2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标与距离公式 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平面内两直线垂直，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 先求出的方程，再与直线联立即可求解． 【解答】 解：因为直线的斜率为， 则直线的斜率为， 则的方程为， 即． 又点在直线上， 解得 故点的坐标是． 故选C． 2.已知点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 根据题意知、两点在直线的异侧或在直线上， 得出不等式，求出解集即可． 本题考查了直线与线段相交的应用问题，也考查了转化思想，是一般题． 【解答】 解：根据题意，若直线：与线段相交， 则、在直线的异侧或在直线上， 则有， 即， 解得或， 即的取值范围是． 故选：． 3.设，直线过定点，直线过定点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：直线过定点，直线过定点，则． 故选A． 4.有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】因为 ， 结合图象分析，可看作轴上一点到点与点的距离之和，即，如图所示． 则可知当，，三点共线时，取得小值， 即故选A． 5.如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查角平分线的性质，以及点到直线的距离公式，属于基础题． 根据已知条件，结合角平分线的性质，以及点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】 解：设是平分线所在直线上任意一点， 则由角平分线性质可得，到直线，直线的距离相等， 故， 化简整理可得，或， 由图象可知，的角平分线所在直线的斜率大于，即不符合题意， 故的角平分线所在直线的方程为． 故选：． 6.已知，两点到直线的距离相等，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得， 解得或故选C． 7.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 由题意利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离公式求得结果． 【解答】 解：由题意直线与直线平行， 可得，即， 则直线可化为， 所以两直线之间的距离为， 故选：． 8.已知，分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则的取值可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查直线平行的判定及直线交点坐标的求法，属于基础题． 利用直线平行以及三条直线交于一点，即可出参数的值． 【解答】 解：若，则解得，经检验两直线不重合． 若，则解得，经检验两直线不重合． 由解得即与的交点坐标为， 若过点，则，解得． 故选BCD． 10.已知直线：，则下列结论正确的是(    ) A. 直线的倾斜角是 B. 点到直线的距离是 C. 若直线：，则 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】BD  【解析】直线：，即，则其斜率，其倾斜角是，故 A错误； 点到直线的距离，故 B正确； 直线：，即，其斜率，而，故直线与直线不垂直，故 C错误； 依题意，设所求直线的方程为，将代入得，故，则所求直线方程为，故 D正确． 11.下列说法正确的是(    ) A. 直线，的距离为 B. 直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C. “直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线与互相平行，则的值是或 【答案】AC  【解析】解： 选项A：直线，可化简为，两直线斜率均为，故平行， 根据平行直线距离公式得，故A正确； 选项B：直线过点且截距相等，分两类讨论： 截距不为：设方程为，代入得，方程为； 截距为：设方程为，代入得，方程为， 故直线有条，故B错误； 选项C：由直线与垂直得： 或， 故“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确； 选项D：由直线与互相平行得： 或， 当时，两直线均为，重合，非平行； 当时，两直线为和，平行， 故只有时平行，故D错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知三边所在直线方程为：，：，：，则边上的高所在的直线方程为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线方程的求法，两条直线的交点坐标以及两条直线垂直斜率的关系，属于基础题． 由题意，联立直线和的方程，求得点的坐标，然后求出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式写出该直线方程即可． 【解答】 解：由得，所以交点的坐标为， 因为边上的高所在的直线的斜率， 边上的高所在的直线方程为， 即． 故答案为． 13.若动点的坐标为，，则动点到原点距离的最小值是          ． 【答案】  【解析】略 14.已知直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为          ． 【答案】  【解析】因为直线过点，， 所以直线的方程为， 即， 因为与直线平行， 所以， 所以两平行线间的距离． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线过点． 若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； 已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为求所在直线的方程． 【答案】解：当直线过原点时，设直线：， 将代入：， 解得，此时直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为：， 将代入：， 解得， 则直线方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 依题，直线方程为：， 即， 直线方程为：，即， 设直线方程为：， 因为与垂直， ， 所以直线方程为， 将点代入：， 解得， 故直线的方程为， 联立 解得，即， 因为直线方程为：，即， 设， 由以及为中点 可得，， 将点坐标代入到得：， 解得， 则，设直线方程为：， 则，解得 故直线方程为．  【解析】本题主要考查求直线方程，两直线垂直的充要条件，直线的斜截式、截距式，属于中档题． 对直线是否过原点进行分类讨论． 将、所在直线方程化为斜截式，根据两直线垂直的充要条件可求得直线斜率，设出直线的斜截式，将代入即可求得方程， 联立，求得，设，利用中点公式可求得，将点坐标代入到可求得， 则，设出方程，将、坐标代入即可求解． 16.本小题分 已知直线：，：，其中为实数． 当时，求直线，之间的距离； 当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】解：因为直线：，：，时， 则，解得， 此时直线的方程为， 所以两条直线间的距离； 当时，则直线的方程为：， 联立，解得，， 即两条直线的交点的坐标为， 又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为， 将点的坐标代入可得， 解得． 所以直线的方程为．  【解析】本题考查两条直线平行，垂直的性质的应用，属于基础题． 写出两条直线平行的充要条件，进而可得的值，再求出两条直线之间的距离的大小； 由，可得两条直线的交点坐标，由题意设所求的直线方程，将交点坐标代入可得所求的直线方程． 17.本小题分 已知直线 证明：无论为何值，直线与直线总相交 求点到直线距离的最大值 若为坐标原点，直线与轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值． 【答案】解：证明：直线：，可化为， 令，解得：，故直线经过定点，因为是直线上一点， 且经检验，直线与直线不重合，所以无论为何值，直线与直线总相交． 解：因为直线恒过定点，点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，即． 解：由可知，直线经过定点且与轴的正半轴分别交于两点，不妨令的方程为：，则，，的面积：，因为，所以，当且仅当时，等号成立所以，故面积的最小值为．  【解析】略 18.本小题分 已知三边所在直线的方程分别为，，，． 判断的形状 当边上的高为时，求的值． 将本题中的条件“”改为“”，求的面积． 【答案】由题意知直线的斜率， 直线的斜率， 所以， 所以直线与直线互相垂直， 因此，为直角三角形． 解方程组得即 由点到直线的距离公式，得点到的距离． 已知，即，解得或． 解方程组得即 解方程组得即 解方程组得即 所以， 点到直线的距离为， 所以的面积为．   【解析】略 19.本小题分 两条互相平行的直线分别过点，，并且各自绕着，沿同一方向旋转，如果这两条平行直线间的距离为求： 的取值范围 当取最大值时，两条直线的方程． 本题中条件不变，当两条平行直线间的距离为时，试求这两条平行直线的方程． 【答案】解：当两直线与线段垂直时，取得最大值． 因为， 所以． 由，知当取最大值时，两直线垂直于直线． 因为， 所以所求直线的斜率为． 所以所求的直线方程分别为，，即，． 解：分两种情况讨论． (ⅰ)若这两条平行直线的斜率存在，设为，则这两条平行直线的方程分别为，， 即，． 则这两条平行直线间的距离，整理，得，解得． 所以这两条平行直线的方程分别为． (ⅱ)若这两条平行直线的斜率不存在，则这两条平行直线的方程分别为，，它们之间的距离为，同样满足条件综上所述，两条平行直线的方程为，或，．   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3直线的交点坐标与距离公式 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 2.已知点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.设，直线过定点，直线过定点，则(    ) A. B. C. D. 4.有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为(    ) A. B. C. D. 6.已知，两点到直线的距离相等，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A. B. C. D. 8.已知，分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则的取值可能为(    ) A. B. C. D. 10.已知直线：，则下列结论正确的是(    ) A. 直线的倾斜角是 B. 点到直线的距离是 C. 若直线：，则 D. 过与直线平行的直线方程是 11.下列说法正确的是(    ) A. 直线，的距离为 B. 直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C. “直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线与互相平行，则的值是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知三边所在直线方程为：，：，：，则边上的高所在的直线方程为          ． 13.若动点的坐标为，，则动点到原点距离的最小值是          ． 14.已知直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线过点． 若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； 已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为求所在直线的方程． 16.本小题分 已知直线：，：，其中为实数． 当时，求直线，之间的距离； 当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 17.本小题分 已知直线 证明：无论为何值，直线与直线总相交 求点到直线距离的最大值 若为坐标原点，直线与轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值． 18.本小题分 已知三边所在直线的方程分别为，，，． 判断的形状 当边上的高为时，求的值． 将本题中的条件“”改为“”，求的面积． 19.本小题分 两条互相平行的直线分别过点，，并且各自绕着，沿同一方向旋转，如果这两条平行直线间的距离为求： 的取值范围 当取最大值时，两条直线的方程． 本题中条件不变，当两条平行直线间的距离为时，试求这两条平行直线的方程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $