月份用水量市场价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每吨水的基本价为元，市场价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每吨水的基本价为2元，市场价为元． （2）（元）． 答：他家应交水费70元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用；（2）根据数量关系，列式计算． 40．某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 题型十一 古代问题 41．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 42．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数和，各行从左到右用算筹依次表示未知数、的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组：__________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：根据题目给出的示例和规则，可以总结算筹表示数的规律： 每行从左到右依次为的系数、的系数、常数项； 单独的竖棒：每1根代表1；横棒在个位位置时代表5，横棒在十位位置时代表10，求和得到该位置的数值． 对算筹图2分析： 第一行：系数为，系数为，常数项为， 得方程； 第二行：系数为，系数为，常数项为， 得方程． 因此得到方程组． 43．列方程解应用题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？题目大意是几个人合伙买东西，若每人出钱；则会多出3钱；若每人出钱，则还少钱．求合伙人数，物品的价格分别是多少？ 【答案】合伙人数是人，物品的价格是钱 【详解】解：设合伙人数是人，物品的价格是钱， 由题意得， 解得． 答：合伙人数是人，物品的价格是钱． 44．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 题型十二 其他问题 45．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 46．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 单程 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有人乘坐缆车，返程时有人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是元，该小组共有________人． 【答案】 【分析】设该小组共有人，往返的有人，根据“去程时的人数返程时的人数往返的人数该小组一共的人数；乘坐缆车的总费用是元”列出方程组求解即可． 【详解】解：设该小组共有人，往返的有人， 依题意，得：， 解得：， ∴该小组共有人． 47．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 【答案】(1) (2)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解方程得到a的值，再将其代入中，即可解答； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． （2）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元． 48．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 【答案】(1)96元 (2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度 (3)442元 【分析】（1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，根据方女士和李先生家的电费建立方程组求解即可； （3）根据所给收费标准列式求解即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：王先生家5月份应交电费96元． （2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 依题意，得， 解得． 答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度． （3）解：（元）． 答：何女士家5月份应交电费442元． 题型十三 求一次函数解析式 49．直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度，得，即． 50．将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后的图象的解析式为_______． 【答案】 【分析】一次函数图象平移后不变，可设平移后的解析式，代入已知点求出待定系数，即可得到平移后图象的解析式． 【详解】解：新直线是由一次函数的图象平移得到的， 新直线的， 可设新直线的解析式为：， 平移之后的图象经过点， ， ， 平移后图象函数的解析式为． 51．如图，在直角坐标系中，，，，，当四边形周长最小时，的值是（    ）．    A． B． C．. D．非以上答案 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称，一次函数．熟练掌握关于坐标轴对称的点坐标特征，轴对称路径最短，待定系数法求一次函数的解析式，是解决问题的关键．作点A关于x轴的对称点，作点B关于y轴的对称点，连接，根据点C，D在上时最小，得到四边形周长最小．根据点，坐标求出直线的解析式，根据的解析式求出点C，D的坐标，即得． 【详解】解：如图，分别作点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，连接，，，    则，， ∴ 当点C，D在上时，的值最小，， 此时四边形周长就最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 52．在平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两直线交点的坐标同时满足两个直线的解析式，联立解析式求解即可得到交点坐标． 【详解】解：联立， 解得， ∴ 两直线交点坐标为． 题型十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 53．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【详解】解：二元一次方程组，可变形为， 从图象中可以看出，函数和的图象交于点， 所以方程组的解是． 54．当时，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立求得两直线的交点的坐标为，根据各选项交点的位置即可判断． 【详解】解：联立得， 解得， ∴两直线的交点的坐标为，观察图形可排除A、C选项； D选项中交点的纵坐标大于，小于，不等于，故D选项不对； 只有选项B符合题意． 55．如图，直线：与轴、轴分别交于，，与直线：交于点． (1)根据函数图象，方程组的解为__________； (2)求，的值及的面积． 【答案】(1) (2)，，的面积为 【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据函数图象上点的坐标特征可得，的值，继而得到直线的解析式，从而求得点的坐标，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：交于点， ∴方程组的解为 ； （2）解：设点到轴的距离为， ∴， ∵直线：与直线：交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线所对应的函数解析式为， ∵直线：与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，的面积为． 题型十五 图象法解二元一次方程组 56．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 57．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 58．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． (1)已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． (2)请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； (3)观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 (4)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】(1) (2) 画图如图， (3)，； (4)的值为2，的值为． 【分析】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （2）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （3）观察图象即可求解； （4）把两点和代入，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点在方程的图象上； 故答案为：； （2）解：由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； （3）解：观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （4）解：∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为2，的值为． 题型十六 求直线围成的图形面积 59．如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】先求得直线与轴的交点坐标，再联立解方程组求得点P的坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：令，，； ∴， 解方程组，得， ∴， ∴的面积是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，求得点P的坐标是解题的关键． 60．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 61．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 题型十七 三元一次方程组的定义及解 62．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴． 63．已知方程组，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 64．已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】消去后整理出含的式子，因为为定值，因此的系数为，即可推得与的关系． 【详解】解： 得 ， ， 为定值， ， ． 65．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得 解得 将代入①得 解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得 得 得 将代入②得 解得 将代入⑤得 解得 ∴方程组的解为． 题型十八 三元一次方程组的应用 66．如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据天平平衡列出方程组，通过消元可得答案． 【详解】解：由题意得，， 得， ∴，即． 67．足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为， 根据题意得． 68．把编号为1到25的25个弹珠分放在两个篮子和中，15号弹珠在篮子中，把这个弹珠从篮子移至篮子中，这时篮子中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在篮子中有（     ）个弹珠． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】设未知数表示原来A中弹珠个数、A和B的原平均数，根据所有弹珠号码总和固定，结合移动15号弹珠后A、B的平均数变化列方程组，消元求解得到原来A中弹珠的个数． 【详解】解：设原来篮子中有弹珠个，则篮子中有弹珠个，设原来中弹珠号码平均数为，中弹珠号码平均数为．根据题意列方程组得 ， 由②得， 由③得， 将④⑤代入①，得， 解得， 因此原来篮子A中有9个弹珠． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，根据题目中移动前后A篮和B篮的平均数即可找到另两个等量关系，将得到的三个方程联立方程组求解，问题即可解答． 69．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $