3.5图形的位似知识梳理与题型突破（五大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以五大题型构建“概念理解-性质应用-坐标变换-判定推理-作图实践”的分层体系，强化位似知识从基础到综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解|位似图形概念及与相似图形的区别|通过图形辨析题（如选择题1）考查概念本质，发展抽象能力| |性质应用|位似图形对应线段、面积比等性质|结合位似比计算（如题型二第1题），强化运算能力与空间观念| |坐标变换|平面直角坐标系中位似点坐标规律|通过坐标缩放（如题型三第2题）培养模型意识与数学表达| |判定推理|位似图形判定及与其他变换的联系|设计证明题（如题型四第2题）发展逻辑推理与批判性思维| |作图实践|位似图形作图步骤及位似中心选取|结合坐标系作图（如题型五第1题）提升动手操作与创新意识|

3.5图形的位似知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（五大题型） 知识归纳： 考点1 位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 考点2 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 考点3 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 考点4 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 题型突破： 题型一：位似图形的相关概念 1.下列图形中不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 2.在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　） A．平行线的性质 B．相似三角形的判定 C．位似图形 D．旋转 3.将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（　　） A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 4.下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 5.如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 题型二：位似图形的性质 1.如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 2.如图，与 位似，位似中心是点O，若 ，则与 的面积比是（    ）      A． B． C． D． 3.如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4.如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 5.如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（   ）    A．10 B．6 C．5 D．4 6.如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 题型三：位似有关的点坐标 1.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，已知点，，，则点的坐标为(   )    A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 3.如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4.如图，正方形和正方形是位似图形，点A的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为（    ）    A．或 B．或 C． D．或 5.如图，是的位似图形，已知，，则点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 题型四：位似图形的判定 1.如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？ 2.如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC． （1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？ （2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心． 3.如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．＝． （1）试说明△ABC与△DEF是位似图形； （2）求△ABC与△DEF的位似比． 4.如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP． （1）求证：△ADP∽△BCP； （2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？ （3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长． 题型五：位似作图 1.如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍； （2）分别写出A，B两点的对应点A'，B'的坐标． 2.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），以原点为位似中心，在原点的另一侧画出△A1B1C1，使＝，并写出△A1B1C1各顶点的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称， （1）在图中标出点E，且点E的坐标为　 　； （2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为　 　，C2的坐标为　 　； （3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为　 　． 4.已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． （1）画出△ABC； （2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1； （3）写出点A的对应点A1的坐标：　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5图形的位似知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（五大题型） 知识归纳： 考点1 位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 考点2 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 考点3 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 考点4 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 题型突破： 题型一：位似图形的相关概念 1.下列图形中不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 2.在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　） A．平行线的性质 B．相似三角形的判定 C．位似图形 D．旋转 【答案】D 3.将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（　　） A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 【答案】C 4.下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 5.如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】D 题型二：位似图形的性质 1.如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 2.如图，与 位似，位似中心是点O，若 ，则与 的面积比是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（   ）    A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】B 6.如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 题型三：位似有关的点坐标 1.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，已知点，，，则点的坐标为(   )    A． B． C． D． 【答案】D 2.在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 3.如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，正方形和正方形是位似图形，点A的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为（    ）    A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 5.如图，是的位似图形，已知，，则点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 题型四：位似图形的判定 1.如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？ 【答案】解：△ACE与△BDF是位似三角形， 理由：∵AC∥BD，CE∥DF， ∴＝，＝， ∴＝， 又∵∠AOE＝∠BOF， ∴△OAE∽△OBF， ∴∠OAE＝∠OBF， ∴AE∥BF， 又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O， ∴△ACE与△BDF是位似三角形． 2.如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC． （1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？ （2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心． 【答案】解：（1）△ADE与△ABC相似． ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE； （2）是位似图形．由（1）知：△ADE∽△ABC． ∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A， ∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A 3.如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．＝． （1）试说明△ABC与△DEF是位似图形； （2）求△ABC与△DEF的位似比． 【答案】解：（1）∵AC∥DF，BC∥EF， ∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，＝＝，＝， ∴∠DFE＝∠ACB，＝， ∴△ACB∽△DFE， ∴△ABC与△DEF是位似图形； （2）∵△ABC与△DEF是位似图形，＝， ∴△ABC与△DEF的位似比为：． 4.如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP． （1）求证：△ADP∽△BCP； （2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？ （3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长． 【答案】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB， ∴△ADP∽△BCP； （2）解：△ADP与△BCP不是位似图形， 因为它们的对应点的连线不平行； （3）解：∵△ADP∽△BCP， ∴＝，又∠APB＝∠DPC， ∴△APB∽△DPC， ∴＝，即＝， 解得，AP＝6． 题型五：位似作图 1.如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍； （2）分别写出A，B两点的对应点A'，B'的坐标． 【答案】解：（1）如图所示：△OA′B′，即为所求； （2）A'的坐标是（﹣6，2），B'的坐标是（﹣4，﹣2）． 2.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），以原点为位似中心，在原点的另一侧画出△A1B1C1，使＝，并写出△A1B1C1各顶点的坐标． 【答案】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1（﹣2，﹣6），B1（﹣8，﹣4），C1（﹣4，﹣2）． 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称， （1）在图中标出点E，且点E的坐标为　 　； （2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为　 　，C2的坐标为　 　； （3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为　 　． 【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E， ∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3） ∴E（0，﹣1）； （2）如图， ∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2）， 又∵A（3，2），C（4，0）， ∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）； （3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0）， ∴F（﹣3，0）． 4.已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． （1）画出△ABC； （2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1； （3）写出点A的对应点A1的坐标：　 　． 【答案】解：（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． 在坐标系中找出连接即可； （2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 所画图形如下所示： 它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）． （3）利用（2）中图象，直接得出答案． 故答案为：（﹣3，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $