5.3 实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程实际应用，按和差倍分、日历、工程三大模块分类，通过典例提炼“设元-找等量关系-列解方程”系统方法，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |和差倍分问题|6题（含利润、调配等）|直接/间接设元，利用和差倍分关系列方程|从实际问题抽象数量关系，建立方程模型| |日历问题|6题（含十字框、正方形框等）|设中间数/最小数，利用日历数字规律列方程|通过数字排列规律构建等量关系| |工程问题|6题（含合作、租金等）|设工作时间/效率，利用工作量公式列方程|工作效率、时间、总量关系的应用拓展|

5.3 实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练 一、和差倍分问题 1．为应对越来越严重的雾霾天气，孔明同学所在班级的家长委员会，准备为该班集资捐赠一台大型的空气净化机，现知道某商场将该型号的空气净化机按标价的八折出售，每台空气净化机仍可获利，已知该型号空气净化机的进价为元． 求该空气净化机的标价． 若该班有名学生，则该班每位学生家长应平均捐助多少元． 2．某新能源汽车生产车间有两条生产线，第一条生产线有20人，第二条生产线有28人，根据市场需求情况，要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半，问应从第二条生产线调多少人到第一条生产线？ 3．农民王伯伯在县政府精准扶贫办工作人员的扶持下，种植了香瓜和甜瓜两种水果共亩，投资成本共元，已知香瓜每亩投资元，甜瓜每亩投资元.王伯伯分别种植香瓜和甜瓜各多少亩？ 4．学校需要购买一些篮球和足球，已知篮球的单价比足球的单价贵30元，买2个篮球和3个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价； （2）根据学生体育活动的需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？ 5．劳技老师准备购买若干个花篮和笔筒，带着同学学习编织手艺，已知同时购买一个花篮和一个笔筒按标价打八折省1.9元，一个花篮标价是一个笔筒标价的2倍少4元． （1）购买一个花篮和一个笔筒的标价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，现在需要购买花篮和笔筒共800个，要求总费用不超过3681元，并且花篮的数量大于笔筒数量的1/4,请问学校哪些方案？ 6．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降． （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆． 二、日历问题 7．将连续的奇数按如下图所示的规律排列．    (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 8．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 9．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 10．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 11．如图，这是2026年2月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为4，则Y形框框中的这四个数字之和为________． (2)设框住的这四个数中最小的数为m，请用含m的式子表示另外三个数． (3)在该表中用Y形框“”框住四个数的和是否能为105？能的话，请求出这四个数字中最小的数；如不能，请说明理由． 12．如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 三、工程问题 13．某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？ 14．一项工程，甲公司单独做需要20天完成，乙公司单独做所用时间是甲公司的1．5倍． （1）若甲、乙两公司合作完成这项工程需要多少天？ （2）若甲、乙两公司合作完成这项工程，在第10天结束时，甲公司有别的任务，不能继续合作，剩余部分由乙公司单独完成，则乙公司还需要做几天？ 15．某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要12天，乙车单独运完需要24天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车合作还需要多少天才能运完这些垃圾？ （2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完这些垃圾后建筑工地共需支付租金3900元，甲、乙两车每天的租金分别为多少元？ 16．某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现由甲、乙两组修理，甲组单独完成任务需要12天，乙组单独完成任务需要24天． （1）若由甲、乙两组同时修理，需多少天可以修好这些套桌椅？ （2）学校需要每天支付甲组、乙组修理费分别为80元、120元．若修理过程中，甲组因新任务离开，乙组继续工作．任务完成后，两组收到的总费用为1920元，求甲组修理了几天？ 17．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可以处理垃圾55吨，每吨需费用10元；乙厂每小时可以处理垃圾45吨，每吨费用9元． （1）甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要多少时间完成？ （2）如果该城市每天用于处理垃圾的费用为6700元，那么甲厂每天处理垃圾多少吨？ 18．甲、乙两人的工作效率之比为，某项工作甲、乙合作7天后，乙再单独工作2天可以完成任务的一半，问甲、乙单独做各需几天才能完成这项工作？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）该空气净化机的标价为元；（2）该班每位学生家长应平均捐助元． 【分析】（1）设该空气净化机的标价为x元，根据售价-进价=利润得到方程为0.8x-4000=4000×5%，解方程求出x的值即可； （2）先求出八折后的售价，然后求出平均捐款． 【详解】(1) 设该空气净化机的标价为x元 则有 0.8x-4000=4000×5%， 解得：x=5250． 答：该空气净化机的标价为5250元； （2）（元）， （元）． 答：该班每位学生家长应平均捐助元． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．应从第二条生产线调12人到第一条生产线． 【分析】设应从第二条生产线调x人到第一条生产线，根据“第一条生产线有20人，第二条生产线有28人，根据市场需求情况，要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半”列出方程，求解即可． 【详解】解：设应从第二条生产线调x人到第一条生产线， 根据题意得，28﹣x＝（20+x）， 解得x＝12． 答：应从第二条生产线调12人到第一条生产线． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．种植香瓜10亩，则种植甜瓜15亩. 【分析】设种植香瓜x亩，则种植甜瓜（25-x）亩，再根据总投资成本可列出方程，解之即可. 【详解】设种植香瓜x亩，则种植甜瓜（25-x）亩， 由题意得1700x+1800（25-x）=44000 解得x=10， 故种植香瓜10亩，则种植甜瓜15亩. 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，解出方程进行求解. 4．（1）篮球和足球的单价分别是120元，90元；（2）共有11种购买方案 【分析】（1）设一个篮球x元，则一个足球（x−30）元，根据“买两个篮球和三个足球一共需要510元”列出方程，即可解答； （2）设购买篮球x个，足球（100−x）个，根据“篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答． 【详解】解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x−30）元， 由题意得：2x＋3（x−30）＝510， 解得：x＝120， x−30＝90， 答：篮球和足球的单价分别是120元，90元． （2）设购买篮球x个，则购买足球（100−x）个， 根据题意，得：， 解得：40≤x≤50． 因为x为正整数，x可取：40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， 所以共有11种购买方案． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程（或不等式组）是关键． 5．（1）购买一个花篮需要5元，一个笔筒需要4.5元；（2）学校共有2种购买方案，方案1：购买161个花篮，639个笔筒；方案2：购买162个花篮，638个笔筒 【分析】（1）设购买一个笔筒需要x元，则购买一个花篮需要（2x-4）元，根据同时购买一个花篮和一个笔筒按标价打八折省1.9元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设学校购买m个花篮，则购买（800-m）个笔筒，根据“总费用不超过3681元，并且花篮的数量大于笔筒数量的”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案． 【详解】解：（1）设购买一个笔筒需要x元，则购买一个花篮需要（2x-4）元， 依题意得：2x-4+x-0.8（2x-4+x）=1.9， 解得：x=4.5， ∴2x-4=2×4.5-4=5． 答：购买一个花篮需要5元，一个笔筒需要4.5元． （2）设学校购买m个花篮，则购买（800-m）个笔筒， 依题意得：， 解得：160＜m≤162． 又∵m为整数， ∴m可以为161，162， ∴学校共有2种购买方案， 方案1：购买161个花篮，639个笔筒； 方案2：购买162个花篮，638个笔筒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 6．（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆． 【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案； （2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）依题意得：（万元） （2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得： 解得： 答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程． 7．(1)十字框中的五个数的平均数与27相等 (2)能， 【分析】（1）先算出十字框中的五个数的平均数，然后判断与的关系； （2）设中间的数是，表示出其余个数，然后列出方程并求解，再根据是奇数且前后都有奇数解答． 【详解】（1）解：相等. ． 故十字框中的五个数的平均数与相等． （2）解：能． 设中间的数是，则其余个数分别为，，，， 则五个数的和为， ， 则其上面的数为， 其下面的数为， 其左边的数为， 其右边的数为， 故这五个数为：，，，，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． 8．(1) (2) 小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 9．(1)120 (2) 设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）略 10．(1) (2) 他的说法是错误的， 理由：由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在， ∴他的说法是错误的． 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）根据月历的特点化简条件式即可； （2）列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：根据月历的特点可知，，，，， ∴， 解得：； （2）略 11．(1)41 (2)，， (3) 不能，理由如下： 假设用Y形框框住四个数的和能为105， 则由（2）可得， 解得， ∴要求框出的四个数中最小的是20，由图可知，不能框出这样的四个数． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据图形的数字列式计算即可； （2）设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为，，； （3）令，解得，由日历表即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得， 答：Y形框框中的这四个数字之和为41， 故答案为：41； （2）解：设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为，，； （3）略 12．(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 13．（1）甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾；（2）甲车每天租金为250元，乙车每天租金为150元． 【分析】（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金3950元”列出方程求解即可. 【详解】（1）设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意，得 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾． （2）设乙车每天租金为元，则甲车每天租金为元， 根据题意，得 解得： （元）， 答：甲车每天租金为250元，乙车每天租金为150元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键. 14．（1）甲、乙两公司合作12天可以完成这项工程；（2）乙公司还需5天才能完成这项工程． 【分析】（1）先求出乙公司单独完成此项工程所需的天数，设甲、乙两公司合作天可以完成这项工程，再根据“工作量=工作效率×工作时间”列出方程求解即可； （2）设乙公司还需天才能完成这项工程，根据“甲、乙两公司合作10天的工作量+乙公司单独完成的工作量=1”列出方程求解即可. 【详解】解：（1）乙公司单独做时，用时（天） 甲公司单独做时，效率为；乙公司单独做时，效率为 设甲、乙两公司合作天可以完成这项工程， 根据题意，得 解这个方程，得， 答：甲、乙两公司合作12天可以完成这项工程． （2）设乙公司还需天才能完成这项工程， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：乙公司还需5天才能完成这项工程． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握工作问题中“工作量=工作效率×工作时间”这一等量关系，从而列出方程． 15．（1）甲、乙两车合作还需要6天运完垃圾；（2）甲车每天的租金为300元，乙车每天的租金为200元． 【分析】（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，根据甲车完成的工作量+乙车完成的工作量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，根据总租金=每天的租车×租车的时间结合总租金为3900元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾， 依题意，得：， 解得：x=6， 答：甲、乙两车合作还需要6天运完垃圾； （2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元， 依题意，得：， 解得：y=200， ∴y+100=300． 答：甲车每天的租金为300元，乙车每天的租金为200元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．（1）需要8天可以修好这些套桌椅；（2）甲组修理了6天． 【分析】1）根据题意列出方程，计算即可求出值； （2）设甲修理组修理了m天，乙修理组修理了n天，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】(1)解：设由甲、乙两修理组同时修理，需要x天可以修好这些套桌椅，根据题意得:    解得：x=8， 则甲、乙两修理组同时修理，需8天可以修好这些套桌椅； （2）设甲组修理了y天，则乙组修理了 答：甲组修理了6天． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题要掌握工作量的有关公式：工作总量=工作时间×工作效率． 17．（1）7小时；（2）甲厂每天处理垃圾400吨． 【分析】（1）设每天需要x小时完成，根据甲乙两厂每小时处理垃圾的吨数列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设甲厂每天处理y吨垃圾，乙厂处理（700-y）吨，根据费用为6700元列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）设甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要x小时完成， ， 解得：， 答：甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要7小时完成； （2）设甲厂每天处理垃圾y吨， ， 解得：， 答：甲厂每天处理垃圾400吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 18．甲单独做需26天，乙单独做需39天． 【分析】设甲的工作效率为，则乙的工作效率为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲的工作效率为，则乙的工作效率为；根据题意得： ， 解得． 所以，． 答：甲单独做需26天，乙单独做需39天，才能完成这项工作． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，关键是根据工程问题得到方程，然后求解即可． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $