精品解析：云南省德宏傣族景颇族自治州2026-2027学年高三上学期开学定位监测数学试卷

2027届高三年级开学定位监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则，将分母实数化，然后进行化简计算. 【详解】由题意可得：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，从而. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得其数量积为零，从而可求出的值 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：C 4. 已知双曲线经过点，那么该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 代入点人坐标求出参数，然后可得渐近线方程． 【详解】由题意，，又，∴渐近线方程为． 故选：D. 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题时可先由点的坐标代入后求出参数，再根据双曲线的渐近线的定义写出方程． 5. 正四棱台的上､下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合正棱台的结构特征求高，再根据台体体积公式计算即可. 【详解】正四棱台的上，下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5， 则上底面积，下底面积， 棱台的高， 所以. 故选：B. 6. 形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲．共有多少种分法（ ） A. 6 B. 15 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】分甲得2个和甲得1个磁力片两种情况分类求解，再由分类加法计数原理得解. 【详解】若甲分得两个磁力片，共有种分法， 若甲只分得一个磁力片，共有种分法， 由分类加法计数原理，可得共有种分法. 故选：D 7. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的最小正周期为，， ， 又， ， 则 ， ， 的最大值为． 8. 已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称性、奇偶性与周期性，结合函数的图象分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且满足， 所以函数的对称轴为：， 又是奇函数，则，所以函数关于点中心对称， 由函数关于直线对称，所以， 所以， 又， 所以函数的周期为，且当时，， 根据对称性和周期性可得函数的图象， 由题意知函数的零点个数等价于函数与函数图象交点个数， 由定义域为，且， 所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数， 且，如图所示： 由图可知函数与函数图象有个交点，故函数有个零点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【详解】， 所以公差， 所以， 从而，故A和D正确； ，所以，为等差数列，故B正确，C错误. 10. 已知圆，则（ ） A. 与圆一定相交 B. 圆与圆的公共弦的方程为 C. 若，，则在上存在两个点使得 D. 过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆心为，半径为，选项A，求出直线恒过定点，得到，则与圆相交；选项B，圆和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程；选项C，设，由，得到的轨迹是圆，求出两个圆心间的距离，从而得到答案；选项D，切线长，要使切线长的最小值，需要最小，由的最小值为到的距离，从而得到切线长的最小值. 【详解】的圆心为，半径为， 选项A，，整理得到， 则，解得，故直线恒过定点， ，与圆相交，故选项A正确； 选项B，圆整理得到， 和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程， 即公共弦的方程为，故选项B正确； 选项C，设，，，， 在以为圆心，半径为的圆上，两个圆心间的距离为， ，两圆相切，上存在一个点使得，故选项C不正确； 选项D，如图，切线长，要使切线长的最小值，需要最小， 的最小值为到的距离， 切线长的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线：，斜率为（）的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点、均在上，则下列结论正确的有（ ） A. 的准线方程为 B. 若与没有公共点，则 C. 若，则面积的最小值为 D. 若与恰有一个公共点，则该公共点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合判别式、点到直线距离公式、二次函数最值等知识点逐项分析每个选项即可. 【详解】对于A，抛物线为开口向右的标准抛物线，满足，即，准线方程为，故A正确. 对于B，斜率为且过点的直线方程为， 与抛物线方程联立得，消去整理得. ∵ 与没有公共点， ∴ 判别式，结合解得，故B错误. 对于C，若，则直线的方程为. 设点的坐标为，则点到直线的距离. ∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 等边三角形的边长，面积，代入的最小值得，故C正确. 对于D，若与恰有一个公共点，则判别式，结合得， 代入联立方程得，解得， 代入直线方程得，即公共点坐标为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 【答案】62 【解析】 【详解】∵ 等比数列公比， ∴ ，解得. ∵ ， ∴ . ∴ . 13. 已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式计算出球的半径，由正弦定理求出的外接圆半径，从而得到球心到平面的距离. 【详解】设球的半径为，则，解得：， 设的外接圆半径为，在中，由正弦定理得：， 故， 则球心到平面的距离为. 故答案为： 14. 定义在上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意，都有，同时，则不等式的解集为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由分析得到函数的单调性，由，同时，得到，原不等式转化为，进而结合单调性转化求解. 【详解】不妨设<，由恒成立，得恒成立，可知函数在上单调递增， ，同时，可知, ∴不等式即为，等价于，解得， ∴所求不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将已知关系式边化角，结合两角和的正弦定理化简求解； （2）由面积公式结合第（1）问结果求出，再由及余弦定理求出，进而求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又，所以，又， 故. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理，得，所以， 所以，故. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. （1）求的值； （2）求这组数据的第75百分位数； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 【答案】（1） （2）85 （3）1.2 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得， （2）根据上百分位数的定义分析求解； （3）根据题意分析可得，根据二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 由题知：，解得； 【小问2详解】 设x为样本数据第75百分位数， 由于数据位于的频率为， 而位于的频率为， 由于，故第75百分位数位于， 则：，解得， 故这组样本数据的第75百分位数为85． 【小问3详解】 设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知：． 随机变量， 随机变量X的期望. 17. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】（1）因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即. 18. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆C的方程； （2）如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）（ii）是定值 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可得，再由离心率可得，即可得到其标准方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，表示出四边形的面积，结合韦达定理代入即可得到结果； （ⅱ）由、的斜率之和为0，分别联立直线，直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设椭圆C的方程为（）， 因为抛物线的焦点为， 所以， 又由及，得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知：， 设直线的方程为， 联立，得 由，解得， 设，， 由根与系数的关系，得，. 所以四边形的面积为 ， 当时，四边形取得最大面积，即. （ⅱ）当，则、的斜率之和为0， 设直线的斜率为k，则的斜率为， 直线的方程为， 由，得， ， 同理直线的方程为， 可得， 所以，， ， 所以的斜率为定值. 19. 已知定义在上的函数. （1）当时，求的极值； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）由（1）知，取，则有 即， 令，则 故 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，转化为导函数大于等于零恒成立，然后结合（1）中的结论代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由（1）中结论得到三角放缩，再对二次分式裂项，累加相消，即可证明. 【小问1详解】 当时，， 对求导，得， 令， 又且不恒等于0，所以单调递增，且. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 对求导，得 由题意知在区间上恒成立，则必有，即. 当时，由（1）知，， 则符合题意， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级开学定位监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线经过点，那么该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台的上､下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲．共有多少种分法（ ） A. 6 B. 15 C. 9 D. 12 7. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 8. 已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是递增数列 10. 已知圆，则（ ） A. 与圆一定相交 B. 圆与圆的公共弦的方程为 C. 若，，则在上存在两个点使得 D. 过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 11. 已知抛物线：，斜率为（）的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点、均在上，则下列结论正确的有（ ） A. 的准线方程为 B. 若与没有公共点，则 C. 若，则面积的最小值为 D. 若与恰有一个公共点，则该公共点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 13. 已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为__________． 14. 定义在上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意，都有，同时，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的值. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. （1）求的值； （2）求这组数据的第75百分位数； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 17. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 18. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆C的方程； （2）如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 19. 已知定义在上的函数. （1）当时，求的极值； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $