四川省南充高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

南充高中高2024级高三第一次月考 数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分命、审题人：李长平周宜波) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设集合M={1,2,4,8},N={xk是2的倍数}，则M∩N等于() A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8) D.{1,2,8} 2.已知a∈R,若(1-ai)3十2i)为纯虚数，则a的值为( 3 C.-2 D.2 3 ”3 3.已知平面向量a-(m,l),b=(8,m-2),则“m=4”是“a/1”的() A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 4.若0<x<3,则x(4-x)的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 5.若命题x∈R,都有mx2+4x-1≠0”为假命题，则实数m的取值范围为( A.-4<m<0 B.m>0 C.m2-4 D.-4≤m≤0 (a-2)x,x2 6.已知函数f(x)= 满足邓在意的斯，氏≠)都有任)(<0成立，则e的取 x1-2 值范围为( 13 A.(-0,-2) C.（-o,2] 0.3 7.己知a=log3,b=l1og5,c=3 ,则a,b,c的大小顺序为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>c>a 8.已知函数y=f(x)是定义在R上的函数，且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，对于任意的 x,总有f(x-2)=f(x+2)成立，当x∈(0,2)时，f(x)=x2-2x+1.函数g(x)=mx2+x(x∈R), 对任意x∈R,存在t∈R,使得∫(x)>g()成立，则满足条件的实数m构成的集合为 D.m 高2024级数学试题第1页共4页 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，.有选错的得0 分 9.、已知a,b,c∈R,且c≠0，则下列命题中是真命题的是() A如果g>6,那么号>号 B.如果ac<bc,那么a<b C如果a>0,那么}分 D.如果c>a>b>0,那么a>b c-a c-b 10.下列说法，正确的有（) A.已知是一次函数，若f》=4x十8，则)的解析式为f=2x+8或=一2x一8 B函数y=1og1(x2-5x+4)的值域是(0，+∞) C.已知函数f(x+2)的定义域为(-3,5)，则函数f(2x-1)的定义域为(0,4) D.函数y=l0g2(x2-3x十2)的单调递减区间是（一o,) 1.设函数f()=x血x-ax-b,x∈[l,6],则( A若a0=0,则代幻的值球为0号9 B,若函数f因存在极小值点，则1<a< C.若对任意实数1<a<号，都有f(20,则实数b的取值范图为( 2+ve D.若函数f(x)存在零点，且满足0≤a-2b≤2，则实数a的取值范围为 0. 2e+1. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知不等式-x2+bx+c>0的解集为(3,4)，则不等式cx2+bx-1<0的解集为 13.已知{an}为等差数列，4+a3+a5=15,a2+a4+a6=9,则a1o= 14.已知a,beR,若对于任意的x>0,不等式(e-a(x2+bx-1)x-a)20恒成立，则3a+b的最 小值为 高2024级数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5.小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知△4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,6,6,且a=2,c0s8=号 (1)若b=4,求sinA的值； (2)若△ABC的面积SA4Bc=4,求b,c的值. 16.（15分)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下 列表： 新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计 男性 100 20 x 女性 50 30 80 总计 y 50 200 (1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (②)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机 抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为X,求：X的数学期望与方差， 附：x2= n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)o+dat b cd. P(x2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 高2024级数学试题第3页共4页 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等边三角形，AD⊥AB, AD∥BC,AD=4,AB=BC=2,点M为线段RA的中点. (I)证明：DM⊥平面PAB; (2)求直线PB与平面MCD所成角的正切值. D B 18.(1分)已知椭圆C:衫+芳-1的左右焦点分别为、鸟，点4《60在精鼠上，且丽丽=3 点P,旦是椭圆上关于坐标原点O对称的两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N,直线ON交椭圆于点M(不同于Q点)，证明：MP⊥PQ; (3)已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR,问： PR是否为定值？若为定值， 求出该定值；若不为定值，请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=axe*-emx2+b(meR),曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方 程为y=2x+1. (1)求实数a,b; (2)当m=n2时，证明f(x)在R上有唯一零点， (3)对Vx∈[-1，+oo),f(x)+e2x≤e2x-m恒成立，求m的取值范围. 高2024级数学试题第4页共4页南充高中高2024级高三第一次月考数学试题答案 一、选择题 序号1 9 10 11 答案C D B AD ACD ABD 三、填空题 2( 13.-9 14.2√2 四、解答题 15.【详解】解( ):cos8=30,且0<B<,∴9inB=V-c0sB=4由正弦定理得a=b 5 sin A sin B sin A=asin B 2x4 b 52 45 )cain4. 由余弦定翠得b2=a2+c2-2ac0sB=2+52-2X2X5X2-17,b=V7. 13 5 16.【详解】(1)x=100+20=120,y=100+50=150: 零假设为H。:选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得2=200100x30-50x20 11.111>7.879, 150x50×120×80 根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断H,不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005；7 (2)随机抽取1人购买B款车的概率为：p 501 20041 X的可能取值有0,1,2,3,4， 依题意X~B4,4 n=4, 因此，E(X)=9=1,D(X)=p1-p)-月 ...15 17.解析(I)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,ABc平面ABCD且AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD.又DM∈平面PAD,所以DM⊥AB, 因为△PAD为等边三角形，且M为PA的中点，所以DM⊥PA, 因为ABOPA=A,且AB,PAc平面PAB,DM⊥AB,DM⊥PA, 所以DM⊥平面PAB.6 (2)取AD的中点O,连接PO,CO,由等边三角形性质知PO⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,由面面垂直性质可得PO⊥平面ABCD.因为 40=)D三2=BC且A0lBC,所以四边形BC0为平行四边形，得OCAB,即OC L AD一 以0为 原点，分别以OC,OD,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图：则各点坐标为：P(0,0,2), B(2,-2,0),C(2,0,0),D(02,0),(0,-2,0）,因为M为PA的中点，所以M(0,-1,5), PB=(2,-2,-23),DC=(2,-2,0),DM=(0,-3,√3). 设平面MCD的法向量为i=(x,y,z),由 iD成=0-3y+5z=0,z=5y,取y=1,则x=1,2=3. c-0,得2x-2y=0·x=y 所以平面MCD的法向量=-(1同，设直线PB与平面MCD所成角为0，且9[0引 则sin0=cos(PB,m= PB.n 2x1+(-2)x1+(-25k5 -6_3 P丽同2+-2+(-23×2+12+(67 25x5=5 即s-}，且9e0,引 由同角三角函数关系式得09-如9=等如9-他8} 3 因此直线PB与平面MCD所成角的正切值为子l5 18.【详解】(1)设椭圆C的半焦距为c,.由点A6,0)在椭圆上，可得a=√6，E(-c,0),F(c,0), A瓜=(-c-V6,0,A=(c-6,0)由A·A=（-c-W6c-6)=6-c2=3,可得c=3, 所以62=a2-c2=6-3=3,所以椭圆C的标准方程为士+上=1 63 4 (2)设P(x,%),(-x,-o)，M(,y)， 所以ke地=名弘当+- 3支2 x1-x0石+0x2-龙22 2 如如2-分6如 x2-2 2 所以kok细=keX7kg=-2,可得eke=-l,所以么Pe=5,故MPLP巴n9 1 1 (3)当直线PR的斜率不存在时，由题意可得：直线PR的方程为x=√2或x=-√2， 当直线PR的方程为x=√2时，P的方程为y=x, 可得P(N2,2),(反，-2)，R2,2),则PR=22,l№R=22, PR=1, 所5贸-1，其他情况由对称生，同理可得贸- 当直线PR的斜率存在时，设直线PR的方程为：y=c+m, 因为直线PR与圆x2+y2=2相切，所以圆心O到直线PR的距离d=√2， 即4=m=反，可得m=2+),设P(,⅓)，R(,为)可得(-，）， V1+k2 y=kxc+m 由2，-可2442m6-0,所议+平资5=3 61 3 所以P风=i+Fk-+F6+,-=22+R+4护 1+2k2 2m +y2=k(x+x2)+2m=k -4kcm 1+2k2 +2m= 1+2k2, 2 -4km 2m )2 №R=V(x+x)+(y+2) 2√2V1+2.V1+4k2 1+2k2 1+2k2 1+2k2 所以PR=№R,综上所述： PRI OR =1为定值 .17 9(1)解：因为曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=2x+1, 所以f(0)=b=1,f'(x)=a(x+1)e-2e"x,f'(0)=a=2, 则a=2,b=1. (3分) ()证明：由1)知f(x)=2xe-emx2+1（meR), 为了表示方便，设f"(x)为f(x)的2阶导函数，f"(x)为f(x)的.3阶导函数， 当m=n2,，f(x)=2xex-2x2+1, f'x)=2(x+1)e-4x,f"(x)=2(x+2)e-4,f"(x)=2(x+3)e 故知当x∈(-o,-3)时，f"(x)<0,"(x)单调递减，且此时f"(x)<0; 当x∈(-3，+o)时，f"(x)>0,f"(x)单调递增，注意到f"(0)=0, 故知当x∈(-o,0)时，f"(x)<0,f'(x)单调递减； 当x∈(0，+o)时，f”(x)>0,f'(x)单调递增， 故f'(x)血=f(O)=2,故f(x)>0恒成立，即f(x)在R上单调递增， f-)=-2-1<0,f0=1>0,故知此∈-1,0)，使得f(伍)=0， 综上，f(x)在R上有唯一零点x=X,… (9分) (3)解：由题意知f(0)+1≤em,即2≤em,解得m≤-n2, 即m≤.-n2为题中不等式恒成立的必要条件.下证明m≤-ln2亦为充分条件： 当m≤-n2时，欲证2xex-emx2+1+e2x≤e2x-m, 即证2e 令1=c,+o).设g0=ef-(e+2e+小t+2,te+m）),即证g020 e2x +2xe*+1 2xe"+1 1 则对于二次函数y=g(),其对称轴为t= 2e2x 2e2r2 令h(x)= 2xe*+1,1 2e2x ，x∈[-1，too), 2 2(x+10e*.2e2x-4e2r(2xe*+1e-xe-1 则h(x)= 4e4x m(x)=e*-xe*-1,xE[-1,+00),m'(x)=e*-(x+1)e*=-xe", 故知m(x)在(-l,0)上单调递增，在(0，+oo)上单调递减，故m(x)mx=m(O)=0, 故m(x)≤0，即'(x)≤0，故知h(x)在[-1，+oo)上单调递减， 故m=-0=-2e+1+=C,2+<2. 282+22+21 即对于=次函数y=g0,其对称箱1=2xc+1+<2,又心2>0， 2e2x2 故二次函数y=g()在t∈[2，+oo)上单调递增， 故g(02g(2)=4e2x-2(e2+2xe+1+x2=2e2x-4xe*-2+x2 令u(x)=2e2x-4xe2-2+x2，x∈[-1，+oo), 则u(x)=4e2x-4(x+1)e*+2x,w"(x)=8e2x-4(x+2)e+2. 设p(x)=e-x-1,x∈[-1，+o),则p'(x)=e-1,令p()=e-1=0,解得x=0, 当x∈[-1,0)时，p(x)<0,此时(x)单调递减， 当x∈(0，+o)时，p(x)>0，此时(x)单调递增， 则p()m=p(0)=0,即e*-x-120,则e*≥x+1, 故u(x)=8e2x-4(x+2)e+2=8e*.e-4(x+2)e+2≥8(x+1)e*-4(x+2)e+2=4xe*+2, 对于wM)=4e+2,wW()=4x+1e,故知wM闭m=w(-1)=-4+2>0, e 故u"(x)>0,即(x)在[-1，+o)上单调递增，注意到u(0)=0, 故知当x∈[-L,0)时，w(x)<0,即u(x)单调递减； 当xe(0,+oo)时，W(x)>0,即4(x)单调递增，故u(x)mn=u(0)=0,故知g()≥0，得证. 即当m≤-l血2时，Vx∈[-l,+o),f(x)+e2“≤e2xm恒成立，故m≤-血2亦为充分条件. 综上，m的取值范围为(-o,-ln2].… …(17分)