专题05二次根式知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题05二次根式知题通讲义 知识梳理 知识点01：二次根式概念与有意义条件 1.定义 形如Va(a≥o)的式子叫做二次根式。必备条件：带二次根号、被开方数 非负。 2.根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 √a有意义 a≥0 基础选择题高频 √a无意义 a<0 负数不能开算术平方根 有意义 a>0 既要非负，又要分母不为0 √a+1有意义 a+1≥0 整体被开方数≥0 知识点02：核心性质|必背清单 1.二次根式性质1：（Va@2=a(a≥0) 二次根式的性质1与性质2非常容 易混消，这两个性质有三点不同， 一是运算顺序不同：二是运算结果 二次 a(a>0) 2.二次根式性质2：√a2=lal 0(a=0) 不同：三是条件不同，即a的取值范 根式 -a(a<0) 围不同，要注意区分，这是一个常 的 考易错的问题。 性质 3.二次根式性质3：Vab=Va√(a≥0，b≥0) 4.二次根式性质4： 0 Va (a≥0，b>0). 试卷第1页（共3页） 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问 题是高频易错点。 性质3：逆用可用于根式化简。 性质4：逆用常用于分母有理 易混点直击： (a2vs√a对比表 对比维度 (Va)2 √a 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式 才有意义) a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运 算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得|a|,再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆， 任意数平方后开方，结果为非负数 结果唯 (去绝对值后确定) 重点区分（学生必考混淆点） 1.(a:先开方、再平方， 结果直接等于a 2.√a:先平方、再开方，结果必须带绝对值 √ā分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a≥ 0 Va2}-a a <0 Va2--a 试卷第2页（共3页） 知识点03：二次根式的性质与化简一 给根式“整容变标准” 1,最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数： (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2.同类二次根式(“同门兄弟”判别法) (1)判断步骤：先化简→再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式 (和根号外系数无关)。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04：二次根式的运算 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 vavb=Vab(a≥0， 乘法 相乘合并→整体开方一→化为最简 被开方数不能为负 b≥0) a 结果分母严禁带根 除法 (a>0.b>0) 根式相除→分母有理化→化简 号 化（全最简）二找（同类根式） 非同类根式，不能强 加减法 无固定公式 三并（合并同类） 行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 试卷第3页（共3页） 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内： 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (a+Vb)(Va-Vb)=a-b: (aV/b)2=a+b±2Vab」 1.忽略二次根式有意义的条件（≥0），求字母取值范围时遗漏限制： 2.混淆(a2与Va,后者结果必须加绝对值： 3运算时未先化简就直接合并，导致错误： 4分母有理化时漏乘、符号出错： 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05：分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘 二次根式化简的结果通常要满足以 适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母， 下几个要求：(1)根号下不能含有 二次 /ab 能开的尽方的数或式子；(2)根号 根式 层-治 · 下不能含有分数或分式：(3)如果 6 的 结果中含有分母，分母中不能有根 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式 号。二次根式的运算和化简问题 分母 可以使分母中不含有根号。 定要注意检查。 有理化 a=a·b Jab 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化 知识点06：化简二次根式一般方法 试卷第4页（共3页） 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行 v8=V4x2▣2V2 开方 若被开方数中含有带分 4V4x32V3 数，先将被开方数化成 3x3 3 假分数 若被开方数中含有小 N0.9= 9 903V10 数，先将小数化成分数 V10V100=10 化去根号下的分 母 若被开方数时分式，先 5a 5a.3c 15ac 1Sac 将分式分母化成能转化 12bcV12b·3c 1366c 6bc 为平方的形式，再进行 (a>0,b>0,c>0) 开方运算 被开方数时多项式的要先因式分解 Vx'+2y+y=(x+y)'=x+) (x≥0，y≥0) 2 高频易错点 1. 二次根式有意义条件判断错误 提醒：a中被开方数a≥0：被开方数小于零时，二次根式无意义。 2.混淆√与a运算规则 提醒：(a)-a,适用条件a≥0；Va-al,a可取全体实数，两式不能等 同。 3. 二次根式未化简为最简二次根式 提醒：最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含可以开得尽方的因 数或因式。 4. 二次根式乘除运算忽略取值范围 试卷第5页（共3页） 提醒：VaVb-Vab, Va_aa 成立前提a≥0，b0。 5. 同类二次根式判定出错 提醒：判定同类二次根式，需先化为最简二次根式，再观察被开方数是 否相同，不可直接依据原式判断。 6. 二次根式加减随意合并被开方数 提醒：只有同类二次根式才能够合并：被开方数不同，不可直接合并。 7.分母有理化化简不彻底 提醒：计算结果分母不能含有二次根式，存在根号在分母时必须完成分 母有理化。 8. 字母型二次根式化简遗漏绝对值 提醒：算术平方根运算结果是非负数，化简含有字母的式子，必要时添 加绝对值保证结果非负。 3 题型通关 题型 考塞方向 难度 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 ★★ 题型三 求二次根式中的参数 题型四 二次根式有意义的条件 ★★ 题型五 利用二次根式的性质化简 试卷第6页（共3页） ★★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★ 题型七 二次根式的乘法 ★★ 题型八 二次根式的除法 题型九 二次根式的乘除混合运算 题型十 最简二次根式的判断 题型十一 ★★ 化为最简二次根式 ★★★ 题型十二 已知最简二次根式求参数 题型十三 同类二次根式 题型十四 二次根式的加减运算 题型十五 二次根式的混合运算 ★★ 题型十六 分母有理化 题型十七 已知字母的值，化简求值 题型十八 已知条件式，化简求值 题型十九 比较二次根式的大小 题型二十 ★★★ 二次根式的应用 ★★ 题型二十一 实数的混合运算 ★★★★ 题型二十二 新定义下的实数运算 ★★★ 题型二十三 实数运算的实际应用 试卷第7页（共3页） ★★★★ 题型二十四与实数运算相关的规律题 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题女★★★★压轴 A 分题型精讲 题型一二次根式的识别 1.下列式子中，是二次根式的是() A vr B V5 D Va-3 2.下列式子-v5,a(a<0),b+1(b≥0)，-m中，二次根式的个数是 个. 3.下列各式中，一定是二次根式的是() A.Vm B.Vm+2 C.Vm2+2 D.V-20 题型二求二次根式的值 4,当=时，二次根式+8 的值为 5.在式了2，识.1，x+y中，二次根式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6,当=1时，二次根式VA2x 的值等于() A.4 B.0 C.2 D.2 题型三求二次根式中的参数 7.若12a 整数，则正整数“的最小值是() A.2 B.3 C.4 D.12 试卷第8页（共3页） 8.已知3-x是整数，则自然数x的所有取值为 √31-a 9.已知a是正整数，且 的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为() A.136 B.131 C.100 D.94 题型四二次根式有意义的条件 10.二次根式x-6有意义，则实数x的取值范围是() A.x≥-6 B.x≤-6 C.x>6 D.x≥6 1.若v3aa≠0 的值是有理数，那么“的最小偶数值是(） A.3 B.6 C.9 D.12 12.要使Vc-2=(-2,实数x的取值范国是 13.若Vm-2027+2026-m=m 则m-20262= 题型五利用二次根式的性质化简 V25= 14. 15.a-2+2-a= 16,计算 2-3 17.若实数m满足V3-m+m-5=V原，则m的值为（) A.-2 B.9 C.11 D.14 题型六复合二次根式的化简 2-V3 18.已知x=V2,则4x2+4x-2020 试卷第9页（共3页） 19.若a是实数，化简4+25+5-2+（口+°的结果为（） A.3+3V5 C.3 D.4 20.计算：V7-V15-V16-25= V3-2V2 V3+2W2 21.3x3-3×42+8 V3×3+3x4V2+8 题型七二次根式的乘法 2.计算2×v5 的结果是 23.下列计算正确的是() A.4y=2 B.V6÷V2=3 c.(2=4 D.√2x√5=√10 24.计算：25x5= 25.估计 525 的值应在() A.-1和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间 题型八二次根式的除法 26,计算V8÷2 的结果是 28.计算：25-6+(54+2w6)V5= 试卷第10页（共3页） b÷1Nab÷b a 29.若a>0,b>0,则Vaa b等于() b A.a√ab B. ab C.ab D 1 ab ab 题型九二次根式的乘除混合运算 √6x5 30.计算：√2 31.下列计算错误的是() A.V80-√45=V5 5.=35 1 C.3x D.(V2+3(-2+5)=13-22 V12×V27 32.计算： v3 33.在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则 两个空格中的实数之积为() 23 1 6 3 2 √5 6 A. 2V2 B.3V2 C.6 D.63 题型十最简二次根式的判断 试卷第11页（共3页) 34.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.v0.5 B.10 C.V2 D.√24 2 35.下列二次根式中：①√24；②2W7;③V14；④V3;是最简二次根式的是 (填序号)· 36,根式8,21，v05V-了，a,V-2a+2中，最简=次根式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型十一化为最简二次根式 37.化简：V12= 38若浸简=次根式m+1与2可以合并，则m= 39.若108=a6av6 为最简二次根式，则a-b的值为() A.3 B.-3 C.9 D.-9 40.下列各式计算正确的是() 2V5+3V5=6√5 B.4+9=v4+9 c.V-3)x(-4=12 D.√2x3=√6 题型十二已知最简二次根式求参数 41.若0是最简二次根式，则a的值可以是() A.0.1 B.12 C.15 D. 42.若最简二次根式 2a+5与4a+3 相等，则a= 试卷第12页（共3页) 304a+3b 2a-b+6 43.若最简二次根式 和 能合并，则ab的值分别是() A.2和1 B.1和2 C.2和2 D.1和1 题型十三同类二次根式 44.若最简二次根式a-3与2 是同类二次根式，则“的值是一. 45.下列二次根式中，与5是同类二次根式的是() A V2 B V12 D.vG 46最简=次根式2a与Va+ 可以合并，则“的值为一 47.下列各组中的两个式子，不属于同类二次根式的是() 1 1 A.V18与√⑧ B.√63与V28 C.V48与V4.8 D.V1.25 V125 题型十四二次根式的加减运算 48. V11+V44-V99= 49.对于任意的正数0、6，定义一种新的运算：★”，utb=、b-a 3★4=3x4-V3= 5,计算2★9 结果为 50计：-) 51.设8=小+宁+z++z+了+…++2016*2017，则s接近的整数是() 11 11 A.2015 B.2016 C.2017 D.2018 试卷第13页（共3页） 题型十五二次根式的混合运算 √2x6-27 52.计算： 53.下列计算正确的是() 2.8_6 A.√75-√27=25 B.V5V15=4 C.5+√2=5√2 D.(5-5+5)=2+45 55.化简：V4+V万+V4-7= 题型十六分母有理化 4 56.计算√2的结果是 =7+2,b=3 57.已知 7-2则a与b的关系为() A.ab=1 B.ab=-1 C.a=b D.a=-b 1 1 1 1 58.计算：2+13+2+2+5+5+2++ 1+ V2025+V2024= V5+V2 √5-2 59.计算2+√6+8+√2+2-V6-8+V的结果是() A.3-V2 B.3+2 C.1 D.2 题型十七已知字母的值，化简求值 60.已知x=V5-1 ,则代数式+2x-6的值为 试卷第14页（共3页） 61,若a=2-1,6=2+1.则代数式- 的值是() A.4v2 B.4V2 C.3 D.3 9-x 9-x Vx-4 62.已知Vx-6√x-6,且x是偶数，则√x+4的值为一 63.已知0=5+26-5-2则代数式F+6+7a 的值为() A.25 B.+5 C.3 D.5 题型十八已知条件式，化简求值 64,已知x=V3-1 ,则x2+2x-3=一 m+1=3 1 √m- 65.己知√m,且0<m<1,则Vm的值是() A.-V5 B.±5 C v5 D. 66已知实数4，么，c满足6=4-G,Vb=4+6,则0+b+c= 67.已知+y=-5,y=4,则Vx tyvy的值是() A.4 B.-4 C.2 D.-2 题型十九比较二次根式的大小 68.比较大小： 4V2 7.(填“>”、=”、<”) 69.2V4、26、15三个数的大小关系是() A.214<15<V226 B v226<15<214 c.2i4<V226<15 D.V26<24<15 试卷第15页（共3页） 70.比较大小错误的是（) A.5V7 -7-√23 C.2>-6 D.1-V3>√3-1 题型二十二次根式的应用 71,如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为2和6，那么阴影部分的面积为() 2 6 A.4 B.23-2 c.2v6-2 D. 4V3-2 72.如图，正方形A、B的面积分别为5cm和7cm,现将正方形A的边长分别增加2cm 和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比 较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积 乙面积.（填“大于”、“小于”或 “等于”) B 甲 乙 73.七巧板被西方人称为“东方魔术”·下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的、己知七 巧板拼成的正方形（如图l)边长为a(cm).若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为 12cm2 那么a的值() 试卷第16页（共3页） A22 B.3V2 C.4 D.5V2 题型二十一实数的混合运算 74.计算：（)x3+5+2-20240= 75.下列计算正确的是() A.3a2+4a2=7a4 B.5a-2a=3 C.ab+4ab=Sab D,V2+v3=V5 76计(-5-斗-可的结果方 7元.已知有理数a,b满足5-a=26+号5-a,则a4力（) 3 2 c.3 D. A.2 B.2 6 题型二十二新定义下的实数运算 78.对于实数a、b,定义新运算“*”：a*b=a2-2ab+b2,若关于x的方程 (x+1)*(x-2)=k 有实数根，且根为整数，则整数k的个数为() A.2个 B.1个 C.4个 D.5个 79.规定新运算“☆”：对于任意实数a,b都有a☆b=a2-b,例如： 试卷第17页（共3页） -2 x☆(-3)=x2-(（-3)=x2+3,则3 80,定义：对于任意的实数0，b,当≥b时，有a®h=V匠+6：当0<b时， a®b=a+F,则-1)8(-8)=() A.-7 B.1 C.7 D.-1 题型二十三实数运算的实际应用 81,如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合V2:1, ；其中，纸的面积为 1m将 A A 纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将“纸沿两条长边中点的连 线裁切得两张纸…依此类推，得，4,4 A 等等的纸张（如图所示），若设纸张的宽为 m,则下列列式正确的是() 巴Ag As A A2 A Ao A A.√2x=1 B.2x2=1 。.x日 D. r-6 82.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为 试卷第18页（共3页） 83.小明按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB与A4纸的长边AB恰好重 合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为() DD) D(D)B(B) ② B B A.3:2 B.V2:1 C,4:3 D.2:V5 题型二十四与实数运算相关的规律题 84.一个按某种规律排列的数阵如图所示，根据数阵排列的规律，第2023行从左向右数第 2024个数是() 12 第1行 V325 6 第2行 √7 V83V10 V11V12 第3行 V13 14V154V17 18V19 V20 第4行 A.2023 B.2024 V20232-1 D V20232+1 2+1_4+1-5 85.观察式子 22 32+1V9+1V10 V32 33,…,由此得到的规律，请你用含n(n是大于等于1的正 整数)的式子表示出来一 86,将1，√2，√5,6按下列规律排列，若规定 m,n) 表示第排从左至右第n个数， 试卷第19页（共3页） 表示v6.那么，表示5.5和10,8 (4,2) 例如， 的数的积是() 1 第一排 3 第二排 6 1 令 第三排 6 1 2 第四排 B V C32 D VG 解答题 1.计算： a)v5x @V5xvio √14 (3)35: ④5+2w店 -唱。 oi2+58)xv5 2-6 (7)5； 5+252 (82+3八23 2.计算： 0+-5唱 试卷第20页（共3页） 223--(12+v8(v3-v2) 46-45+3w25 (5-(5+-h-2+8 3.观察下列等式： (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律： (2)证明你得到的结论. 4.化简求值 0尼知=3+hy=3-1,求+3w+ 的值； 简.用我a,很6，-y 少，其中x=9y= 4. 1 5.小明在解决问题：已知a=√2-1，求2a-4a+1的值.他是这样分析与解的： 2+1=2+1 a=2-(2-12+ :a-1=V2 :(a-1}=2 .a2-2a+1=2. .a2-2a=1, .2a2-4a+1=2(a2-2a+1=2×1+1=3 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 试卷第21页（共3页） 1 1 1 1)化简：3+15+5++ √99+√97 1 a= (2)若V5+2. ①求3a2+12a-5的值. 2直接写出代数式的值d+2-9a-1=-片3a+13a-+2026= m 6.对于新运算※和*规定如下： mxn=Vm:vn+7,m*n=mm-.(m≥20，n>0） (1)求2※4的值： ②求2*(5-的值 7.阅读与思考 如果两个正数a、b,即a>0、b>0,则有：(a-6≥00 (a-b-(a-2avb+(bj② =a+b-2\ab20@ :.a+b≥ab 2 当a=b时，(a-矿=0，当a≠6时，(a-b>0,即：当且仅当a=b时取到等 a+b 号.我们把2叫做正数ab的算术平均数，把√ab叫做正数ab的几何平均数，于 是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均 数.它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具.下面举一例子： 例：已知x>0,求函数y=x+4 的最小值. 4>0y=x+4≥2 4 =4 解：x>0,“x; 试卷第22页（共3页） 4 即：函数y=x+的最小值为4. 根据上面回答下列问题 (I)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为 3 2)已知x>0,则函数y=x+x的最小值为一， 此时x的值为一： ③)若x>3试求函数y=3 -3+x的最小值. 试卷第23页（共3页） 专题05二次根式知题通关讲义 知识点01:二次根式概念与有意义条件 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 必备条件：带二次根号、被开方数非负。 2. 根式取值情况（必考表格） 知识点02:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 重点区分（学生必考混淆点） 1.()2：先开方、再平方，结果直接等于a 2.：先平方、再开方，结果必须带绝对值 分类化简（大题必考） 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点06:化简二次根式一般方法 1. 二次根式有意义条件判断错误 提醒：中被开方数a0；被开方数小于零时，二次根式无意义。 2. 混淆()2与运算规则 提醒：()2=a，适用条件a0；=|a|，a可取全体实数，两式不能等同。 3. 二次根式未化简为最简二次根式 提醒：最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含可以开得尽方的因数或因式。 4. 二次根式乘除运算忽略取值范围 提醒：=，，成立前提a0，b>0。 5. 同类二次根式判定出错 提醒：判定同类二次根式，需先化为最简二次根式，再观察被开方数是否相同，不可直接依据原式判断。 6. 二次根式加减随意合并被开方数 提醒：只有同类二次根式才能够合并；被开方数不同，不可直接合并。 7. 分母有理化化简不彻底 提醒：计算结果分母不能含有二次根式，存在根号在分母时必须完成分母有理化。 8. 字母型二次根式化简遗漏绝对值 提醒：算术平方根运算结果是非负数，化简含有字母的式子，必要时添加绝对值保证结果非负。 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 ★ 题型二 求二次根式的值 ★ 题型三 求二次根式中的参数 ★★ 题型四 二次根式有意义的条件 ★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★★ 题型七 二次根式的乘法 ★★ 题型八 二次根式的除法 ★★ 题型九 二次根式的乘除混合运算 ★★ 题型十 最简二次根式的判断 ★ 题型十一 化为最简二次根式 ★★ 题型十二 已知最简二次根式求参数 ★★★ 题型十三 同类二次根式 ★★ 题型十四 二次根式的加减运算 ★★ 题型十五 二次根式的混合运算 ★★★ 题型十六 分母有理化 ★★ 题型十七 已知字母的值，化简求值 ★★ 题型十八 已知条件式，化简求值 ★★★ 题型十九 比较二次根式的大小 ★★ 题型二十 二次根式的应用 ★★★ 题型二十一 实数的混合运算 ★★ 题型二十二 新定义下的实数运算 ★★★★ 题型二十三 实数运算的实际应用 ★★★ 题型二十四 与实数运算相关的规律题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 二次根式的识别 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 2．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 3．下列各式中，一定是二次根式的是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、当m＜0时，它没有意义，故本选项错误； B、当m＜-2时，它没有意义，故本选项错误； C、被开方数m2+2≥2，符合二次根式的定义，故本选项正确； D、-20＜0，它没有意义，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 题型二 求二次根式的值 4．当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】将代入给定的二次根式，根据二次根式的运算规则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入， 得． 5．在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式． 【详解】解：是二次根式，符合题意， 是三次根式，不合题意， 是二次根式，符合题意， 不是二次根式，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 6．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 题型三 求二次根式中的参数 7．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】化简二次根式，再根据二次根式为整数的条件，结合完全平方数的性质，即可求出正整数a的最小值． 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 8．已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 题型四 二次根式有意义的条件 10．二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 11．若（）的值是有理数，那么的最小偶数值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题根据二次根式的性质，若为有理数，则必须是完全平方数，结合是偶数的要求，找出最小的即可． 【详解】解：是有理数，二次根式被开方数非负，且 是正的完全平方数，且要求为偶数 ，故首先排除奇数选项A、C 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是有理数，符合要求， 因此的最小偶数值是． 12．要使，实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别判断等式两边二次根式成立的条件，右边要求被开方数非负，验证该条件下等式成立，即可得到的取值范围． 【详解】解：等式左边，对任意实数都有意义． 要使原等式成立，需先使等式右边有意义． ∵ 二次根式的被开方数必须为非负数， ∴ ， 解得． 当时，左边，右边， 左边等于右边，原等式成立． 因此的取值范围是． 13．若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 题型五 利用二次根式的性质化简 14．___________． 【答案】5 【详解】解：． 15．______． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简原式，合并同类项得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数需满足，即， 当时，， ，， 原式 ． 16．计算：___________． 【答案】 【分析】先将原式中的两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 17．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 题型六 复合二次根式的化简 18．已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝___________． 【答案】-2018 【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题． 【详解】解：∵x＝， ∴4x2+4x-2020 =（2x+1）2-2021 =（2×+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（−1+1）2-2021 =3-2021 =-2018． 故答案为：-2018． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可． 19．若 是实数，化简的结果为（  ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂运算法则，绝对值意义，正确应用运算法则是解题关键．根据二次根式性质，二次根式加减运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 20．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 21．_______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 题型七 二次根式的乘法 22．计算的结果是_______________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法法则直接计算即可 【详解】解：． 23．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐个计算选项即可判断对错． 【详解】解：∵ 对选项A：， ∴ A错误； ∵ 对选项B：， ∴ B错误； ∵ 对选项C：， ∴ C错误； ∵ 对选项D：，选项D计算正确． 24．计算：______． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式化简，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键. 先化简，再按二次根式乘法法则计算即可. 【详解】解： ． 故答案为：6. 25．估计的值应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、无理数估算等知识点，掌握常见无理数的值是解题的关键． 先用二次根式的乘法运算法则可得，然后通过计算近似值的取值范围即可解答． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴ ，即估计的值应在1和2之间． 故选C． 题型八 二次根式的除法 26．计算的结果是_______． 【答案】 【详解】解： 27．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 28．计算：____________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 29．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型九 二次根式的乘除混合运算 30．计算：______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 31．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则． 根据二次根式的相关运算法则对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，，计算正确，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，符合题意，选项正确． 故选：． 32．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，原式先化简分子中的二次根式，再计算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 33．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 题型十 最简二次根式的判断 34．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是小数，故不是最简二次根式； B、满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式； C、 被开方数是分数，故不是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式． 35．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 36．根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得． 【详解】解：，则不是最简二次根式； ，则不是最简二次根式； 是立方根，则不是最简二次根式； 都是最简二次根式，共有3个； 故选：C． 题型十一 化为最简二次根式 37．化简：=________；________． 【答案】 【分析】化简二次根式时，先分解被开方数得到完全平方因数，带分数先化为假分数，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：∵ ， ∴ ； 先将带分数化为假分数，得， ∵ ， ∴ ． 38．若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解． 【详解】解：先化简， 得． ∵最简二次根式与可以合并， ∴二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等． 即． 解得． 39．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 40．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减运算法则、二次根式的乘法运算法则，逐项计算即可判断正误． 【详解】解：选项A：根据同类二次根式合并时，系数相加，被开方数不变，可得 ，故A错误，故不符合题意； 选项B：左边，右边，，故B错误，故不符合题意； 选项C：，故C错误，故不符合题意； 选项D：根据二次根式乘法法则：当，时，，可得，故D正确，故符合题意． 故选：D． 题型十二 已知最简二次根式求参数 41．若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 42．若最简二次根式与相等，则 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式与相等，可得关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出的值． 【详解】解：最简二次根式与相等， 可得：， 解得：， ． 故答案为： ． 43．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 题型十三 同类二次根式 44．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】 【分析】由两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∴的值是． 45．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和相同，即可得出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，被开方数为. 对各选项化简：A选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； C选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； D选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 46．最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式．根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：3． 47．下列各组中的两个式子，不属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】将各选项中的二次根化为最简二次根式后判断被 开方数是否相同即可得出结论． 【详解】解：A. ，，被开方数相同，都是2，属于同类二次根式，故选项A不符合题意； B. 与, ，被开方数相同，都是7，属于同类二次根式，故选项B不符合题意； C. ，，被开方数不相同，不属于同类二次根式，故选项C符合题意； D.,，被开方数相同，都是5，属于同类二次根式，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的判断，正确理解同类二次根式的概念是解答本题的关键． 题型十四 二次根式的加减运算 48．_______． 【答案】 【分析】先化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式， . 49．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知：． 50．计算：－＋＝___________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，分母有理化及负整数幂，先化简二次根式，计算负整数幂，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 51．设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可． 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 题型十五 二次根式的混合运算 52．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 53．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，A正确； 选项B：，B错误； 选项C：和不是同类项，不能合并，，C错误； 选项D：，D错误． 54．计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 55．化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，将原式平方后再开方即可得到答案． 【详解】解： ， 因为， 所以，， 故答案为：． 题型十六 分母有理化 56．计算的结果是______． 【答案】 【分析】利用分母有理化的方法去掉分母中的根号，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 57．已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 58．计算：______． 【答案】45 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 59．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先把分母因式分解再计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 题型十七 已知字母的值，化简求值 60．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式将原式变形为，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ． 61．若，．则代数式的值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据，求出，，再用因式分解法分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， ， ∴ ， 故选：B． 62．已知，且是偶数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式有意义的条件解答． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵是偶数， ∴， 当时，原式， 故答案为：． 63．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： = 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 题型十八 已知条件式，化简求值 64．已知，则x2+2x﹣3＝_____． 【答案】-1 【分析】把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4，直接代入即可求得结果． 【详解】∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴原式＝（1+1）2﹣4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4是解题的关键． 65．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 66．已知实数a，b，c满足，，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 67．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】先把二次根式进行化简，然后把xy＝4，代入计算，即可求出答案． 【详解】解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0， ∴x＜0，y＜0， ∴原式＝ ＝ ＝﹣2， ∵xy＝4， ∴原式＝﹣2＝﹣2×2＝﹣4； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． 题型十九 比较二次根式的大小 68．比较大小：__________ 7．（填“”、“”、“”） 【答案】 【分析】先求出两个数的平方，根据两个正数，平方大的这个数也比较大，进行比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 69．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 70．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 题型二十 二次根式的应用 71．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为2和6，那么阴影部分的面积为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长是解题的关键． 由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：长方形内两个相邻正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为和． 阴影部分的长与宽分别为、， 阴影部分的面积为 故选：B． 72．如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 73．七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么a的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设阴影小正方形的边长为，根据阴影部分面积为梯形的面积列方程即可求出x值，然后求边长即可． 【详解】解：设小正方形边长为，依题意可得， ， 解得：， ． 题型二十一 实数的混合运算 74．计算：__________． 【答案】 【分析】分别计算原式中乘法、开平方、乘方、零指数幂四项，再合并计算结果． 【详解】解：原式． 75．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项和平方根的计算，解题的关键是掌握各运算法则． 根据合并同类项法则，只有系数相加减，字母部分不变；平方根不能直接相加． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，符合合并同类项法则，故C正确； 选项D：，故D错误； 故选：C． 76．计算的结果为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 分别计算负指数幂、绝对值、立方根和零指数幂，再结合有理数运算法则进行加减运算． 【详解】解：原式=． ． 故答案为：． 77．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 题型二十二 新定义下的实数运算 78．对于实数a、b，定义新运算“*”：，若关于x的方程有实数根，且根为整数，则整数k的个数为（   ） A．2个 B．1个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据新运算定义和完全平方公式化简方程左边，再根据方程有实数根的条件确定整数k的个数． 【详解】解：∵由新定义运算可得， ∴， ∴原方程化为 ， ∵方程有实数根， ∴仅当时方程成立， 又∵为整数， ∴ 整数只有个，即符合条件的的个数为． 79．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则____________ 【答案】/ 【分析】根据新运算法则进行即可． 【详解】解：∵， ∴． 80．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 题型二十三 实数运算的实际应用 81．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 82．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 83．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 题型二十四 与实数运算相关的规律题 84．一个按某种规律排列的数阵如图所示，根据数阵排列的规律，第行从左向右数第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律题，二次根式的性质化简，根据题意，分析第1行的第2个数，第2行的第3个数，第3行的第4个数，第4行的第5个数，从而找出规律第n行的第个数是，由此即可求解，掌握数字规律中特点数的计算方法，二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：第1行的第2个数是； 第2行的第3个数是； 第3行的第4个数是； 第4行的第5个数是 ...... ∴第行的第个数是， ∴第2023行从左向右数第2024个数是， 故选：D ． 85．观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【答案】 【分析】根据前几个等式的变化规律可得结论． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 86．将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求积即可． 【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个循环，表示第排第5个数， ∵前4排共有个数， ∴为第个数， ， ∴表示的数是； ∵表示第10排第8个数即第53个数， ， ∴表示的数为， ∴表示和的数的积是； 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 【答案】(1)（为大于的整数）． (2)证明： ∵ 为大于的整数 ∴ 左边 右边 ∴ 左边右边，等式成立． 【分析】（1）观察等号左边整数、根号内分子相同，分母是整数平方减 1；右边是带分数，整数、分子和左边一致，分母不变． （2）利用公式，把根号外的放进根号里，化简后和右边带分数化成假分数的结果对比． 【详解】（1）观察： ，分母， ，分母， ，分母， 所以当，为整数， （2）证明过程：略 4．化简求值． (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) 化简结果为，值为 【分析】 （1）将所求代数式变形，先根据已知条件计算出和的值，再整体代入计算即可； （2）根据二次根式的性质化简原式，再将的值代入化简后的式子计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由二次根式有意义的条件可得，， ∴原式 ， 将，代入得：原式． 5．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 【答案】(1) (2)①；，2025 【分析】（1）先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可； （2）①由题意易得，则，然后可得，进而代入求解即可； ②由①及根据整体思想可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①； ② ； ． 6．对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：由定义，得： （2）解：由定义，得： ． 7．阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)， (3) 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【详解】（1）解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； （3）解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $