精品解析：新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

第三师图木舒克市第一中学高二年级九月月考数学试卷 本试卷共19题，考试时间120分钟，答题时仔细看清楚题目的要求，一定按要求作答． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题意的） 1. 直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角. 【详解】直线的方向向量坐标为，故直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 2. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 3. 已知直线的图像如图所示，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，，， 则角是第四象限角， 故选：D. 4. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【详解】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 6. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，观察直线与线段的交点从点到点运动时，直线的倾斜角的变化，从而可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】如下图所示，直线的斜率为，作直线交线段于点， 当直线从的位置运动到直线的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由锐角逐渐增大为直角，，此时； 当直线从直线的位置运动到的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由直角逐渐增大为钝角，，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 7. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 8. 设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. ， C. ， D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，由可求得，再由平行线间的距离公式得到，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值. 【详解】因为a，b是方程的两个实根， 所以，， 所以． 又，所以，所以． 由于直线与直线平行， 所以它们之间的距离， 所以，即所求距离的最大值和最小值分别为，． 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则，，，共面 C. 若，则，，，共面 D. 若，，三点共线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A利用空间点关于面对称坐标规则算出B点坐标验证；选项B由共面向量定理，三个向量共起点且满足，可得，，，四点共面；选项C验证系数之和不等于1，可得，，，四点不共面；选项D由三点共线则向量平行求出，即可得到． 【详解】选项A，关于平面对称的两点，坐标相同，坐标互为相反数． 由可得的坐标为， 故，A正确． 选项B，根据共面向量定理，可由、线性表示， 说明三个向量共面，且三个向量有公共起点A， 因此，，，四点共面，B正确． 选项C，若，，，共面，则对任意点P， 需满足． 已知，其中， 故四点不共面，C错误． 选项D，已知，，三点共线， 则，且， 故对应坐标成比例：，解得，所以，D正确． 10. 已知直线：，则下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 直线与直线垂直 D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】整理直线方程后得到一个方程组，可得直线所过的定点，判断A；首先根据方程得到斜率，再求得其倾斜角，可判断B；由直线垂直的充要条件可判断C；根据直线的方程求得截距，进而判断D. 【详解】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 11. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 点在平面内的射影的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，将点代入运算得解判断；对B，由A得平面的方程为，进而求出平面的法向量，得解；对C，利用向量法求出线面角的公式求解判断；对D，设点在内的射影为，利用，列式求解判断. 【详解】对于A，把点代入，得，解得，故A正确； 对于B，由A得平面的方程为，则向量是平面的法向量， 所以也是平面的一个法向量，故B正确； 对于C，由已知得， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，故C错误； 对于D，设点在内的射影为，则，且， 于是有，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________________________（写成一般式方程） 【答案】 或 【解析】 【详解】当直线过原点时，设， 代入点，解得， 即直线的方程为， 当直线不过原点时，设， 代入点，解得， 即直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 13. 著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为点到点的距离之和的最小值即可. 【详解】表示点到点的距离之和， 因为当点位于线段上时有最小值， 当点位于线段上时有最小值， 故点是线段的交点时，有最小值，最小值为. 14. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由与共线，可得，进而结合空间两点的距离公式表示出，然后利用函数的性质求出最值即可. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点， ，，则，设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中，因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值， 此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解题时需写出必要的步骤与过程） 15. 已知空间向量，． （1）求与的夹角； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵，∴设与夹角为， 则，又， ∴. 【小问2详解】 ∵，， 设与的夹角为， 由题意知为锐角，即， 即，解得， 当与同向时，，此时， 故实数的取值范围为. 16. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为，的中点，设，，. （1）用，，分别表示向量，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据题意结合（1）求出，，然后利用向量的夹角公式可求得结果. 【小问1详解】 因为分别为，的中点，设，，， 所以， ； 【小问2详解】 由题意可得，， 则， 由（1）知，， 所以 ， ， ， 所以， 所以异面直线AM与所成角的余弦值为. 17. 已知三点坐标，，，求解以下问题： （1）求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； （2）求出的面积； （3）设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点斜式求方程； （2）计算点到直线的距离，再利用面积公式计算； （3）设点关于直线的对称点为，求出即可. 【小问1详解】 由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； 【小问2详解】 由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； 【小问3详解】 设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）平面，平面，， 又，平面，平面， 所以平面； （2） （3）直线 AG 能在平面 AEF 内，且 . 【解析】 【分析】（1）由平面得，结合根据线面垂直的判定定理可证； （2） 由平面得，利用等腰三角形性质得及线面垂直的判定定理得平面，从而可得是二面角的平面角，在中，求得，在中由余弦定理可求，即可求得二面角的平面角的余弦值； （3）设，得，，求出平面AEF的法向量，求解方程可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，， ，， 平面，平面， 平面，平面，平面， ， 且平面，平面 是二面角的平面角， 如图在中，， 又由余弦定理可知， ，， 在中，，， 即二面角的余弦值 【小问3详解】 以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系，，，，， ，，， ，，设平面AEF的法向量， 则，取，得， 设点 G 在线段 PB 上，令 ，即 ， 又 ， ，解得， 故存在满足条件的点G，直线AG能在平面AEF内，， 故直线AG能在平面AEF 内，且. 19. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）证明:依题意直线方程为， 即，即， 所以由，解得，故直线过定点. （2）存在；直线方程为3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0 【解析】 【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标. （2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程. （3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程. 【详解】（1）证明略 ;定点. （2）依题意设直线方程为，将代入得①. 则，则，解得或. 其中不满足①，满足①. 所以存在直线，即满足条件. （3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角， 所以， 所以②， 令， 由于，所以，所以， 所以. 则②可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即， 也即. 【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三师图木舒克市第一中学高二年级九月月考数学试卷 本试卷共19题，考试时间120分钟，答题时仔细看清楚题目的要求，一定按要求作答． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题意的） 1. 直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的图像如图所示，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. ， C. ， D. 1， 二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则，，，共面 C. 若，则，，，共面 D. 若，，三点共线，则 10. 已知直线：，则下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 直线与直线垂直 D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 11. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 点在平面内的射影的坐标为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________________________（写成一般式方程） 13. 著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 14. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解题时需写出必要的步骤与过程） 15. 已知空间向量，． （1）求与的夹角； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为，的中点，设，，. （1）用，，分别表示向量，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知三点坐标，，，求解以下问题： （1）求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； （2）求出的面积； （3）设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 19. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $