2.3 直线的交点坐标与距离公式同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从单一公式应用到综合问题解决，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线平行、点线距离等单一知识点|单选1-4、填空9-10直接应用公式，强化运算能力| |中档|对称问题、多解讨论|单选5-6、多选7-8综合应用公式，培养推理意识| |提升|三角形综合、参数直线问题|解答题11-13结合几何情境，发展模型观念|

《直线的交点坐标与距离公式》同步练习 一、单选题 1．若直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：ax+y+a＝0平行，则l1与l2的距离为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，由直线平行的判断方法求出a的值，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，若直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：ax+y+a＝0平行， 则有2×1＝﹣1×a，解得a＝﹣2， 当a＝﹣2时，直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：﹣2x+y﹣2＝0平行，符合题意， l2可化为2x﹣y+2＝0， 所以l1与l2的距离d． 故选：A． 【点评】本题考查平行线间的距离计算，涉及直线与直线平行的判断方法，属于基础题． 2．已知M（0，4），N（a，2）两点到直线l：x+y﹣3＝0的距离相等，则a＝（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或2 【分析】利用点到直线的距离公式，结合M（0，4），N（a，2）两点到直线l：x+y﹣3＝0的距离相等，列式可得答案． 【解答】解：点M（0，4）到直线l：x+y﹣3＝0的距离为， 点N（a，2）到直线l：x+y﹣3＝0的距离为， 由题意得，解得a＝0或a＝2． 故选：C． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键，属于基础题． 3．与直线2x+y+1＝0的距离为的直线的方程是（　　） A．2x+y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y＝0或2x+y﹣2＝0 D．2x+y＝0或2x+y+2＝0 【分析】设与直线2x+y+1＝0的距离为的直线的方程是2x+y+m＝0，则由两条平行直线间的距离公式可得 ，解得m的值，即可得到所求的直线方程． 【解答】解：设与直线2x+y+1＝0的距离为的直线的方程是2x+y+m＝0，则由两条平行直线间的距离公式可得 ， 解得m＝0，或m＝2，故所求的直线方程为 2x+y＝0或2x+y+2＝0， 故选：D． 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，用待定系数法求直线的方程，属于基础题． 4．过两直线l1：x﹣3y+4＝0和l2：2x+y+5＝0的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x﹣19y＝0 B．19x﹣3y＝0 C．19x+3y＝0 D．3x+19y＝0 【分析】设过两直线交点的直线系方程为x﹣3y+4+λ（2x+y+5）＝0，代入原点坐标，得4+5λ＝0，求解即可． 【解答】解：设过两直线交点的直线系方程为x﹣3y+4+λ（2x+y+5）＝0， 代入原点坐标，得4+5λ＝0，解得， 故所求直线方程为，即3x+19y＝0． 故选：D． 【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题． 5．点A（6，1）到直线l：（5λ﹣1）x﹣（27λ﹣1）y+22λ＝0的最大距离是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 【分析】通过整理直线l的方程，判断出直线恒过定点P（1，1），从而将点A到直线l的最大距离转化为A、P之间的距离，进而运用两点之间的距离公式求得本题答案． 【解答】解：由题意，直线l的方程可化为λ（5x﹣27y+22）+（﹣x+y）＝0， 所以直线l经过直线5x﹣27y+22＝0与﹣x+y＝0交点P（1，1）， 当AP⊥l时，点A到直线l的距离达到最大值，即为点A到点P（1，1）的距离， 所以点A（6，1）到直线l的最大距离为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了直线的方程、点到直线的距离、两点之间的距离公式等知识，属于基础题． 6．直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（　　） A．x+2y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+2y﹣3＝0 【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x＝1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程． 【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x＝1对称点为（2﹣x，y） 在直线x﹣2y+1＝0上，∴2﹣x﹣2y+1＝0化简得x+2y﹣3＝0故选答案D． 解法二：根据直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D， 再根据两直线交点为（1，1）选答案D 故选：D． 【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法． 2、 多选题 7．已知直线l1，l2满足l1∥l2，且l1，l2间的距离为，若l1的方程为x﹣2y+1＝0，则l2的方程为（　　） A．x﹣2y+6＝0 B．x﹣2y﹣4＝0 C．x﹣2y+4＝0 D．x﹣2y﹣6＝0 【分析】设直线l2的方程为x﹣2y+λ＝0，由平行线间距离公式即可求解． 【解答】解：直线l1，l2满足l1∥l2，l1的方程为x﹣2y+1＝0， 设直线l2的方程为x﹣2y+λ＝0， 则l1，l2间的距离， 解得λ＝6，或λ＝﹣4， 所以直线l2的方程为x﹣2y+6＝0或x﹣2y﹣4＝0． 故选：AB． 【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，是基础题． 8．已知点P（1，1）与直线l：x﹣y+1＝0，下列说法正确的是（　　） A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 B．过点P且与坐标轴围成的面积为2的直线有4条 C．点P关于直线l的对称点坐标为（0，2） D．直线l关于点P对称直线方程为x﹣y﹣1＝0 【分析】对于A：求出直线方程，即可判断； 对于B：设出直线方程，根据面积公式，即可判断； 对于C：根据点关于直线的对称，即可求出； 对于D：根据直线关于点的对称，即可求出． 【解答】解：对于A：设过点P的直线为x+y＝m，则m＝2，即x+y＝2，此时与直线l一定垂直， 当直线过原点时，此时直线为y＝x，与直线l：x﹣y+1＝0平行，故A错误； 对于 B：设直线方程为1，因为过点P（1，1），则ab＝a+b，① ∴过点P且与坐标轴围成的面积S|ab|＝2，则|ab|＝4②， 由①②组成方程组，解得a＝2，或a＝﹣2±2，故有3组解，即直线有3条，故B错误； 对于C：设点P关于直线l的对称点坐标为Q（a，b）， 可得1＝0，① 斜率1，②． 由①②解得：a＝0，b＝2． 则点P关于直线l的对称点坐标为（0，2），故C正确； 对于D：直线l关于点P对称直线方程为x﹣y+b＝0， 由题意，，得b＝﹣1或b＝1（舍去）． ∴直线方程为x﹣y﹣1＝0，故D正确． 故选：CD． 【点评】本题考查利用待定系数法求直线方程，训练了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的方程的求法，是基础题． 三、填空题 9．已知直线l：y＝3x+3，则点P（4，5）关于l的对称点的坐标为 　（﹣2，7）　 ． 【分析】设点P关于直线l的对称点为P1（x1，y1），根据题意，列出方程组，即可求解． 【解答】解：设点P关于直线l的对称点为P1（x1，y1）， 则线段PP1的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 可得， 解得x1＝﹣2，y1＝7， 所以点P1的坐标为（﹣2，7）． 故答案为：（﹣2，7）． 【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 10．直线ax+y+3a﹣1＝0恒过定点M，则直线2x+3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为 　2x+3y+12＝0　 ． 【分析】先求出点M，然后利用待定系数法设出所求直线的方程，由平行线间的距离公式，列式求解即可． 【解答】解：直线ax+y+3a﹣1＝0可得，a（x+3）+（y﹣1）＝0， 令x+3＝0且y﹣1＝0，解得x＝﹣3，y＝1， 所以直线ax+y+3a﹣1＝0恒过定点M（﹣3，1）， 设直线2x+3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c＝0， 则， 解得c＝12或c＝﹣6（舍）， 所以直线2x+3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为2x+3y+12＝0． 故答案为：2x+3y+12＝0． 【点评】本题考查了直线方程的求解，直线恒过定点的求解，两条平行线间距离公式的应用，待定系数法求解直线方程的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题． 四、解答题 11．在△ABC中，已知，AB边上的中线CM所在直线方程为，∠B的角平分线BT所在直线的方程为y＝1．求 （1）求顶点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）设出B（x0，y0），根据题意列方程组求出x0、y0即可； （2）根据点A关于角平分线BT的对称点D在直线BC上，求出直线BC的方程， 计算边长|BC|和点A到直线BC的距离d，再求△ABC的面积． 【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点在直线CM上； 所以，…① 又点B在直线BT上，即y0＝1；…② 由①②可得x0，y0＝1， 即B点的坐标为（，1） （2）因为点A（，3）关于直线BT的对称点D的坐标为（，﹣1）， 而点D在直线BC上， 由题知得，kBC＝kBD； 所以直线BC的方程为xy＝0； 因为直线BC和直线CM交于C点， 由，解得C（3，﹣3）； 则|BC|8， A点到直线BC的距离为d2； 所以S△ABC8×28 【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了点关于直线对称以及距离的计算问题，是综合题． 12．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0． （1）求顶点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）直接利用中点坐标公式建立方程，进一步求出t的值，最后求出点C的坐标； （2）利用点关于直线的对称和中点坐标公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式求出结果． 【解答】解：（1）由于直线CD的方程为x+y＝0， 设C（t，﹣t）， 所以AC的中点为（），由于AC的中点在直线BE上， 所以，整理得7t＝﹣28， 解得t＝﹣4， 故C（﹣4，4）． （2）由于CD平分∠ACB， 点A关于CD的对称点A′在BC上； 设A′（m，n）， 故，解得，即A′（﹣1，﹣2）； 所以kBC＝﹣2， 故直线BC的方程为y﹣4＝﹣2（x+4），整理得2x+y+4＝0． 联立直线BC和直线BE的方程，解得， 故B（﹣2，0）． 点A到直线BC的距离d， |BC|， 故． 【点评】本题考查的知识要点：中点坐标公式，点关于直线的对称，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题． 13．已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R． （1）求证：直线恒过定点； （2）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值及此时的直线方程； （3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【分析】（1）直线方程化为（2x+y+4）+m（﹣x+2y+3）＝0，令即可求出直线过定点坐标，显然当PQ⊥直线l时，点Q（3，4）到直线的距离最大，从而求出最大值以及此时直线的方程． （2）可设直线方程为y+2＝k（x+1），先求出点A，B的坐标，再利用基本不等式即可求出△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【解答】证明：（1）直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0， 可化为（2x+y+4）+m（﹣x+2y+3）＝0对任意m都成立， 所以，解得， 所以直线恒过定点（﹣1，﹣2）， 设定点为P（﹣1，﹣2）， 解：（2）当m变化时，PQ⊥直线l时，点Q（3，4）到直线的距离最大，可知点Q与定点P（﹣1，﹣2）的连线的距离就是所求最大值， 即， 此时直线l过点P（﹣1，﹣2）且与PQ垂直， ∴，解得， 故直线l的方程为2x+3y+8＝0． （3）由于直线l经过定点P（﹣1，﹣2），直线l的斜率k存在且k≠0， 可设直线方程为y+2＝k（x+1）可得与x轴、y轴的负半轴交于，B（0，k﹣2）两点， ∴，k﹣2＜0，解得k＜0． ∴， 当且仅当k＝﹣2时取等号，面积的最小值为4， 此时直线l的方程为：y+2＝﹣2（x+1），即：2x+y+4＝0． 【点评】本题主要考查了含参数的直线过定点问题，考查了直线的一般方程以及基本不等式的应用，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $ 《直线的交点坐标与距离公式》同步练习 一、单选题 1．若直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：ax+y+a＝0平行，则l1与l2的距离为（　　） A． B．2 C．3 D．4 2．已知M（0，4），N（a，2）两点到直线l：x+y﹣3＝0的距离相等，则a＝（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或2 3．与直线2x+y+1＝0的距离为的直线的方程是（　　） A．2x+y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y＝0或2x+y﹣2＝0 D．2x+y＝0或2x+y+2＝0 4．过两直线l1：x﹣3y+4＝0和l2：2x+y+5＝0的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x﹣19y＝0 B．19x﹣3y＝0 C．19x+3y＝0 D．3x+19y＝0 5．点A（6，1）到直线l：（5λ﹣1）x﹣（27λ﹣1）y+22λ＝0的最大距离是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 6．直线x﹣2y+1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（　　） A．x+2y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．x+2y﹣3＝0 二、多选题 7．已知直线l1，l2满足l1∥l2，且l1，l2间的距离为，若l1的方程为x﹣2y+1＝0，则l2的方程为（　　） A．x﹣2y+6＝0 B．x﹣2y﹣4＝0 C．x﹣2y+4＝0 D．x﹣2y﹣6＝0 8．已知点P（1，1）与直线l：x﹣y+1＝0，下列说法正确的是（　　） A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 B．过点P且与坐标轴围成的面积为2的直线有4条 C．点P关于直线l的对称点坐标为（0，2） D．直线l关于点P对称直线方程为x﹣y﹣1＝0 三、填空题 9．已知直线l：y＝3x+3，则点P（4，5）关于l的对称点的坐标为 　 　 ． 10．直线ax+y+3a﹣1＝0恒过定点M，则直线2x+3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为 　 　 ． 四、解答题 11．在△ABC中，已知，AB边上的中线CM所在直线方程为，∠B的角平分线BT所在直线的方程为y＝1．求 （1）求顶点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 12．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0． （1）求顶点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 13．已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R． （1）求证：直线恒过定点； （2）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值及此时的直线方程； （3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $