5.3 实际问题与一元一次方程 主干题型巩固2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.3 实际问题与一元一次方程 主干题型巩固 2026-2027学年人教版七年级数学上册 一、单选题 1．挖一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，需要几天才能挖完？设需要天才能挖完，则由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 3．两件商品都卖60元，其中一件亏本，另一件盈利，则两件商品卖后（    ） A．盈利5元 B．亏本5元 C．盈利25元 D．不盈不亏 4．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了场比赛，负5场，共得分，那么这个队胜了（  ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 5．如图，五个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉相邻的两个人，然后每个人将相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则有（    ）人报出来的数与他心里想的数字是相同的． A．0 B．1 C．2 D．3 6．一块长方形草坪的长比宽多，它的周长是，求该长方形草坪的宽．设该长方形草坪的宽为 ，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 8．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 9．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则火车的长度是（   ） A．60米 B．70米 C．80米 D．90米 10．如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 二、填空题 11．日历中连续五天的和是45，则最中间一天的日期是______号． 12．用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，设需要x张做盒身，根据题意可列方程为________． 13．“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔？”要解决此问题，可设兔有只，则所列方程是_____ 14．有甲、乙两家工程队，甲队有200人，乙队有160人，现要使甲队人数是乙队的倍，则应该从乙队调 ___________人到甲队． 15．如图，若天平平衡，则x的值为________． 三、解答题 16．某校七年级开展读书活动，一班共读课外书150本，二班读的本数比一班的2倍少60本，三班读的本数是一、二班总数的，求三班共读课外书多少本？ 17．某工厂需要生产一批零件，若使用旧技术，则每天生产180个；若引入新技术，则每天多生产60个零件，能提前5天完成任务；问使用新技术需要几天能完成？ 18．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件但不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花_______元，买300件花__________元． (2)小明买这种商品花了940元，列方程求购买这种商品多少件？ 19．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案；在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠，设顾客购物的原费用是元． (1)李明慧准备购买元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由； (2)计算一下，李明慧购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？ 20．如图，数轴上点A表示的数为8，点B位于点A左侧，且． (1)写出数轴上点B表示的数 ． (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示实数x的点与表示实数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ； ②求的最小值，并写出此时x的取值范围． (3)动点P从O点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时，A，P两点之间的距离为2． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B D C B B C D 1．【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，甲队和乙队同时施工，甲队每天挖150米，乙队每天挖90米，设天挖完，则两队挖的总长度为，等于水渠总长960米，由此即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设需要天才能挖完， 由题意可得：， 故选：A． 2．【答案】B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，先分别设两件商品的成本为未知数，根据盈亏百分比与售价的关系列出方程，求出总成本，再与总售价比较得出盈亏情况． 【详解】解：设亏本的商品成本为元， ∴， 解得， 设盈利的商品成本为元， ∴， 解得， 两件商品总成本为元， ∴总售价为元， ∵元， ∴两件商品卖后盈利5元， 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据比赛场次和得分规则建立等量关系．首先根据总场次和负场数求出胜场与平场的总场次，设胜场数为未知数，根据总得分列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，则平的场次为场， 可列方程：， ：； 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了平均数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系列方程求解． 设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可． 【详解】解：设报4的人心想的数是x， 根据题意得，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是，报5的人心里想的数是，报2的人心里想的数是， ∴ 解得， ∴报4的人心里想的数是9 ∴报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是，报5的人心里想的数是，报2的人心里想的数是， ∴有3人报出来的数与他心里想的数字是相同的． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握矩形的周长公式，是解题的关键． 设该长方形草坪的宽为，则长为，根据长方形的周长公式列出方程即可. 【详解】解：设宽为，则长为， ∵周长长+宽， ． 即． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为2或； 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，可推出该户去年一年的用电量在第二档，设该户去年一年的用电量是，分别表示出第一档和第二档的费用，二者的和为1834元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴该户去年一年的用电量在第二档， 设该户去年一年的用电量是， 由题意得，， 解得， ∴该户去年一年的用电量是， 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设火车的长度是米，根据经过隧道行驶距离为隧道长加车长，灯光照车时间为车长，利用速度相等列方程求解即可． 【详解】解：设火车的长度是米， 根据题意，得， 解得， ∴火车的长度是80米． 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】根据三个村出工人数的比例，对每种设未知数方式分别列方程，再判断正误即可． 【详解】解：①设甲、乙、丙三村分别派，，人，满足，总人数和为，正确； ②设甲村派人，由比例关系可得乙村应出人，丙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误； ③由②的推导可知，所给方程符合题意，正确； ④设丙村派人，由比例关系可得甲村应出人，乙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误． 综上，正确的是①③． 11．【答案】9 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期之和可表示为，根据题意列出方程求解． 【详解】解：设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期分别为．则它们的和为：， 根据题意，得：， 解得：． 即最中间一天的日期是9号． 故答案为：9 12．【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际配套问题．已知共有张硬纸板，设张做盒身，则张做盒底．因为个盒身与个盒底配成一套，所以要根据盒身数量与盒底数量的配套关系来列方程．本题考查一元一次方程在配套问题中的应用．解题关键在于理解配套比例关系，即盒底数量是盒身数量的倍，通过设未知数分别表示出盒身和盒底的数量，进而根据配套关系列出方程． 【详解】解：∵每张硬纸板可制作盒身个，设用张硬纸板做盒身， ∴盒身的数量就是个． 又∵每张硬纸板可制作盒底个，用张硬纸板做盒底 ∴盒底的数量是个． ∴可列方程． 故答案为： 13．【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——鸡兔同笼问题． 根据总头数表示出鸡的数量，再结合每只鸡和兔的脚数，利用总脚数的等量关系建立方程． 【详解】解：设兔有只，则鸡的数量为只； ∵兔每只有4只脚，鸡每只有2只脚，总脚数为， ∴可列方程为． 故答案为：． 14．【答案】40 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．设从乙队调人到甲队，根据调后甲队人数是乙队的2倍，列方程求解即可． 【详解】解：设应从乙队调人到甲队，则调后甲队人数为人，乙队人数为人， 根据题意，得， 解得． 故答案为：40． 15．【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据“天平平衡”列方程求解即可． 【详解】解：∵天平平衡， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．【答案】130本 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设三班共读课外书x本，由三班读的本数是一、二班总数的可知一、二班读的本数之和为本，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设三班共读课外书x本， 由题意得，， 解得， 答：三班共读课外书130本． 17．【答案】15 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，设使用新技术需要天能完成，由能提前5天完成任务得使用旧技术需要天能完成，又因为使用旧技术，则每天生产180个，引入新技术，则每天多生产60个零件，以及零件的总数量不变，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设使用新技术需要天能完成， 则使用旧技术需要天能完成， 依题意，， 解得， ∴使用新技术需要天能完成． 18．【答案】(1)260，700 (2)420件 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）根据单价方案，列出相应的算式，进行计算即可； （2）设买了件商品，根据小明买这种商品花了940元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（元）；（元）； 故答案为：260，700； （2）解：∵， ∴购买的商品超过300件， 设买了件商品，则 ， 解得； 答：小明购买这种商品420件． 19．【答案】(1)李明慧准备购买元的商品，他应该去乙超市； (2)当购买元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样. 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意分别列式表示甲、乙两家超市的费用，将分别代入，再比较大小即可得到答案； （2）根据费用一样列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据顾客购物的原费用是元， 顾客在甲超市实际费用为：； 顾客在乙超市实际费用：； 当时： 顾客在甲超市实际费用为：； 顾客在乙超市实际费用：； ， 答：李明慧准备购买元的商品，他应该去乙超市； （2）依题意得： ， 解得：， 答：当购买元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，能列出代数式进行表示，能根据相等关系建立方程． 20．【答案】(1) (2)①5或11；②最小值为22， (3)t为秒或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，一元一次方程的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是关键． （1）直接利用数轴上两点之间的距离可得答案； （2）①根据的几何意义，可得，再解方程即可；②根据绝对值的几何意义，的最小值为22，可得在与之间，（包含端点）； （3）由A，P两点之间的距离为2，所以P点表示的数为6或10；再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点B表示的数为：， 故答案为：． （2）①根据的几何意义结合， 可得， 解得：或11； 故答案为：5或11； ②根据绝对值的几何意义，的最小值为， 此时x的取值范围是：． （3）∵A，P两点之间的距离为2，所以P点表示的数为6或10； 根据题意列方程得：或10， 解得或； 因此，当t为秒或秒时，A，P两点之间的距离为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $