精品解析：河北省邯郸市永年区第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026—2027学年上学期高二第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【人教A版选择性必修一习题2.1第8题改编】 6. 经过点作直线，若直线与连接 两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【人教A版选择性必修一习题1.4第17题改编】 7. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 10. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【人教A版选择性必修一复习参考题1第13题改编】 11. 已知是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角，以下说法正确的是（ ） A. B. 的长度为 C. 异面直线所成的角是60° D. 点到平面的距离 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若过两点，的直线的斜率为，则直线的方程为__________． 13. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则______． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第1题改编】 14. 如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【人教A版选择性必修一第2.1.2节例2、例3改编】 15. 已知点，，，， （1）试判断直线和直线的位置关系； （2）试判定四边形的形状. 16. 已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，. （1）用，，表示，； （2）若，，求的值. 【人教A版选择性必修一习题2.2第7题改编】 17. 已知点，求下列直线的方程： （1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程； 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第3题改编】 18. 如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到面的距离； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例10改编】 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点. （1）求证：､､､四点共面； （2）设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期高二第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程求出直线的斜率即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由可得， 所以直线的斜率， 所以， 故选：A 3. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则，解得，，故. 4. 已知直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系列方程求解即可. 【详解】直线的方程可化为，则直线的斜率为，直线的斜率为， 又两直线垂直，故，解得． 5. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面平行时，其方向向量与平面法向量垂直，数量积为0的性质列方程求解. 【详解】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的一个法向量垂直， 则， 所以. 【人教A版选择性必修一习题2.1第8题改编】 6. 经过点作直线，若直线与连接 两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 又因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以. 【人教A版选择性必修一习题1.4第17题改编】 7. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】经过点的直线方程为，即， 故直线的一个方向向量为， 又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 故选：A 8. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】根据截距、方向向量的定义，结合两直线平行与垂直的性质逐一判断即可. 【详解】A：在直线中，令，，所以本选项说法不正确； B：因为，所以直线与直线平行，因此本选项说法正确； C：由，所以直线的一个方向向量为， 而， 所以向量不是直线的一个方向向量，因此本选项说法不正确； D：因为，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确， 故选：BD 10. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 【人教A版选择性必修一复习参考题1第13题改编】 11. 已知是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角，以下说法正确的是（ ） A. B. 的长度为 C. 异面直线所成的角是60° D. 点到平面的距离 【答案】BCD 【解析】 【分析】采用建系法，以的方向为轴的正方向，结合向量夹角公式可判断A错误，C正确；由空间中两点间距离公式可求，判断B正确；由点到平面距离的向量公式可判断D正确. 【详解】 以点为原点，以的方向为轴的正方向， 建立如图所示的坐标系，则， ∴，， ∴，∴，故A错误； ∵，∴，故B正确； ∵，又， ∴，∴， 所以异面直线所成的角是60°，故C正确； 设平面的法向量为，则，即， 令，得，于是， 又，所以点到平面的距离，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若过两点，的直线的斜率为，则直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率求得的值，利用直线的点斜式方程可得答案． 【详解】因为直线经过两点，，且直线的斜率是， 所以，解得， 所以点的坐标为， 所以直线的方程为，化简得． 13. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】取正方体的同顶点的三条棱作为基底，将目标向量用基底表示，再利用向量数量积的运算律计算即可． 【详解】 由图可知；； 则. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第1题改编】 14. 如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】因为,,所以,,根据空间向量得异面直线所成角,再补成直三棱柱结合图形特征可得外接球半径. 【详解】设平面与平面的夹角为,因为,, 所以,, 由题意得, 所以 , 所以,即, 所以,即平面与平面的夹角为. 过作的平行线,过作的平行线与所成的角为，过作的平行线, 连接,四面体的外接球与三棱柱的外接球相同， 在中, 外接圆半径为， 四面体外接球的半径为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【人教A版选择性必修一第2.1.2节例2、例3改编】 15. 已知点，，，， （1）试判断直线和直线的位置关系； （2）试判定四边形的形状. 【答案】（1） （2）四边形为直角梯形 【解析】 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【小问1详解】 由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， 【小问2详解】 因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 16. 已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，. （1）用，，表示，； （2）若，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可. （2）根据题意得到，，再计算即可. 【小问1详解】 连接，，如图： . . 【小问2详解】 依题意，，， 故. 【人教A版选择性必修一习题2.2第7题改编】 17. 已知点，求下列直线的方程： （1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程； 【答案】（1）或； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）讨论截距是否为0，结合截距式及点在直线上求直线方程即可； （2）讨论截距是否为0，结合截距式及点在直线上求直线方程即可. 【小问1详解】 ①当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得直线方程为； ②当直线不过原点时，设直线方程为，且，即，将代入， 可得，解得，则直线方程为，化简可得； 所以所求直线方程为或； 【小问2详解】 ①当直线的截距为0时，直线的方程为，即； ②当直线的截距不为0时，设直线的方程为，则，解得或． 若，则直线的方程为，即； 若，则直线的方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或或． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第3题改编】 18. 如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到面的距离； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可得结果； （2）根据点到直线距离的向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）得：，，， 设平面的法向量， ，令，解得：，，， 点到平面的距离； （3）由（2）知：，， 设平面的法向量， ，令，解得：，，， 又平面的法向量，， 由图形可知：二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例10改编】 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点. （1）求证：､､､四点共面； （2）设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵底面是正方形，则，又∵侧棱底面， 则，， ∴平面，则，二面角的平面角为， ∴，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为∵， 则，令，则，即 ∵，设， 则，∴，又∵， 则，∴， 则， ∵，即， ∴点在平面内，即､､､四点共面. （2） （3）存在，为线段上靠近点的四等分点 【解析】 【分析】(1)先根据线面垂直的判定与性质分析可得二面角的平面角为，进而确定，进而建系，利用空间向量证明四点共面； (2) 结合（1），利用向量法直接求解即可； (3) 设，利用向量法求得点到平面的距离，再结合三棱锥体积公式列方程求解，验证解的范围即可判断是否存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）可得，则， 平面，即平面，其法向量为， ∵， ∴直线与平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 假设线段上存在点满足条件，设， ∵，∴ . 设平面的法向量， ∵， ∴，可得，取， ∴平面的一个法向量， 则点到平面的距离. 又，，且， ∴ . ∴ .令，解得， 故存在满足条件的点.此时的坐标为，即为线段上靠近点的四等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $