精品解析：河北石家庄市七县联合体2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

2026—2027学年第一学期高二年级10月质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 2. 若空间向量，，，，则其中单位向量的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】若，则，单位向量是模为的向量，利用这些知识求解. 【详解】，，是单位向量； ，，是单位向量； ，，是单位向量； ，，不是单位向量. 故共有3个单位向量. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 4. 已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 则，解得. 5. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 7. 设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象，求出边界直线斜率，写出斜率范围. 【详解】如图，直线过点且与线段AB相交，， ， 当直线从处逆时针旋转接近轴时，斜率; 当直线在顺时针旋转接近轴时，斜率， 所以的斜率的取值范围是. 故选：B. 8. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，    可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 10. 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两点与，则________________． 【答案】 【解析】 【详解】根据空间中点到点的距离公式，. 13. 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得,再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为,则, 即, 即, , , , 直线与平面的交点的坐标为 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标运算法则，列出关于的方程，从而求得的值； （2）根据向量垂直的坐标表示，求得的值. 【小问1详解】 由， 得，可得. 【小问2详解】 因为，所以. 即，解得. 16. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【小问1详解】 直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. 【小问2详解】 由得,由(1)可得，所以. 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 则为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平行于面内的一条直线，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设出的长并表达出各点坐标，利用异面直线与所成角的余弦值得出，求出平面的一个法向量，即可得出到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意（1）及几何知识得， 在直四棱柱中，， 两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， . 设异面直线与所成角为，则 ， 解得：， 故， 则 设平面的一个法向量为， 到平面的距离为. 所以即取， 得. 所以， 即到平面的距离为. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由面面夹角的余弦公式即可求解； （2）设，由线面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 因为平面， 在菱形中，，所以，则为等边三角形， 取中点，所以，又，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 平面的一个法向量为， 得到， 设平面的一个法向量， 所以，即， 取，则，所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由题意得而点在线段上运动， 得到， 且， ， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 取，则， 所以， 设直线与平面所成角为，要使最大，即最大， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 所以当时，取到最大值， 所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高二年级10月质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 2. 若空间向量，，，，则其中单位向量的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 3 5. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A. B. C. 3 D. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 7. 设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10. 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两点与，则________________． 13. 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $