精品解析：新疆和田地区皮山县2026-2027学年第一学期普通高中9月质量检测高二数学试卷

皮山县2026-2027 学年第一学期普通高中9月质量检测 高二数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：艾克代； 审核人：排日代 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 7. 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 为平面的一个法向量 11. 如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则下列各选项正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正四面体的棱长为2，设，，，则________. 13. 已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为______； 14. 在底面边长为2，高为1的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为__． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若且，求实数； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 16. 已知，，，设向量，． （1）设向量，，求； （2）若，求的值． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：； （2）若，求到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皮山县2026-2027 学年第一学期普通高中9月质量检测 高二数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：艾克代； 审核人：排日代 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为所以所以． 故选：D. 2. 在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断B、C、D． 【详解】 对于选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故A正确； 对于选项B，若，则，故B错误； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：A． 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 4. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量投影向量的定义求解即可. 【详解】由题意可知向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 7. 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】依题意，直线两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 设，由，得， 则，，， ，解得，所以. 8. 如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线PM与BF夹角余弦值的最大值. 【详解】取中点，连接，且延长线过点， 因为，，所以平面， 根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点， 以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以， 设，因为，所以，所以， 又因为，， 所以， 不妨设，所以， 所以，取等号时， 所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为， 故选：D. 【点睛】方法点睛：异面直线所成角的余弦值的两种求解方法： （1）几何法：采用平移直线的方法将待求直线平移至同一平面内，然后根据线段长度利用余弦定理求解出异面直线所成角的余弦值； （2）向量法：先写出两条直线的方向向量，然后根据直线方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10. 【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 为平面的一个法向量 【答案】BC 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、 所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、、、. 对于A选项，，，则，故A错误； 对于B选项，，，则，故B正确； 对于C选项，，故，故C正确； 对于D选项，，故不是平面的一个法向量，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则下列各选项正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，可以证明，可以判断A正确； 利用线线角公式可以判断B错误；利用线面角公式可以判断C错误；利用点到平面距离公式可以判断D正确；. 【详解】 如图，过作，则， 所以四边形为矩形， 则， 由题意可知两两垂直， 则以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 则，即，故A正确； ， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， ， 则，即， 令可得， ， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为，故C错误； 点到平面的距离为 ，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正四面体的棱长为2，设，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为______； 【答案】且 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积及向量共线列式求出即得. 【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线， 则，解得且， 所以m的取值范围为且. 故答案为：且 14. 在底面边长为2，高为1的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为__． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，利用异面直线夹角的向量公式，即得解 【详解】由题意以D为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1）， ∴（﹣1，2，﹣1），（0，﹣1，1）， 设异面直线A1E，CF所成的角为θ， 则cosθ， 所以θ，所求异面直线的夹角为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若且，求实数； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【小问1详解】 ， 所以， 则， 解得． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 16. 已知，，，设向量，． （1）设向量，，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行求出，由向量模的公式计算得解； （2）由向量的线性运算及垂直向量的数量积坐标表示列方程得解. 【小问1详解】 由题意，，，， 所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以． 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：； （2）若，求到平面的距离. 【答案】（1） 因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明⊥平面，再利用线面垂直的性质定理可得答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故， 所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接，， 因为是等边三角形，又，所以， ， 又， ，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以， 又，， 平面，所以平面， 又平面 ，所以平面 平面. （2） 【解析】 【分析】小问1利用勾股定理的逆定理证明，然后利用两组线线垂直推导线面垂直；小问2建立空间直角坐标系后，求出两个面的法向量，然后求出平面 与平面 夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由（1）可得 ，所以，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 则，，，， 设平面 的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以平面 的一个法向量为， 设平面 的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以平面 的一个法向量为 设平面 与平面 所成的角为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $