精品解析：云南曲靖市马龙区第一中学2026-2027学年高三上学期开学检测数学试卷

2027届新高三开学考试数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 4. 设则的值为（ ） A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 5. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 7. 大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列不等式的解集不是的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______． 13. 已知,则 ______． 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）求函数单调递增区间； （2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值. 17. 如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点． （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程. 19. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届新高三开学考试数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知命题有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】已知有些实数的相反数是正数，即，则. 故选：B 3. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 4. 设则的值为（ ） A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数，根据自变量的范围代入计算即可. 【详解】. 故选:B. 5. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 6. 设，，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 7. 大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，，两式相比得到，又由和，得到，从而得到，即可求解. 【详解】由题知①，②， ①②两式相比得到， 所以③， 当时，由④，②④得到， 所以⑤， 由⑤③，得到， 解得. 故选：C. 8. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列不等式的解集不是的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解方法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，所以A正确， 对于B，由，解得或，所以B正确， 对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误， 对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：ABD 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 11. 已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，令，即可求解；选项B，利用选项A中结果，令，即可求解；选项C，令，得到，进而有，再利用选项B中结果，得到为奇函数，从而得出的周期为的周期函数，即可求解；选项D，令，得到，用代替得到，利用C中结果，两式相加，即可求解. 【详解】因为，且， 对于选项A，令，得到，所以或， 若，令，得到，得到，与题不合， 所以，故选项A错误， 对于选项B，由选项A知，令，得到， 即，又的定义域为，所以选项B正确， 对于选项C，令，得到， 所以关于点中心对称， 即，所以， 又由选项B知，，得到，即， 所以为奇函数，令，由，得到， 则有，所以， 即的周期为的周期函数，所以，故选项C正确， 对于D，令，得到则①， 用代替得到②， 由①+②得， 由选项C知，所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，本题的关键在于选项C和D的判断，选项C解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，即可求解，选项D，通过赋值得到和，结合条件和对称性，即可求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由，可知，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为， 所以或， 即或或或 解得或， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，一次不等式的解法，属于中档题. 13. 已知,则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】由,可得，利用对数的运算法则求解即可. 【详解】因为, 所以， 可得，故答案为1． 【点睛】本题主要考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题． 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得 （2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑 【小问1详解】 由题意知， 因为，所以， 则，解得，则实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集， 当时，解得； 当时，（等号不能同时取得），解得， 综上，. 16. 已知函数，. （1）求函数单调递增区间； （2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值. 【答案】（1）和；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调区间整体代入即可求解. （2）根据题意求出，再利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）， 由得，， 又，取得函数单调递增区间为：和. （2）由得，∴， 由余弦定理得得 ，∴， 从而. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式、辅助角公式、正弦函数的性质、余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题. 17. 如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点． （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:连接，记，连接，如下图： 在梯形中，易知，则， 由题意可得，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形可得线段比例，从而可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题意易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程. 【小问1详解】 由题意可得 解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率不为0，则设直线. 联立整理得， 则， . 因为的面积为， 所以，即， 整理得，即，即， 解得，所以， 故直线的方程为或 19. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 证明：要证恒成立，即证恒成立， 令，，由（2）可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以恒成立， 即有时恒成立，当且仅当时取“=”号， 亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号. 所以一方面，当且仅当，即时取“=”号， 另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号， 所以恒成立，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解； （2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求； （3）用切线不等式可证得结果. 【小问1详解】 时，，依题意切点坐标为， ，所以函数在处的切线的斜率为， 故函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $