云南德宏州2025-2026学年高三上学期开学定位监测数学试卷

**基本信息** 德宏州2026届高三开学定位监测数学试卷，以基础巩固与能力梯度设计为核心，通过集合、函数、几何等模块考查，适配高三起点评估，体现数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、复数坐标、充要条件判断等|基础题（如集合、复数）与能力题（函数奇偶性综合）结合，考查数学眼光| |填空题|3题/15分|三角求值、数据统计（平均数方差）、导数应用|第13题融合两组数据统计，体现数学语言表达现实问题| |解答题|5题/77分|导数切线证明、统计频率分布直方图、立体几何外接球、数列递推证明、解析几何外切三角形|16题结合科技节竞赛情境，19题设计外切三角形探究，突出数学思维与创新应用，契合高考命题趋势|

德宏州2026届高三年级开学定位监测 数学参考答案及评分建议 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A D C D C 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 序号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 4 ; 5 14． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（本小题13分） （1）由题，，所以切线斜率为. 因为切点为，所以切线方程为，即. ………………………………………………（5分） （2）证明：令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，≥0，即当时，≥. ………………………………………………（13分） 16．（本小题15分） （1）根据题意有：，解得：. ………………………………………………（3分） （2）若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为： . ………………………………………………（7分） （3）根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人 所以随机变量的可取值为0，1，2，3 ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . ………………………………………………（15分） 17．（本小题15分） 解：（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； ………………………………………………（4分） （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； ………………………………………………（8分） （3）构建如上图所示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，设所成角为， 则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. ………………………………………………（15分） 18．（本小题17分） 解：（1）因为，， 所以当时，， 又，所以，同理； ………………………………………………（4分） （2）因为，， 所以  ①， 所以当时，  ②， 由①-②，得， 因为，所以， 所以（），又满足（）， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列； ………………………………………………（10分） （3）由（2）知，所以， ①当时，，原不等式成立， ②时，，所以原不等式成立， ③当时，因为， 所以， 所以 ， 当时，所以原不等式成立， 综上，对一切正整数n，有. ………………………………………………（17分） 19．（本小题17分） 解：（1）由题可得，则， 故点处的切线方程为，即． ………………………………………………（4分） （2）①设， 则由（1）可知直线为，直线为， 由A在上，同时A在上，可知， 则直线的方程为，故， 而直线是抛物线在点处的切线，则， 而，，即， 则直线为点横坐标为， 在上，，则， ，， 即三点的纵坐标成等差数列． ………………………………………………（10分） ②由①可知三点的纵坐标成等差数列， 则，得到，即， 又，则，， 可得，且相似比为， 故，同理可得， 如图，连接，由已知得，又， 则与在底边与底边对应的高相同， 又，则， 则， 得到. 即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的， 同理每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的， 可得， 因,则,则,故. ………………………………………………（17分） 数学参考答案及评分建议·第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州2026届高三年级开学定位监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：     1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，≤≤，则（ ） A．≤ B．≤≤ C． D．≤ 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量,．则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，常数项为（ ） A． B． C． D． 7．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 8．过直线：上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，若的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A．≥ B．当时，的最小值是 C．若，则的最小值为 D．设，，且，则的最小值是 10．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C． D．在上单调递增 11．如图，正方体的棱长为，是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动， 且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，13题第一空2分，第二空3分． 12．已知，则 ． 13．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的平均数为 ，方差为 . 14．已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有≤，则不等式的解集是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：≥. 16．（本小题15分） 某校科技节进行答题竞赛，满分分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用按比例分层抽样的方法从成绩在的同学中抽取名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的名同学中不放回抽取份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 17．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18．（本小题17分） 设数列的前项和为. 已知，，. （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数，有. 19．（本小题17分） 已知曲线，点在曲线上． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如图，过曲线外一点（不在轴上）作的两条切线，切点为，在曲线上一点处的切线交于点，且，把这样的叫做“外切三角形”． ①连接交于点，证明：三点的纵坐标成等差数列关系； ②如图，从点出发作出的第一个外切三角形是，再过点分别作出个外切三角形，即和；继续过点分别作出个外切三角形以此类推，依次作出个外切三角形．设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并判断与的大小关系． 数学试卷·第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $