2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试常考题型学情自测卷培优卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试常考题型学情自测卷培优卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．如图所示，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横线交于点，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 7．如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一组对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 9．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则___________． 13．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为__________． 14．将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______． 15．已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数．______． 16．如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则______． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程． (1)； (2)． 18．平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． (2)连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． (3)请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 19．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 21．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 22．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 23．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n且，满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，求c的最大值． 24．如图，已知、是正方形的对角线，点E、F分别是、上的点，且，、分别与BD交于点H、G．连接、． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 参考答案 1．C 【详解】解：俯视图是从物体的上面向下面观察所得到的视图，观察时需关注，能看到底面的轮廓，同时要区分可见和不可见的棱， ∵观察题中几何体，从上方看，底面是一个四边形， ∴从上方俯视时，能看到底面的四边形形状，同时中间会有一条棱， 故：C选项符合． 2．C 【详解】解：根据题意，把代入 得： 解得： 故选C 3．C 【详解】解：， 移项，得：， 直接开平方，得：， 即方程的解为：，， 故选：C． 4．C 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 5．B 【详解】解：过点作横线的垂线，交点所在横线于点，交点所在横线于点，如图所示， 则， ， ，即， ， 故选：B． 6．B 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 7．C 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8．A 【详解】解：A、有一组对角相等的平行四边形不一定是矩形， ∴此选项填写错误，故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴此选项填写正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴此选项填写正确，故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形， ∴此选项填写正确，故D不符合题意． 故选：A． 9．D 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 10．A 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即. 故选：A． 11．且 12． 13． 14． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， 如图，作于，于，由等宽可得， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 15．/55度 【详解】解：如图，过作交于， 四边形为正方形， ，且， 在和中 ， ， 又， ， ． 故答案为：． 16． 【详解】解：设，则， ， ， 由折叠的性质得 过点作于点， 是等腰直角三角形 设 ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 17．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， 则 ， ． 18．(1) 如图，为所作； (2)如图，为所作； （3）解：作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则，解得：， 19．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 21．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 22．【详解】（1）解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等， ∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形， 故答案为：①③ (2)如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． (3)证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 得出结论． 23．【详解】（1）解：，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， ∴是方程的根， ，且， ， ∴是方程的根， 又 ∵，即， ∴和是方程的两个不相等的实数根， ， ． （3）解：， ， ， 又， ， ∴是方程的实数根， 即方程有实数根， ∴判别式， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ∴的最大值为2． 24．(1)证明：∵、是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵、是正方形的对角线， ∴和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $