精品解析：四川省仁寿县铧强中学2026-2027学年高三上学期第二次诊断性考试数学试卷

铧强中学2024级高三（上）第二次诊断性考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合或，即可利用集合的补集以及交集定义求解. 【详解】由可得或， 故， 故， 故选：C. 2. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性验证：当时，可得，充分性成立， 必要性验证：当时，取，，此时，但，因此必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 3. 已知，则（     ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由， ， ，， 所以满足. 4. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A. B. 1 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为1. 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，进而结合余弦型函数的对称性易知在上单调，进而求出周期，即可求解. 【详解】因为恒成立，可知， 又点在上，可知， 而在区间上单调，由余弦型函数的对称性易知在上单调， 则，即. 7. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边求导得，再根据为奇函数得，由对称性得出是周期为2的周期函数，即可求解． 【详解】由两边求导得，，即， 因为为奇函数， 所以，即， 所以关于中心对称， 所以，变形得，且， 由，得，变形得， 所以，则， 所以是周期为2的周期函数，则， 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用赋值法得到；B选项，验证，即可证明不是等差数列；C选项，，然后利用赋值法并项求和即可；D选项，，利用转化为等差数列求和即可. 【详解】A选项，令，则， 令，则，于是解得，A正确. B选项，令，则，解得， 因为，所以不是等差数列，B错误. C选项， ，C正确. D选项， ，D正确. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由已知条件求，并结合的符号确定所在区间，从而确定 的值，再利用求，并用二倍角公式求，最后利用同角关系和两角差公式求，逐一判断选项． 【详解】由，得， 已知，且，所以， 又已知，所以， 假设，则，故， 此时 ， 所以，与矛盾，故不在第三象限，所以， 所以，所以A错误； 由，得， 所以，所以B正确； ，所以C错误； 因为，且，所以， 所以，所以D正确． 11. 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 当时， C. 过点仅可以作两条直线与的图象相切 D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导函数判断单调性，根据单调性以及判断AD；B根据在上的单调性判断；设切点为，求出切线方程，将点代入，构造函数，研究其零点个数即可判断C. 【详解】对于A，， 则当或时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，所以有两个零点，故A正确； 对于D，因为在区间上有最大值，所以， 得，故D正确； 对于B，因为在上单调递增且当时，， 所以，故B错误； 对于C，设切点为， 故切线方程为， 将代入整理得(*)， 令，则， 则当或时，单调递增； 当时，单调递减； 则，故有两个零点，即方程(*)有两根， 故过点仅可以作两条直线与的图象相切，即C正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是偶函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数满足建立恒等式，求出参数，化简函数表达式后代入自变量求值. 【详解】因是偶函数，则， 即，也即， 整理得，因为，所以， 又，所以，所以， 则． 13. 函数的定义域为_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，，解得， 所以所求函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知函数，设，若，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得a与b的关系，则，令，化简为二次函数，再利用二次函数的性质求出值域即可. 【详解】因为函数f(x)在区间，上都是单调递增函数， 若，，，满足， 必有，则，得， 所以，，令， 令，在上递增，，， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． （1）试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； （2）利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 【答案】（1）与具有较强的线性相关性. （2），5.6（千人） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据结合样本相关系数的计算公式，即可求得答案； （2）利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程，将代入经验回归方程即可得答案. 【小问1详解】 由， ， 所以（或）， 所以与具有较强的线性相关性． 【小问2详解】 ，， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6（千人）． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】（1）证明如下： 数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即， 变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可； （2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得， 所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值， 且． 17. 函数. （1）当时，求函数极值和极值点； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. （2）. 【解析】 【分析】(1)，代入已知条件，对函数求导分析单调性；(2)，发现特殊点，再分析函数单调性求解. 【小问1详解】 先求导：，代入：，由于恒成立，所以的符号由决定。 令， 单调递减； 单调递增。 所以是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. 【小问2详解】 ，则函数单调性由决定， 当时，，要使在上恒成立， 则函数在一小段范围内单增，即，而为单调函数， ， 当时存在，当时，，函数单调递减，，不满足不等式， 综上. 18. 已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）三角恒等变换降幂，利用对称轴间距求周期，算出； （2）正弦函数增区间整体代换，再和定义域取交集； （3）任意性恒成立转化：，分别求其最值，解不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 相邻对称轴距离，， 即. 【小问2详解】 解不等式， 可得， 或，与求交集： 递增区间为，. 【小问3详解】 对于任意的，，都有， 等价于， ，，， 不等式转化为， ， 令，， ，开口向下，对称轴， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 综上，. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【小问1详解】 由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； 【小问2详解】 由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． 【小问3详解】 令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铧强中学2024级高三（上）第二次诊断性考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（     ）． A. B. C. D. 4. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A. B. 1 C. 4 D. 2 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 当时， C. 过点仅可以作两条直线与的图象相切 D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是偶函数，则__________． 13. 函数的定义域为_____________________. 14. 已知函数，设，若，则的取值范围是____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． （1）试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； （2）利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 17. 函数. （1）当时，求函数极值和极值点； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $