精品解析：湖南永州市第一中学2026-2027学年高二上学期九月核心素养测试数学试题

2026年高二年级九月核心素养测试数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 4. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 6. 设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，连接，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面平面 C. 二面角的余弦值为 D. BC与平面所成角的余弦值为 8. 已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在切点使得为直角 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 面积的取值范围是 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（ ） A. 曲线C围成的图形的面积是 B. 曲线C围成的图形的周长是 C. 曲线C上的任意两点间的距离不超过2 D. 若是曲线C上任意一点，则的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与平行，则______． 13. 将直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线的斜率为__________． 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数的部分图象如图所示．图中最高点坐标为，与最高点相邻的一个对称中心坐标为． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值． 16. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角； （2）若的中线，求面积的最大值． 17. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． （1）请用表示； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. （1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （2）已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二年级九月核心素养测试数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 2. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 3. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 4. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用点关于直线的对称点在入射光线上，再由、两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线的方程． 【详解】解：点关于直线的对称点为 则，解得，所以M(3,3) 可得直线PM方程为：. 故选：A． 5. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 6. 设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数范围即可. 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为. 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则， 所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则， 所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得. 7. 如图，菱形ABCD边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，连接，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面平面 C. 二面角的余弦值为 D. BC与平面所成角的余弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行判断性质推理判断A；根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD. 【详解】对于A，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，故A正确； 对于B，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，故B正确； 对于D，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，故D错误； 对于C，由选项D知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则， 由图形知二面角为锐角，其余弦值为，故C正确. 故选：D 8. 已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长. 【详解】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的概念及运算即可判断. 【详解】对于A，z的虚部为，故A错误； 对于B，z的共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在切点使得为直角 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 面积的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D. 【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径， 显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误； 同理C选项的数量积也取不到，所以C错误； 对于B,设， 因为，，， 则的方程为：，因为 化简可得：， 同理的方程为：， 而在切线，上，所以 ，， 因为在直线 故直线的方程为，令，， 即过定点，故B正确； 对于D，圆心到直线的距离平方为， 线段一半的平方为：， 点到直线的距离的平方为：， 所以面积的平方为： ①，因为， 所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值， 所以面积平方的最大值， 故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（ ） A. 曲线C围成的图形的面积是 B. 曲线C围成的图形的周长是 C. 曲线C上的任意两点间的距离不超过2 D. 若是曲线C上任意一点，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断. 【详解】对于曲线上任一点，则， 点关于轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于轴对称； 点关于轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于轴对称； 点关于原点对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于原点对称； 综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称. 对于方程， 令，则，解得或，即曲线C与轴的交点坐标为， 同理可得：曲线C与轴的交点坐标为， 当时，则，整理得，且， 故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径的半圆， 由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点， 对A：曲线C围成的图形的面积，A正确； 对B：曲线C围成的图形的周长是，B正确； 对C：联立方程，解得或， 即曲线C与直线在第一象限内的交点坐标为，由对称可知曲线C与直线在第三象限内的交点坐标为， 则，C错误； 对D：由图结合对称性可知：当在第一象限时，点到直线的距离相对较小， ∵到直线的距离， 则点到直线的距离， ∴ 故的最小值是，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： （1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性； （2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与平行，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 13. 将直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，易得直线的斜率为，设所得直线的倾斜角为，则直线的斜率由求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 设该直线绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 则直线的斜率是， 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数的部分图象如图所示．图中最高点坐标为，与最高点相邻的一个对称中心坐标为． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象，结合正弦函数的图象性质，即可求解； （2）由解析式，结合函数平移伸缩的变换规律，可得，再结合余弦函数的图象性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数最高点坐标为，与最高点相邻的一个对称中心坐标为， 所以可得，解得，，，， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得， 将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得， 当时，，所以，即， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角； （2）若的中线，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可求解； （2）将两边平方，结合基本不等式和面积公式可解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 在中， 所以， 整理得， 所以， 因为，, 所以，． 【小问2详解】 因为的中线，， 因为， 所以， 即，可得，当且仅当时取等号， 所以的面积， 所以面积的最大值为． 17. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】（1） 定点的坐标为； （2） 弦中点的轨迹方程为； （3） 弦长度的最小值为，对应的。 【解析】 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【小问1详解】  对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. 【小问2详解】 设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ，  展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． （1）请用表示； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理线性表示出向量即可； （2）利用面面垂直的性质定理，余弦定理以及线面角的定义结合已知条件求解即可； （3）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标和求出相应向量坐标，利用点共面的性质、锥体体积公式以及基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由题意，连接，如图所示， 由为的中点，为的三等分点（靠近点）， 则 . 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 过点作，垂足为，如图所示， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，面，面，则平面， 因为平面，所以， 过作，垂足为，由平面， 所以，所以平面，则为直线与平面所成角， 由题意可知， 根据余弦定理得：， 所以，, 设直线与平面所成角为， 在直角三角形中有： 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线分别为轴， 在平面内，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数，使得， 即，解得， 而，故，解得， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 所以， 当且仅当时等号成立. 19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. （1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （2）已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【小问1详解】 设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； 【小问2详解】 设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； 【小问3详解】 由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $