浙江省杭州学军中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题

杭州学军中学2026学年第一学期10月检测 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A．(0,2] B．(0,2) C．(1,2) D．(1,2] 2．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若椭圆的离心率为，则k的值是（   ） A．4或 B． C．4 D．4或 4．若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是  (　） A． B． C． D． 5．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（     ） A． B． C． D． 6．已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 8．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，其中，为虚数单位，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 10．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C．的最大值为 D． 11．设正方体的棱长为1，点是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题正确的是（    ） A．如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为 B．如果平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为 C．如果平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为 D．如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．椭圆的左右焦点为，，一直线过交椭圆于两点，则的周长为_______． 13．若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是_______． 14．已知是定义在上的奇函数，且在区间上满足三个条件： ①对于任意的，当时，恒有成立， ②， ③． 则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三条直线：，直线：和：，且与之间的距离是． （1）求的值； （2）求经过直线与的交点，且与点的距离为3的直线的方程． 16．（15分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 17．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若D为BC的中点，，且外接圆的半径为，求内切圆的半径． 18．（17分）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．（17分）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点．    (1)若直线的斜率为，求弦的长； (2)已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，求直线交点的轨迹方程； (3)若的中点为，求面积的取值范围． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《杭州学军中学2026学年第一学期10月检测高二数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A B B A B AC BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】化简集合，根据集合的交集运算的定义求. 【详解】不等式的解集为， 不等式的解集为， 故，， 所以， 故选：C. 2．A 【分析】根据两直线平行求得m的值，由此确定充分、必要条件. 【详解】“直线与直线平行” 因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立； 当直线与直线平行时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线，直线平行，故充要条件成立． 故选：A． 3．A 【分析】根据给定条件，利用离心率列式求出k的值. 【详解】当即时，离心率，解得符合题意，. 当即时，离心率，解得，符合题意. 综上，k的值是4或. 故选：A 4．A 【分析】先确定的中点轨迹，再根据点到直线距离公式求最小值. 【详解】因为,所以的中点轨迹为直线：，， 因此到原点的距离的最小值是，选A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本求解能力. 5．B 【分析】设平面向量、夹角为，得到在上投影向量的模为，令，由，平方得到，结合，得到，求得的范围，即可求解. 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最大值为. 6．B 【分析】设，则，则由题意可求得的范围，从而可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值 【详解】圆的方程可化为， 设，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 而的最小值是圆心到直线的距离， 所以， 又，所以． 故选：B． 7．A 【分析】由函数的奇偶性确定函数周期即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称. 由，得，所以①， 则， 则，， 又由①知，则， 故选：A. 8．B 【分析】利用绝对值的几何意义，将恒成立条件转化为；通过换元简化函数，借助和差化积公式建立不等式，结合三角函数的性质确定下界；最后验证等号能够成立，求得的最小值. 【详解】函数的值域为， 设，， 则不等式对任意恒成立， 根据绝对值几何意义，的最小值为，故需. 令，，则， 且，需求的最小值. 由和差化积公式可知， 因为，所以， 得，解得（取最小正解），即. 验证最小值：当时，， ，且，满足条件. 故的最小值为. 9．AC 【分析】根据给定条件，利用复数模、复数的乘除法运算，结合复数的概率逐项求解. 【详解】对于A，当时，， ，A正确； 对于B，，无解，B错误； 对于C，，由为实数，得，C正确； 对于D，， 由为纯虚数，得且，解得，D错误. 故选：AC 10．BC 【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值；由基本不等式推论即可求得，可判断D的正误. 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； B中：， 当且仅当时等号成立，B对； 对于C，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，D错． 故选：BC． 11．ACD 【分析】对于A，点M的轨迹为过且与垂直的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误；对于B，点M的轨迹为过且与平面平行的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误；对于C，点M的轨迹为过E点且与平面平行的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误；对于D，结合A分析，点M的轨迹为过过且与平面平行的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，点M的轨迹为过且与垂直的平面与正方体表面的交线， 下证平面垂直于，如图连接，由题可得， 又平面，平面，则， 因平面，，则平面， 因平面，则.同理，可证得：， 又平面，，则平面， 从而点M的轨迹所围成图形为正三角形，由题可得， 则所围成图形的面积为，故A正确； 对于B，如图，取中点为F，连接，易得， 则四点共面，点M的轨迹为过且与平面平行的平面与正方体表面的交线，取中点为G，连接，下证平面平面. 由题易得：，又， 平面，平面，则平面平面. 则点M的轨迹所围成图形为三角形，由题可得， ，则轨迹所围成图形的周长为，故B错误； 对于C，如图取，，，中点为，则点M的轨迹为过E点且与平面平行的平面与正方体表面的交线，下证平面平面. 由题易得，，又，， 平面，平面，则平面平面. 则点M的轨迹所围成图形为四边形.由题可得，， 则轨迹所围成图形的周长为，故C正确； 对于D，点M的轨迹为过且与垂直的平面与正方体表面的交线，由A分析， 即为过且与平面平行的平面与正方体表面的交线. 取中点为： ， 连接，易得， 则六点共面，下证平面平面. 由题可得，，又平面， 平面，，， 则平面平面.则点M的轨迹所围成图形为正六边形， 注意到，又正六边形由六个全等的等边三角形组成，则，故D正确. 故选：ACD 12．16 【分析】由椭圆的定义，可得，进而可求出结果. 【详解】因为，为椭圆的左右焦点，又一直线过交椭圆于A、B两点， 所以有：,, 所以的周长为. 故答案为16 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型. 13． 【分析】直线过定点，曲线的图象是以为圆心，2为半径的半圆，数形结合可求实数的取值范围. 【详解】直线的方程可写为：，所以直线过定点. 又曲线可化为：，它的图象是以为圆心，2为半径的半圆，如图所示 当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 当直线过时，直线的斜率. 所以直线与半圆有两个不同的交点时，实数的的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 14． 【分析】根据是定义在上的奇函数则，然后分别求出，，的值，然后利用单调性求出的值即可． 【详解】 ∵是定义在上的奇函数， ∴， ∵， ∴令得即， 令得，即， ∵， ∴令得， 令得， 令得， ∵对于任意的，当时，恒有成立， ∴， ∴. 15．（1）；（2）或． 【分析】（1）由与的距离是，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值； （2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】解：（1）即， 与的距离． ． ，． （2）直线与的交点，由：，解得所以交点坐标． 当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：，即：． 点到直线的距离为3， 可得：， 解得， 所求直线方程． 当直线的斜率不存在时，，满足题意． 所求直线方程为：或． 【点睛】本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力，属于中档题． 16．(1) 如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． (2)1 【分析】(1)先证明平面得到； (2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解． 【详解】（1）略 （2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和将转化为，再展开两角和差正弦公式化简，提取后由求出，结合角范围得到角的值； （2）先由正弦定理求出边长，分别借助余弦定理、邻补角余弦互为相反数建立关于的方程组解出与，再结合三角形面积两种表达形式算出内切圆半径. 【详解】（1）因为且， 所以， 展开得， 即． 因为，所以， 因为，所以． （2）设三角形外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，由正弦定理可知， 因为外接圆的半径为，，可得， 由余弦定理可得．① 因为，且，所以， 即．② 联立①②，可得，， 由，可得． 18．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂直关系结合已知的斜率可得的斜率，写出直线的方程，由点线距离公式结合直角三角形勾股定理求出半弦长，进而得弦长； （2）设出直线，联立直线与圆方程由韦达定理可得两点坐标与的关系，求解并联立直线方程，由交轨法解得交点纵坐标即可得； （3）按直线的斜率情况分类求解，特殊情况直接求解面积可得，一般情况设出直线，再由圆弦的存在情况可得的范围，再利用点线距公式表示圆弦及长（即点到直线的距离），从而得到面积表达式，再利用整体换元求解函数值范围可得. 【详解】（1）圆，圆心，半径. 若直线的斜率为，则直线斜率为， 则直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离. . 故弦的长为.    （2）圆，圆心，半径. 由题意直线存在斜率，设直线，设， 联立消得，， 由韦达定理得，，. 则，即（） 又圆与轴交于， 则直线，直线， 联立两直线方程消得，， 将（）式代入得，， 解得. 故直线交点的轨迹方程为.    （3）①当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积；    ②当直线的斜率存在且为时， 直线的方程为，经过圆心， 过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交， 故此时不存在；    ③当直线的斜率存在，设为且时， 设直线，即. 则直线，即 由圆心到直线的距离， 得，解得． 所以圆心到直线的距离， 因为，即， 所以． 由，所以， 所以E点到直线的距离即点到直线的距离 ， 所以的面积． 令，则，所以， 因为，所以，所以， 综上所述，面积的取值范围是.    【点睛】关键点点睛：本题难点在于第（2）问非对称韦达定理的处理，将代数式的变形利用韦达定理中与的联系（）进行和积转化，变形化简得到定值从而解决问题. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $