江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高一上学期10月素养训练数学试题

高一数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知集合所有小于10的正偶数，，则 A． B． C． D． 3．《道德经》中写道：“合抱之木，生于毫末．”可以理解为长成合抱大树，始于细小的萌芽．据此推断，“有细小的萌芽”是“长成合抱大树”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，，则必有 A． B． C． D． 5．如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 6．已知正数，满足，则的最小值为 A．10 B．25 C．36 D．48 7．设集合且，则 A．， B．， C．， D．， 8．《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为 A．3 B．6 C．4 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是全称量词命题且为真命题的是 A．， B．所有大于1的平方数都是合数 C．， D．在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 10．若实数，，满足，且，则二次函数的图象可能为 A． B． C． D． 11．已知，，，则 A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若“”是“”的充要条件，则________． 13．集合的所有非空子集的元素之和的总和为________． 14．若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． 16．（15分） 已知集合，． （1）当时，求； （2）若中恰有3个整数元素，求的取值范围； （3）若，且对任意的，都有，求的取值范围． 17．（15分） 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 18．（17分） （1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集． 19．（17分） 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学限时训练参考答案 1.C全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.BA={2,4,6,8},B={1,2,3,4},所以A∩B={2,4). 3.B长成合抱大树，始于细小的萌芽；但有细小的萌芽，未必长成合抱大树.故“有细小的萌 芽”是“长成合抱大树”的必要不充分条件， >6未必成立，D 4Q取a=1,b=一2则2a=b,a2<,ac<cA错误，B错误>十1 错误.因为a>b,Wc>0,所以a√>b√c,C正确： 5.C(A∩B)UCu(AUB)是表示Venn图中阴影部分的集合 6.c+2-(日+2)a+6)=1+8+g+2s≥26+2√日 .20=36,当且仅当么= a a b 2罗，即6=50-时，等号成立 7.A设11b-a=x(a+3b)+y(2a-b),则11b-a=(x+2y)a+(3.x-y)b,所以 1x+2y=-1, |x=3, 解得 3x-y=11, y=-2, 所以11b-a=3(a+3b)-2(2a-b).因为-3≤3(a+3b)≤ 18,-10≤-2(2a-b)≤4，所以-13≤11b-a≤22. 8.BU={1,2,4}.根据题意可得A∩B≠⑦，且A,B互不为对方的子集，则共有以下6种 情况. 9.ABD因为x2≥0，x4≥0，所以x4十x2+1≥1>0，A正确.所有大于1的平方数都是合数，B 正确.“3m∈Z,m2十n2=mn”是存在量词命题，C错误.假设a,b,c是任意一组勾股数，且 a2十b2=c2,若a,b均为奇数，则a2,b2均为奇数，所以c2为偶数，则c为偶数，D正确. 10.AD因为a十c=b,所以c=b一a<0,所以二次函数图象与y轴的负半轴相交，B错误.a =b一c>0,二次函数的图象开口向上，C错误.当a十c=b>0时，二次函数y=ax2+bx+c 的图象可能与D相符合；当a十c=b<0时，二次函数y=ax2+bx十c的图象可能与A相 符合 1.ACD由12y-4=6z+1,得4y(3x-1D=6x+1.因为x>0,>0,所以x>行，且4y 2十因为1>0，所以>2，则y>2A正脆南A得y一日士 3 8D所以3+十y=x+号0D=x1D2D+是因为>日所以 3 a-1+82-D产2ae-0·8--5,当且仅当x-1=2-D即r 3 3 【高一数学·参考答案第1页（共4页）】 21。 3时，等号成立，则3x+y的最小值为+3，B错误由12y-6x一4y= 1,得(-1-2=8因为>日>7所以品+≥2 1 2 2 3 〔2 当且仅当3212时，等号成立，庙5z12y1》 3 3, 解得 C正确.由A 12xy-6x-4y=1, y=4 得y则6-l0y82-82设-1=>0则6x-Dg 4(3x-1) 《中一++28是+2+2当且仅首：即：-得时，等号议立。 At 此时(6.x一1)y取得最小值2十√3，D正确， 12.4由-2z十a<2,得x>2,所以22-1，懈得a=4 13.36所求总和为4×(0+2+7)=36. △=b2-4(6+1)>0, 14(2+2.] 由 解得2+22<6<号 12-b+b+1≥0， 42-4b+b+1≥0， 15.(1)解：x3-(x2-3x+3)=x3-x2+3(x-1)=x2(x-1)十3(x-1)=(x2十3)(x-1). …3分 因为x>1,所以x-1>0.又x2+3>0,所以x3-(x2-3x十3)=(x2十3)(x-1)>0,… …5分 所以x3>x2-3x十3.…6分 2》证明：方法-）。%。g-n么。a2_m6)+m …9分 (a-c)(b-d) (a-c)(b-d) 因为a>b>0,c<d<0,所以b-a<0,c-d<0,a-c>0,b-d>0.…11分 又m<0,所以m(b-a)>0,m(c-d)>0,… …12分 所以6”4n么。0》0，闻”。”d a-c-b-d …13分 (方法二)由c<d<0,得一c>一>0.…8分 又a>b>0,所以a-c>b-d>0,… …10分 11分 又m<0,所以”。。”a 13分 16.解：(1)当a=6时，A={x2<x<6},… …1分 【高一数学·参考答案第2页（共4页）】 B={xx<1或x≥4}，… …2分 所以0RB={x|1≤x<4}, 3分 故AU(CRB)={x|1≤x<6}. 4分 (2)当a≤2时，A=,不符合题意，舍去. 5分 当a>2时，A={x|2<x<a},因为A中恰有3个整数元素，所以3∈A,4∈A,5∈A,6 A,… …7分 所以a的取值范围为(5,6].…9分 (3)因为对任意的x∈A,都有x庄B,所以A∩B=必.…10分 因为A≠☑，所以a>2,A={x2<x<a},由A∩B=,得a≤4，所以2<a≤4.… …14分 故a的取值范围为(2,4幻.……15分 17.解：设矩形图案的长为acm,宽为bcm,a>0,b>0,则ab=800cm2, 画报的宽为(b十10)cm,长为(a十20)cm.…2分 (1)画报的周长（单位：cm)C=2(b+10十+a十20）=2(a十b十30)…5分 ≥2(2√ab十30)=80W2十60，当且仅当a=b=20W2时，等号成立.…8分 故当矩形图案的长、宽均为20√2cm时，可使整个画报的周长最小，且最小值是(80√2十 60)Cm.………9分 (2)画报的面积（单位：cm)S=(b+10)(a十20）=ab+10a+20b+200 -10a+26)+100=-10(8g+26）+100 …11分 ≥10X2,/800,2b+1000=180,当且仅当a=40,b=20时，等号成立 ,…14分 故当矩形图案的宽为20cm,长为40cm时，可使整个画报的面积最小，且最小值是 1800cm2.… …15分 18.解：(1)由题意可知方程a.x2+bx+c=0的两个解为x1=一5，x2=6,且a<0,…1分 b =-5+6, 0 b=-a, 即C=-5×6, 则c=一30a, …3分 a a<0, a<0, 所以关于x的不等式cx2十ax一b>0即为一30ax2十ax十a>0.…4分 因为a<0,所以30x2-x-1>0,…5分 解得x<一名或z>号，故所求不等式的解集为x<一名或>》。 …7分 (2)若a=0,一1≤0恒成立，则x∈(0，十∞).…8分 若a≠0，设△=4a2十4a.…9分 当-1≤a<0时，△≤0，二次函数y=a.x2十2a.x一1的图象开口向下，y<0在x∈(0，+∞) 上恒成立，此时关于x的不等式ax2十2ax一1≤0的解集为(0，十∞).…11分 【高一数学·参考答案第3页（共4页）】 当a<一1时，△>0，二次函数y=ax2+2ax一1的图象开口向下，对称轴为直线x=一1，y <0在x∈(0，十∞)上恒成立，此时关于x的不等式ax2+2ax一1≤0的解集为(0，十∞). …13分 当a>0时，△>0，二次函数y=ax2十2ax一1的图象开口向上，对称轴为直线x=一1， 令ar2+2ax-1=0,得x=-a-ya+a或=-a十ya+a …14分 a 因为x>0,所以x=一a十√a2+a 15分 此时关于x的不等式ax2+2ax-1<0的解集为(0，一a+ya+a …16分 故当a≤0时，不等式ax2十2ax一1≤0的解集为(0，十∞)；当a>0时，不等式a.x2+2ax 1≤0的解集为(0，-a十√a+a …17分 19.(1)解：因为2-2=0,2-3=-1,2-6=-4,3-2=1,3-3=0,3-6=-3,6-2=4,6-3 =3,6-6=0,…2分 所以△A={一4，一3，一1,0,1,3,4}，…3分 该集合共有7个元素，子集个数为27=128.…4分 (2)证明：对于集合A={a,b,c},a<b<c, 枚举所有的差值：0，a一b,a一c,b一a,b一c,c一a,c一b.共7个差值，…6分 将它们从小到大排列，可知a一c最小，c一a最大，0在正中间，a一b,b一c夹在a一c和0之 间，C一b,b一a夹在0和c一a之间，…8分 因为△A有且仅有5个元素，所以上述7个差值必有2个差值与另外5个差值中的2个相 同，按照上面从小到大的排列规律，所以a一b=b一c且c一b=b一a,…10分 故Q十C=2b.… …11分 (3)解：设A={a1,a2,…,am},a1<a2<<am 当集合A中的元素从小到大排列后，从第二项开始，后一项与它的前一项之差为非0的定 值d(d>0)时，根据“差值集”的定义，此时不同的差值最少，…13分 所有差值分别为-(n-1)d,-(n-2)d,…,0,…,(n-2)d,(n-1)d, 此时△A中元素的个数m最小，即mmn=2n一1.…14分 当集合A中的元素从小到大排列后，任意两个不同元素的差值均不相等时，不同差值的个 数最多，… 0**4*44444.4.4*4******5分分 总共有n2组x一y,其中x=y的差值恒为0（只能算一个元素）， 剩余n2一n个非零差值两两成对且互为相反数，它们无重复时元素最多， 所以mmax=n2-n十1.…17分 【高一数学·参考答案第4页（共4页）】