3.5 图形的位似 小节要点验收2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.5 图形的位似 小节要点验收2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（    ） ①△ABC与△DEF位似 ②△ABC与△DEF周长比为2∶1 ③△ABC与△DEF面积比为4∶1 ④△ABC与△DEF是相似图形 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（    ） A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转 7．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（   ）    A．10 B．6 C．5 D．4 10．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是________． 13．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，则点的对应点的坐标是__________． 14．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，，则它们的位似比为________． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似 ，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 17．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是．将点O，B，C的横、纵坐标都乘，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与位似吗？ 18．阅读与思考 下面是某兴趣小组的一次实践活动记录： 兴趣小组札记 今天，在数学兴趣小组开展的活动中，小华给每位同学发了一张扇形纸片，并要求大家按照下面的做法画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径，和上． 小李的做法如下：如图1，先在扇形内画出正方形，使得C，D两点在上，点F在上，连接并延长交于点G，过点G分别作于点J，交于点H，再作于点I．    (1)猜想证明：请问小李画出的四边形是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由． (2)实践操作：如图2，给定锐角三角形，画出一个长宽比为的矩形，使得点D，E位于边上，点F，G分别位于边，上． 19．在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 20．如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C C D C B D 1．【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行， ∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答． 【详解】∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键． 3．【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、利用相似三角形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，DE＝AB，DF＝AC，EF＝BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理、位似图形的概念判断即可． 【详解】解：∵D、E、F分别为OA、OB、OC的中点， ∴DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，DE＝AB，DF＝AC，EF＝BC， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1， ∴△ABC与△DEF位似，△ABC与△DEF周长比为2∶1，△ABC与△DEF面积比为4∶1， ∴①②③④的说法都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 4．【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似的性质，位似变换∶如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似图形；通过相似的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比为． 故选：C 6．【答案】C 【知识点】位似图形的识别、图形的平移 【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解． 【详解】解：选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意； 选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意； 选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意； 选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 8．【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】因为与的位似比为，所以点与点的坐标之比为，又因为点在第三象限，所以点的横、纵坐标为负数． 【详解】解：与的位似比为，点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 9．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形 ∴ 的周长为15， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 10．【答案】D 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：， ∴， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 11．【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 12．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点， 点即为位似中心，． 故答案为：． 13．【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似的性质．根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 14．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查图形的位似，与的位似比． 【详解】解：根据题意可知，与的位似比． 故答案为： 15．【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 16．【答案】(1) 解：如图为所求： (2) 解：如图为所求： (3) 解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形、平移(作图) 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．【答案】以这三个点为顶点的三角形与位似． 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】利用平面直角坐标系画出图形，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：即为所求： 由图可知：与位似，它们的位似中心是O，位似比是1∶2． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键． 18．【答案】(1) 解：四边形是正方形，理由是： ，，， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形，边与矩形的边在同一条直线上， ∴，，，， ，， ，． ，． ． 又， ． 四边形是正方形； (2) 矩形即为所求：    【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由作法可得四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，由于四边形为正方形，所以四边形是正方形； （2）先在内画出矩形，使得H，I两点在上，点K在上，连接并延长交于点F，过点F分别作于点E，交于点G，再作于点D． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 19．【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、判断位似中心 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 20．【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2)不是； (3) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、相似三角形的判定与性质综合、位似图形的识别 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等()，结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $