专题14平行线的证明知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题14平行线的证明知题通关讲义 知识点 01 平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线定义的三要素：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 都是直线． 2.表示方法：用 “” 表示平行，直线AB与CD是平行线，记作 “(AB CD)” 或 “(CDAB)”，读作 “AB平行于CD” 或 “CD平行于AB”． 3.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画：沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线． 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 关键提醒：判断三类角只看位置，与角的大小无关；只有两条直线被同一条截线截取，才存在这三类角。 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04.平行公理 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 平行线证明通用解题步骤 1.标记图形：在图中标注已知相等、互补的角，找准截线，区分三类角； 2.明确解题目标 ① 目标：证两直线平行 → 寻找同位 / 内错相等、同旁内角互补，选用判定； ② 目标：求角度、证等角 → 利用已知平行，选用性质； 3.等量过渡：条件不足时，借助对顶角、邻补角做等量代换，搭建推理条件； 4.规范书写：分步书写∵∴，每一步末尾括号标注公理、定理、定义； 5.辅助线规范：需要作平行线辅助线时，必须文字说明，例：过点P作PQAB。 知识点 07 几何证明完整书写规范（阅卷标准） 1.必须成对使用∵（因为）、∴（所以），不可单独写结论； 2.每一步推导后标注对应依据（对顶角相等、平行线判定 / 性质等），不能省略； 3.添加辅助线：文字说明画法，图形用虚线画出； 4.文字类几何命题四步流程：画图→写已知→写求证→完整证明； 5.禁止仅凭肉眼观察图形直接下结论，所有结论必须有角度等量关系支撑。 1. 混淆平行线判定与性质 提醒：判定：由角的数量关系推导两直线平行；性质：由两直线平行推导角的数量关系，因果顺序不可颠倒。 2. 默认同位角、内错角相等，同旁内角互补 提醒：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提条件是两条被截直线互相平行。 3. 识别三线八角时确定错误截线 提醒：同位角、内错角、同旁内角，必须是同一条截线截取两条直线所形成的角。 4. 几何推理缺少推导依据 提醒：证明书写时，每一步结论都要标注对应的定义、公理或定理，不可直接跳写结论。 5. 忽略垂直于同一直线两直线平行的平面限制 提醒：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；脱离同一平面，结论不成立。 6. 证明过程擅自增设已知条件 提醒：推理仅可使用题干给出条件、已证明结论，不能自行添加题目未给出的角度、平行关系。 7. 判定定理与性质定理文字表述混用 提醒：判定定理为同旁内角互补，两直线平行；该语句不能作为平行线性质的推理依据。 题型 考察方向 难度 题型一 同位角相等两直线平行 ★ 题型二 内错角相等两直线平行 ★ 题型三 同旁内角互补两直线平行 ★ 题型四 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型五 平行公理的应用 ★ 题型六 平行公理推论的应用 ★★ 题型七 两直线平行同位角相等 ★ 题型八 两直线平行内错角相等 ★ 题型九 两直线平行同旁内角互补 ★ 题型十 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 同位角相等两直线平行 1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法的示意图，画图的原理是____________． 【答案】同位角相等，两直线平行． 【分析】观察图形可知，利用直尺和三角板画平行线时，三角板沿着直尺平移，保证了两个同位角相等，从而利用平行线的判定定理得出两直线平行． 【详解】解：由作图过程可知，三角板沿着直尺平移，使得三角板的一边与直尺边缘所成的角在平移前后大小相等，这两个角处于直线、被直线所截的同位角位置，即同位角相等，根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可得． 2．如图，，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转______，才能使． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及旋转的性质．根据图形及题意可知，要使，利用两直线平行，同位角相等求出旋转后的角度，再结合已知角度计算旋转角． 【详解】解：设直线绕点按逆时针方向旋转后的位置为 要使，则（同位角相等，两直线平行） 旋转角． 3．一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向右拐； B．第一次向右拐，第二次向左拐； C．第一次向左拐，第二次向左拐； D．第一次向右拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案． 【详解】解：A、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意； B、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意； C、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意； D、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意． 题型二 内错角相等两直线平行 4．如图，，下列条件能得到的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，，，故A符合题意； B、，，不能得到，故B不符合题意； C、，不能得到，故C不符合题意； D、，不能得到，故D不符合题意． 5．如图，，添加一个条件：________，可使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据内错角相等、两直线平行的判定定理，结合已知，添加条件使内错角与相等，即可证明． 【详解】解：， ， ， ． 故添加一个条件：，可使． 6．将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则；⑤若，则，其中正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可知，证明，可判断①正确；根据平行线的性质可判断②正确；根据，可判断③正确；证明，即可判断④正确；先求出，，从而得到，可判断⑤正确． 【详解】解：由题意，知， ， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ，故②正确，符合题意； ， ，故③正确，符合题意； ， ． ， ， 故④正确，符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意， 其中正确的个数是5． 题型三 同旁内角互补两直线平行 7．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不能判断出，故A选项不符合题意； B、不能判断出，故B选项不符合题意； C、能判断出，故C选项符合题意； D、不能判断出，故D选项不符合题意． 8．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 9．如图，是上一点，是上一点，是的延长线上一点，下列条件中，能判断的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定逐个判断即可求解． 【详解】解： A：∵， ∴，故选项错误； B：∵， ∴，故选项错误； C：∵， ∴，故选项正确； D：∵， ∴，故选项错误． 题型四 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 【答案】平行 【分析】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用．根据题意画出画出图形，再利用平行线的判定证明． 【详解】如图，，，说明． 解：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 11．如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 12．在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若， 则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】根据平行公理、平行线的性质对各选项分析判断即可解答． 【详解】解：A.在同一平面内，若，则正确，故本选项正确； B.在同一平面内，若，则，故本选项错误； C.在同一平面内，若，则，故本选项错误； D.在同一平面内，若，则，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行公理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 题型五 平行公理的应用 13．如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画________条． 【答案】1 【分析】本题考查了平行公理的知识点，解题的关键是理解并运用平行公理． 根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，据此确定过中点作平行于的直线的条数． 【详解】解：设的中点为，因为点在直线外，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以过点画平行于的直线，这样的直线能画1条． 故答案为：1． 14．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在同一条直线上， 故答案为：② 15．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 【答案】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图1是一个中国古代窗户，图2是其局部示意图．已知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作，交于点M，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点M，如图 ∵，，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． 题型六 平行公理推论的应用 17．下面推理正确的是（　　） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案； 【详解】解：A．a、c都和b平行，应该推出的是，而不是，故错误； B．没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误； C．b、c都和a平行，可推出是，故正确； D．a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行． 18．如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 【答案】/162度 【分析】作直线，由题得；再说明可得，即，最后再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：作直线，由题得， ，， ． ， ． ， ． ． 19．如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ． 题型七 两直线平行同位角相等 21．如图，直线，，则的度数为________． 【答案】/55度 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 22．如图，直线，直线，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行同位角相等得到，再结合平角定义、垂直夹角为，逐步推导求出的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 题型八 两直线平行内错角相等 23．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的和差关系得出，根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据平行的性质得到，再根据折叠得到即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠， ∴． 25．如图，将含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角板的性质，结合平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图： 由三角板可得，， ∴， 根据题意可得，， ∴． 题型九 两直线平行同旁内角互补 26．自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在，处，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】由平角的定义可得，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 由题意可得， ∴， ∴． 28．如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用．若拉力F与重力G的夹角，则拉力F与墙面的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补求解． 【详解】解：∵与墙面平行， ∴， ∵， ∴． 题型十 根据平行线判定与性质证明 29．如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴，故不一定成立，故B错误； ，故不一定成立，故A错误； ，故C正确； ，不一定成立，故D错误． 30．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 而题中没有说明与相等， ∴不一定等于，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意， ∴符合题意的有①③④． 31．如图，已知，H，J，G分别为，，上一点（），平分，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即，故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 题目中未说明， 即不一定等于，故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤． 解答题 1．已知：如图，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂线的性质得到，则，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行线的性质得到、，进而得到，结合求出的度数，从而求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，试求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质先求出，再根据求解即可； （2）过点作，可得，根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， 如图，过点作， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．完成下面证明，并在下面括号里，填上推理的根据． 如图，中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，DH与EF相交于点H，，．若，求的度数． 解：∵，， ∴（________）． ∴（________）． ∴（________）． ∵， ∴（________）． ∴（________）． ∴． 【答案】；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定可证明，再利用平行线的性质即可求得的度数． 【详解】略 4．完成下列证明： 已知：是线段的延长线，平分，，那么与相等吗？ 解：平分，（ ） ．（ ） ，（ ） ∴ ，（ ） ．（ ） ． 【答案】已知，，角平分线的定义，已知，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，内错角相等 【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等证明即可； 【详解】略 5．如图，，平分，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． (2) 【分析】（1）因为，所以可得内错角．结合平分的条件，可得；再结合已知，通过等量代换得到内错角相等，根据平行线判定定理即可证明． （2）因为，所以利用平行线同旁内角互补的性质，可求出的度数．结合角平分线的定义，即可计算出的度数． 【详解】（1）略． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14平行线的证明知题通关讲义 知识点 01 平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线定义的三要素：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 都是直线． 2.表示方法：用 “” 表示平行，直线AB与CD是平行线，记作 “(AB CD)” 或 “(CDAB)”，读作 “AB平行于CD” 或 “CD平行于AB”． 3.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画：沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线． 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 关键提醒：判断三类角只看位置，与角的大小无关；只有两条直线被同一条截线截取，才存在这三类角。 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04.平行公理 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 平行线证明通用解题步骤 1.标记图形：在图中标注已知相等、互补的角，找准截线，区分三类角； 2.明确解题目标 ① 目标：证两直线平行 → 寻找同位 / 内错相等、同旁内角互补，选用判定； ② 目标：求角度、证等角 → 利用已知平行，选用性质； 3.等量过渡：条件不足时，借助对顶角、邻补角做等量代换，搭建推理条件； 4.规范书写：分步书写∵∴，每一步末尾括号标注公理、定理、定义； 5.辅助线规范：需要作平行线辅助线时，必须文字说明，例：过点P作PQAB。 知识点 07 几何证明完整书写规范（阅卷标准） 1.必须成对使用∵（因为）、∴（所以），不可单独写结论； 2.每一步推导后标注对应依据（对顶角相等、平行线判定 / 性质等），不能省略； 3.添加辅助线：文字说明画法，图形用虚线画出； 4.文字类几何命题四步流程：画图→写已知→写求证→完整证明； 5.禁止仅凭肉眼观察图形直接下结论，所有结论必须有角度等量关系支撑。 1. 混淆平行线判定与性质 提醒：判定：由角的数量关系推导两直线平行；性质：由两直线平行推导角的数量关系，因果顺序不可颠倒。 2. 默认同位角、内错角相等，同旁内角互补 提醒：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提条件是两条被截直线互相平行。 3. 识别三线八角时确定错误截线 提醒：同位角、内错角、同旁内角，必须是同一条截线截取两条直线所形成的角。 4. 几何推理缺少推导依据 提醒：证明书写时，每一步结论都要标注对应的定义、公理或定理，不可直接跳写结论。 5. 忽略垂直于同一直线两直线平行的平面限制 提醒：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；脱离同一平面，结论不成立。 6. 证明过程擅自增设已知条件 提醒：推理仅可使用题干给出条件、已证明结论，不能自行添加题目未给出的角度、平行关系。 7. 判定定理与性质定理文字表述混用 提醒：判定定理为同旁内角互补，两直线平行；该语句不能作为平行线性质的推理依据。 题型 考察方向 难度 题型一 同位角相等两直线平行 ★ 题型二 内错角相等两直线平行 ★ 题型三 同旁内角互补两直线平行 ★ 题型四 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型五 平行公理的应用 ★ 题型六 平行公理推论的应用 ★★ 题型七 两直线平行同位角相等 ★ 题型八 两直线平行内错角相等 ★ 题型九 两直线平行同旁内角互补 ★ 题型十 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 同位角相等两直线平行 1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法的示意图，画图的原理是____________． 2．如图，，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转______，才能使． 3．一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向右拐； B．第一次向右拐，第二次向左拐； C．第一次向左拐，第二次向左拐； D．第一次向右拐，第二次向右拐 题型二 内错角相等两直线平行 4．如图，，下列条件能得到的是 （     ） A． B． C． D． 5．如图，，添加一个条件：________，可使． 6．将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则；⑤若，则，其中正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型三 同旁内角互补两直线平行 7．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 9．如图，是上一点，是上一点，是的延长线上一点，下列条件中，能判断的是 （     ） A． B． C． D． 题型四 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 11．如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 12．在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若， 则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型五 平行公理的应用 13．如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画________条． 14．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 15．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 16．如图1是一个中国古代窗户，图2是其局部示意图．已知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型六 平行公理推论的应用 17．下面推理正确的是（　　） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 18．如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 19．如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型七 两直线平行同位角相等 21．如图，直线，，则的度数为________． 22．如图，直线，直线，若，则（     ） A． B． C． D． 题型八 两直线平行内错角相等 23．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 24．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则的度数是________． 25．如图，将含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型九 两直线平行同旁内角互补 26．自行车结构示意图如图所示，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在，处，若，则的度数是__________． 28．如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用．若拉力F与重力G的夹角，则拉力F与墙面的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十 根据平行线判定与性质证明 29．如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 30．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 31．如图，已知，H，J，G分别为，，上一点（），平分，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②④⑤ 解答题 1．已知：如图，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 2．如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，试求的度数． 3．完成下面证明，并在下面括号里，填上推理的根据． 如图，中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，DH与EF相交于点H，，．若，求的度数． 解：∵，， ∴（________）． ∴（________）． ∴（________）． ∵， ∴（________）． ∴（________）． ∴． 4．完成下列证明： 已知：是线段的延长线，平分，，那么与相等吗？ 解：平分，（ ） ．（ ） ，（ ） ∴ ，（ ） ．（ ） ． 5．如图，，平分，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $